摘 要：本文的主要目的是研究捕食者-食餌系統(tǒng)Lotka-Volterra模型解的穩(wěn)定性。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫泛函，利用積分公式，得到了平衡點(diǎn)的許多穩(wěn)定性條件。本文所提到的這種方法已經(jīng)用來研究SIR流行病模型的穩(wěn)定性，其實(shí)將這種方法應(yīng)用于一個(gè)新的模型也是我們本篇文章的一個(gè)特點(diǎn)及難點(diǎn)所在。因此，我們利用該方法在研究Lotka- Volterra模型的漸近均方穩(wěn)定性上得到一個(gè)新的條件。最后，我們舉了兩個(gè)例子來驗(yàn)證我們的理論性成果。

關(guān)鍵詞：捕食者-獵物模型;李雅普諾夫泛函;積分公式;時(shí)滯;隨機(jī)擾動(dòng)

1.引言

?捕食者-捕食模型，這是最著名的生物數(shù)學(xué)模型之一。特別是近年來，它得到了廣泛的研究和應(yīng)用。通過對(duì)模型的研究，我們可以充分了解生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)問題。因此，我們研究了該模型在白噪聲類型隨機(jī)擾動(dòng)下與帶有時(shí)滯的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。事實(shí)上，捕食者-食餌模型近年來得到了廣泛的研究，為了更好地理解，我們找到許多關(guān)于這一主題的文章，比如[1]主要研究了白噪聲下某些捕食模型的振蕩現(xiàn)象，[2]研究了帶有接種疫苗的確定性SIS流行病模型的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[3]深究接種疫苗型隨機(jī)SIS流行病模型。[4]和[5]得出了擴(kuò)散捕食者-食餌模型具有延遲的穩(wěn)定性，研究了Lotka-Volterra模型的穩(wěn)定性，并在[6，7]中證明了Hopf分岔的存在條件。事實(shí)上，Shaikhet已經(jīng)在[8]中研究了捕食者-食餌系統(tǒng)的Lotka-Volterra模型的穩(wěn)定性，但我們通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來發(fā)現(xiàn)與其條件不同的穩(wěn)定性參數(shù)條件，該方法的特點(diǎn)是尋找合適的Lyapunov函數(shù)來處理時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響。

4.實(shí)例

?為了驗(yàn)證我們的理論結(jié)果，即系統(tǒng)（1.6）的漸近穩(wěn)定性和系統(tǒng)（1.5）的依概率穩(wěn)定性，我們將使用數(shù)值模擬法來驗(yàn)證穩(wěn)定，我們主要用歐拉法對(duì)方程進(jìn)行離散，然后用MATLAB進(jìn)行繪圖。下面有兩個(gè)例子來說明我們的觀點(diǎn)。

例1.為了證明線性系統(tǒng)（1.6）的零解是漸近穩(wěn)定的，我們?nèi)?shù)值，接下來，我們用數(shù)值模擬說明穩(wěn)定性。在此參數(shù)條件下

如果我們?nèi)⊥ㄟ^計(jì)算得到0.36 < 2.8，0.64 < 10.5，滿足定理3.1.也就是說此參數(shù)條件下系統(tǒng)（1.6）是漸近均方穩(wěn)定的.但是，如果選擇參數(shù)值，我們卻得到4 >2.8，16>10.5，不滿足定理3.1，換句話說，系統(tǒng)（1.6）不穩(wěn)定.然后我們分別畫出不同參數(shù)值下的圖像，圖4.1和圖4.2.

從這個(gè)例子中，我們可以得出結(jié)論，當(dāng)滿足定理3.1的條件時(shí)，給定初始值的系統(tǒng)（1.6）的零解最終是漸近穩(wěn)定的，如圖4.1所示，不滿足定理3.1的條件，系統(tǒng)（1.6）的零解是不穩(wěn)定的，如圖4.2所示。

參考文獻(xiàn)

[1]Raj M，Selvam A，Janagaraj R，Stability in a Discrete Prey-Predator Model，IJLERA 2，2013，Issue 1：482-485.

[2]Zhao Y，Jiang D Q，Regan O，The Extinction and Persistence of the Stochastic SIS Epidemic Model with Vaccination，Phys.，2013，392：4916?4927.

[3]Lin Y G，Jiang D Q，Wang S，Stationary Distribution of a Stochastic SIS Epidemmic Model with Vaccination，Phys.A，2014，394：187-197.

[4]Wu D Y，Zhao H Y，Yuan Y，Complex Dynamics of a Diffusive Predator-Prey Model with Strong Allee Effect and Threshold Harvest?ing，J.Math.Anal.Appl.，2019，469：982-1014.

[5]Zhang X B，Zhao H Y，Dynamics Analysis of a Delayed Reaction?Diffusion Predator-Prey System with Non-Continuous Threshold Har?vesting，Mathe.Biosci.，2017，289：130-141.

[6]Yan X P，Zhang C H，Hopf Bifurcation in a Delayed Lokta-Volterra Predator-Prey System，Nonlinear Anal.：Real World Appl，2008，9：114?127.

[7]Xu C J，Bifurcation Analysis in a Lotka-Volterra Model with Delay，Elixir Appl.Math.，2011，38：4312-4314.

[8]Shaikhet L，Lyapunov Functionals and Stability of Stochastic Function?al Differential Equations.Springer，Dordrecht，Heidelberg，New York，London，2013.

[9]Shaikhet L，Stability of the Neoclassical Growth Model under Perturba?tions of the Type of Poisson's Jumps：Analytical and Numerical Anal?ysis，Commun.Nonlinear SCI.Numer.Simulat，2019，72：78-87.

[10]Beretta E，Kolmanovskii V，Shaikhet L，Stability of Epidemic Model with Time Delays Influenced by Stochastic Perturbation，Math.Comput.，1998，45：269-277.

[11]Kolmanovskii V B，Nosov V R，Stability of Function Differential Equa?tions，Academic Press：New York，1986.

[12]Kolmanovskii V B，Myshkis A D，Applied Theory of Functional Differ?ential Equations，Kluwer Academic Publishers：Boston，1992.

[13]Shaikhet L，Stability in Probability of Nonlinear Stochastic Hereditary Systems，Dyn.Syst.Appl.，1995，4（2）：199-204.

作者簡(jiǎn)介：

陳楊，女，（1995-），漢，山東省濟(jì)南市，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)，動(dòng)力系統(tǒng)