金煒楓

摘要：《土木工程數(shù)值分析方法》是本校土木工程專業(yè)的一門選修課程，主要涉及有限元離散方程的推導和矩陣編程運算，本文以桿和彈簧的混合結構計算為例，介紹課堂上學生參與進行桿和彈簧混合結構的編程計算，從而理解有限元計算的實現(xiàn)過程。

關鍵詞：數(shù)值分析;參與式

《土木工程數(shù)值分析方法》是本校土木工程專業(yè)的一門選修課程，目的是使學生理解有限元離散方程的理論基礎、單元剛度矩陣形成過程、總體剛度矩陣的疊加過程和邊界條件處理，同時可以編寫有限元程序。參與式教學在課堂上具有互動性的特點，可以啟發(fā)學生參與理論的推導和編程實踐，增加學生學習主動性，提高學生的學習效率。

參與式教學法

參與式教學方法依賴于教師和學生的互動，學生在互動中學習并掌握有限元法的基本理論和有限元方程形成過程。通過實例，展現(xiàn)有限元數(shù)值分析方法在土木工程中的應用：例如在二維平面上，對于桿和彈簧的混合結構，使學生參與有限元理論推導和數(shù)值計算的關鍵步驟，特別是桿和彈簧單元剛度矩陣的理論推導過程、一維桿在二維坐標系下的變換過程、單元剛度矩陣與總體剛度矩陣的關系、邊界條件的處理等。在學生參與過程中，教師及時回答學生對于理論推導中的困惑，從而使學生深刻理解有限元理論及其實現(xiàn)過程。最終學生編寫完整的程序分析載荷作用下桿和彈簧的受力及位移，這時教師還需幫助學生核查程序中的錯誤之處，保證程序通過。為了增強學生運用有限元數(shù)值分析方法解決實際工程問題的能力，通過參與式教學，讓學生基于自己編寫的有限元程序，分析桿和彈簧混合結構中的最大位移節(jié)點，且由計算得到的節(jié)點位移，繪制變形前后的結構形式。針對實際工程中材料強度的選擇問題，由節(jié)點力計算每個桿單元上的應力，即可由此應力最大值分析材料強度的下限，也可以由不同桿件上的不同應力確定每個桿件可以選擇的材料強度。另外針對實際工程中變形控制問題，不斷調整桿件的模量和彈簧剛度，數(shù)值計算得到不同的位移最大值，這樣基于模擬結果可以在變形控制約束下選取材料力學參數(shù)。

參與式教學實施過程

如圖中桿和彈簧混合結構為例，說明參與式教學實施過程。在理論推導上，首先引導學生建立一維桿件和彈簧受力的平衡方程，由節(jié)點力和節(jié)點位移得到矩陣方程，然后由矩陣形式得到一維桿件和彈簧的單元剛度矩陣，讓學生評述一維桿和彈簧單元剛度矩陣的異同點。之后引入坐標變換的概念，引導學生由坐標變換推導一維桿和彈簧在二維空間中的單元剛度矩陣。接下來對于桿和彈簧混合結構，引導學生組裝整體剛度矩陣，寫出混合結構整體剛度矩陣的形式。最后對于邊界條件，引導學生處理零位移邊界條件，并評述零位移邊界條件對總體剛度矩陣的影響，觀察剛度矩陣進行零邊界條件處理后是否變?yōu)闈M秩矩陣，然后通過對零邊界條件處理后的剛度矩陣求逆可以得到未知的節(jié)點位移，由總體節(jié)點位移向量和總體剛度矩陣可以得到所有節(jié)點受到的節(jié)點力。

為了加深學生對有限元理論的理解和編程實踐的鍛煉，可以讓學生在計算機上編寫一維桿和彈簧的單元剛度矩陣，并輸入具體材料參數(shù)從而得到單元剛度矩陣的具體數(shù)值形式，在這個過程中保持與學生的互動，學生對單元剛度矩陣程序有疑問或程序報錯都應及時解決。在上述程序基礎上，引導學生編寫坐標變換程序從而得到二維空間中桿和彈簧的單元剛度矩陣，然后編寫總體剛度矩陣程序。對于總體剛度矩陣程序，應讓學生用程序求矩陣的秩，觀察初始剛度矩陣是否為滿秩矩陣，討論非滿秩矩陣、矩陣階數(shù)和二維平面自由度的關系;對于總體剛度矩陣進行零位移邊界條件處理，編寫相應程序后，觀察縮減后的總體剛度矩陣是否為滿秩矩陣及其對矩陣求逆的影響。然后由縮減的總體剛度矩陣的逆矩陣和節(jié)點力向量，求解得到未知的節(jié)點位移，最后由未縮減的總體剛度矩陣和總體節(jié)點位移列向量得到所有節(jié)點力，在這個過程中學生有任何程序錯誤而得不到未知的節(jié)點位移和節(jié)點力，都應協(xié)助學生找出程序中的錯誤，使程序運行成功，從而激發(fā)學生學習熱情。

結束語

在《土木工程數(shù)值分析方法》課程中講授有限元理論，可以通過參與式教學，讓學生在互動中提高有限元理論的學習效率，在有限元矩陣的編程實踐中扎實掌握有限元求解流程，通過成功求解一個完整的有限元問題，增強學生的自信心，同時激發(fā)學生的學習興趣。

參考文獻

[1]單穎.參與式教學方法在高校課堂教學中的應用[J].皖西學院學報， 2006（4）.

[2]毛寧.參與式高校教學改革分析[J].赤峰學院學報（自然科學版）， 2016（9）.

（作者單位：浙江科技學院土木與建筑工程學院）