姚 波, 魏一丹, 王福忠

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034;2. 沈陽(yáng)工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽(yáng) 110136)

0 引 言

在控制理論中,可靠控制的設(shè)計(jì)增加了系統(tǒng)的保守性,如果系統(tǒng)正常運(yùn)行,則會(huì)有資源發(fā)生浪費(fèi),為了避免這一現(xiàn)象,我們研究故障對(duì)系統(tǒng)的影響程度,如果故障引起的波動(dòng)信號(hào)在容忍區(qū)間內(nèi),則系統(tǒng)不受干擾正常運(yùn)行。文獻(xiàn)[1]綜合介紹并展望了有關(guān)于線性系統(tǒng)區(qū)域穩(wěn)定可靠控制的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[2-3]分析了條形區(qū)域、圓盤區(qū)域不確定項(xiàng)的容忍區(qū)間,文獻(xiàn)[4-5]將極點(diǎn)配置在扇形和梯形區(qū)域,設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋可靠控制裝置,文獻(xiàn)[6-7]提出關(guān)于線性系統(tǒng)區(qū)域極點(diǎn)配置的理論依據(jù)。文獻(xiàn)[8-9]在傳感器和執(zhí)行器發(fā)生故障的前提下,設(shè)計(jì)使極點(diǎn)配置在指定區(qū)域內(nèi)的控制器。文獻(xiàn)[12]根據(jù)極點(diǎn)配置提出容忍區(qū)間的概念,文獻(xiàn)[13-14]提出了系統(tǒng)硬件冗余度的算法,利用增加故障部件的方法使系統(tǒng)穩(wěn)定,但這種方式在處理通道以及部件排列時(shí),通常需要反復(fù)實(shí)驗(yàn)才能確定,為了避免可靠控制造成的的資源浪費(fèi)、硬件冗余方式的繁瑣實(shí)驗(yàn),容忍區(qū)間的算法分析則具有一定的研究意義。

本文針對(duì)線性系統(tǒng),將靜態(tài)輸出反饋與區(qū)域極點(diǎn)配置相結(jié)合,在執(zhí)行器某條通道添加增益偏差,通過(guò)信號(hào)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響,得到了容忍區(qū)間的概念與算法。設(shè)計(jì)人員利用容忍區(qū)間算法,進(jìn)一步設(shè)計(jì)較好的系統(tǒng),降低設(shè)計(jì)成本。

1 問題描述

考慮線性定常系統(tǒng):

(1)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;y(t)∈Rm為系統(tǒng)的輸出向量,u(t)∈Rm為系統(tǒng)輸入向量;定常矩陣A∈Rn×n為系統(tǒng)矩陣、B∈Rn×n為控制矩陣、C∈Rm×n為系統(tǒng)的測(cè)量行滿秩矩陣。

對(duì)于線性系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器:

u(t)=Ky(t)

(2)

此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為

(3)

執(zhí)行器的單一通道增益偏差模型為

uf=Miu(t)

(4)

考慮模型(4),系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)為

(5)

其中Ac(fi)=A+BMiKC。

引理1 已知S是n×n正定對(duì)稱矩陣(m≤n),G是適維行滿秩矩陣,則矩陣GSG′可逆。

分析:證明GSGT可逆,等價(jià)于證明方程GSGTX=0只有零解。

證明 設(shè)GSGTX=0

∴XGSGTX=0

∴(GTX)TS(GTX)=0

∵S是n×n正定對(duì)稱矩陣

∴GTX=0

∴GGTX=0

又∵GGT可逆,則X=0

綜上,方程只有零解,GSGT可逆,證畢。

引理3[9]矩陣A的所有特征值,均配置在由h1,h2組成的垂直條形區(qū)域D(h1,h2)(圖1)內(nèi)的充要條件是:存在正定對(duì)稱的矩陣X,使得下式成立。

(6)

引理4[9]矩陣A的所有特征值,均配置在夾角為2θ的扇形區(qū)域D2θ(如圖2)內(nèi)的充要條件是存在正定對(duì)稱的矩陣X,使得下式成立:

(7)

圖1 垂直條形區(qū)域D(h1,h2)Fig.1 Vertical strip areaD(h1,h2)

圖2 扇形區(qū)域D2θFig.2 Sector areaD2θ

圖3 梯形區(qū)域DFig.3 Ladder areaD

引理5[10]存在增益矩陣K,使極點(diǎn)配置到公共區(qū)域D(圖3)內(nèi)的充要條件是:存在正定對(duì)稱矩陣X,矩陣P滿足下列線性矩陣不等式組:

成立。

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(3),存在靜態(tài)輸出反饋控制器(2)使其滿足引理5的充分條件為對(duì)于正定對(duì)稱矩陣X和矩陣U使得下列線性矩陣不等式LMIs:

存在(X,U),則控制器為K=UW-1。

其中:Ω1=AX+BUC,W可以由WC=CX求得。

證明 由引理5可知把閉環(huán)系統(tǒng)(3)極點(diǎn)配置梯形區(qū)域內(nèi)須滿足

整理可得

令U=KW

故有

也就是不等式(10)。

其中WC=CX,Ω1=AX+BUC。

下證W可逆。

對(duì)等式WC=CX等號(hào)左右兩邊乘以C′得:WCC′=CXC′

則W=CXC′(CC′)-1

即證CXC′可逆。

由引理1可知CXC′可逆,故W可逆。

定理得證。

3 數(shù)值仿真

考慮如下系統(tǒng):

圖4 第一通道增益偏差為[0.973,1.183]時(shí)極點(diǎn)恰好完全分布在梯形區(qū)域Fig.4 When the first channel gain deviation is [0.973, 1.183], the poles are exactly distributed in the trapezoidal area

現(xiàn)在考慮添加第一條通道增益偏差,使極點(diǎn)全部配置在梯形區(qū)域內(nèi),根據(jù)定理1可知,容忍區(qū)間的確定就是分別取|xij-t|-l≤0,yij≤+xijtanθ≤0的最優(yōu)解,當(dāng)執(zhí)行器第一條通道增益偏差為容忍區(qū)間f1∈(0.973,1.183)時(shí),觀察極點(diǎn)在梯形區(qū)域的分布情況如圖4所示。閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)全部配置在梯形區(qū)域內(nèi),這表示增益信號(hào)引起的波動(dòng)在[0.973, 1.183]內(nèi),并不影響執(zhí)行器的正常運(yùn)行。

利用執(zhí)行器在第一通道增益偏差[0.973, 1.183]時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣特征值,做進(jìn)一步檢驗(yàn)。如圖5和圖6所示,當(dāng)執(zhí)行器第一條通道增益偏差為[0.973,1.183]時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)矩陣特征值符合定理1的結(jié)論。因?yàn)閳?zhí)行器在第一條通道增益偏差為[0.973,1.183]時(shí),極點(diǎn)恰好完全配置在梯形區(qū)域,根據(jù)定義即執(zhí)行器第一條容忍區(qū)間為f1∈(0.973,1.183)。

圖5 第一通道增益偏差為[0.973,1.183]時(shí)極點(diǎn)分布與條形邊界的關(guān)系

圖6 第一通道增益偏差為[0.973,1.183]時(shí)極點(diǎn)分布與條形邊界的關(guān)系

現(xiàn)在考慮添加第二條通道增益偏差,使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)全部配置在梯形區(qū)域內(nèi)。根據(jù)定理1可知,容忍區(qū)間的確定就是分別取|xij-t|-l≤0,yij≤+xijtanθ≤0的最優(yōu)解,當(dāng)執(zhí)行器第二條通道增益偏差為容忍區(qū)間f2∈(0.6,1.005)時(shí),觀察極點(diǎn)在梯形區(qū)域的分布情況如圖7所示。

如圖7所示,執(zhí)行器第二通道增益偏差[0.6,1.005]時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)全部配置在梯形區(qū)域內(nèi),增益信號(hào)引起的波動(dòng)在[0.6,1.005]內(nèi),執(zhí)行器正常運(yùn)行。利用執(zhí)行器在第二通道增益偏差[0.6,1.005]時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣特征值。

如圖8和圖9所示,當(dāng)執(zhí)行器第二條通道增益偏差為[0.6,1.005]時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)矩陣特征值符合定理1的結(jié)論。執(zhí)行器在第二條通道增益偏差為[0.6,1.005]時(shí),極點(diǎn)恰好完全配置在梯形區(qū)域,根據(jù)定義執(zhí)行器第二條容忍區(qū)間為f2∈(0.6,1.005)。

圖7 第二通道增益偏差[0.6,1.005]極點(diǎn)恰好完全在梯形區(qū)域

圖8 第二通道增益偏差[0.6,1.005]時(shí)極點(diǎn)分布與條形邊界的關(guān)系

圖9 第二通道信號(hào)增益偏差[0.6,1.005]時(shí)極點(diǎn)分布與扇形邊界的關(guān)系Fig.9 The relationship between the pole distribution and the sector boundary when the second channel signal gain deviation [0.6,1.005]

根據(jù)定義1,執(zhí)行器各通道容忍區(qū)間越大,則增益偏差越大,在保證系統(tǒng)性能時(shí)容許信號(hào)波動(dòng)范圍越大;相反,執(zhí)行器各通道容忍區(qū)間越小,則增益偏差越小,在保證系統(tǒng)性能時(shí)容許信號(hào)波動(dòng)范圍越小。

4 結(jié) 論

本文主要研究正常系統(tǒng)的故障部件對(duì)系統(tǒng)的影響,結(jié)合了靜態(tài)輸出反饋控制,將添加增益偏差后的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn),配置在梯形區(qū)域內(nèi),根據(jù)增益偏差引起的信號(hào)波動(dòng),觀察極點(diǎn)的分布狀況,給出執(zhí)行器容忍區(qū)間的概念和算法。設(shè)計(jì)者如果可以掌握容忍區(qū)間,則在設(shè)計(jì)過(guò)程中就可以減少成本資源,并且保證系統(tǒng)較高的安全性能。文中的數(shù)值仿真得到的極點(diǎn)配置圖像證明了結(jié)論有效可行。