張佳凱

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

超聲波在有限空間的固體中傳播的時候,會不斷地反射并形成復(fù)雜的疊加干涉即導(dǎo)波。超聲導(dǎo)波在固體中的傳播相比光的傳播速度還是很慢的,因此本文不考慮相對論效應(yīng),仍然認(rèn)為它是一種宏觀低速的運(yùn)動。

利用超聲導(dǎo)波監(jiān)測鋼桿損傷是彈性波動在固體中傳播誕生的一種新興的損傷識別技術(shù)。早在19世紀(jì)末,人們就注意到超聲導(dǎo)波在板中的傳播,最終,H.Lamb[1]求出了導(dǎo)波在薄板中傳播的波動解,為了紀(jì)念他做的貢獻(xiàn),這個就被命名為Lamb波。1889年,Chree[2]在研究超聲導(dǎo)波在無限長桿件中傳播時發(fā)現(xiàn),超聲導(dǎo)波會出現(xiàn)不同的模態(tài),有縱向模態(tài)、扭轉(zhuǎn)模態(tài)和彎曲模態(tài),并給出了各自的頻率方程,然而由于這個方程屬于超越方程,無法得出解析解。終于在1973年,Pochhammer[3]運(yùn)用數(shù)值方法求解出來。1998年,英國帝國理工大學(xué)的M.J.S.Lowe和P.Cawley等開發(fā)出了一款可以快速繪制各類導(dǎo)波的頻散曲線的MATLAB程序[4],極大地提高了人們檢測的效率。超聲導(dǎo)波一直在發(fā)展,特別是近年來在國內(nèi)發(fā)展很快[5],因此在理論上進(jìn)一步研究導(dǎo)波在桿件中的傳播特性很有必要。

1 超聲導(dǎo)波的基本介紹

聲波是在正常情況下人能聽到的聲音,它的頻率一般處在20～20 000 Hz。超聲波是指頻率大于20 000 Hz的波,人不能聽到。超聲在傳播的過程中根據(jù)環(huán)境條件的不同分為兩種情形:一種是波在傳播過程中不受到邊界的限制——波在介質(zhì)中傳播時總接觸不到環(huán)境的邊界或者環(huán)境是理想的無限大空間,這種波稱為體波;另一種是波在傳播的過程中會受介質(zhì)邊界的限制——波在較小的環(huán)境中傳播,總是會遇到障礙(環(huán)境中存在卻也不一定都存在邊界,它的某個自由度上可能是無限大的空間)并在邊界處散射或反射,這種波稱為導(dǎo)波。

導(dǎo)波在傳播時,或是受邊界的影響,抑或是受介質(zhì)的影響,波的性質(zhì)可能改變,或是波的傳播方向改變。在這種情形中,導(dǎo)波由原來的單一的恒定的波形變成了由多股不定模態(tài)和傳播方向的波形,這種情況我們稱為波的頻散。

頻散描述的是波傳播的速度隨著頻率的變化而發(fā)生變化的關(guān)系;在聲學(xué)領(lǐng)域,波的頻散是指某一固定的、單一的頻率的波在傳播時分化出幾種不同頻率波。不同性質(zhì)的材料會有不同的表現(xiàn):能夠產(chǎn)生頻散的材料屬于色散材料,不發(fā)生頻散的材料屬于無色散材料。凡是發(fā)生頻散時,波的相速度、群速度總和波的中心頻率、波數(shù)密切聯(lián)系在一起。

2 波的類型與描述

波的類型主要有體波和面波,在整個彈性體傳播的是體波,比如縱波、橫波。而沿著兩種不同介質(zhì)的分界面?zhèn)鞑サ牟ū环Q為面波,如瑞利波和勒夫波,它的能量大致集中在分界面附近的范圍內(nèi),并且它的能量不向傳播路徑上的介質(zhì)傳播,而且它的形成是因為體波在介質(zhì)中相長干涉形成的。當(dāng)波從起始點(diǎn)處向遠(yuǎn)處傳播時,它的振幅會隨著傳播距離的增加而減小,這種衰減被稱為幾何或輻射衰減。當(dāng)波在傳播時因為材料的阻尼而導(dǎo)致的衰減被稱為材料衰減。當(dāng)波因為在介質(zhì)交界面反射而導(dǎo)致的衰減被稱為表觀衰減。有許多的速度描述波在傳播過程中的特性,下面主要介紹其中三種速度:相速度、群速度和能流速度。

2.1 相速度

波的相位變化的速率就稱為相速度,也就是波相位的傳播速度;單一頻率的波的速度就是相速度。下面用圖1介紹相速度的概念。

圖1 同相位點(diǎn)傳播速度

相同的相位點(diǎn)在單位時間內(nèi)傳播的距離稱為相速度?？傻玫较嗨俣萩p、周期T和波長λ的關(guān)系有:

(1)

(2)

式中:cp為相速度;w為用圓頻率;k為波數(shù)。

在無色散介質(zhì)中,用相速度就可以描述波的傳播速度,但是在有色散介質(zhì)中,僅用相速度就不能全面地描述波的傳播速度問題了。本文引入群速度來一起描述。

2.2 群速度

由一群不同頻率的波組成的在材料中一起傳播的速度,也就是一群波合成的波向前傳播的實際速度。從能量的角度看,就是這群波合成的能量一齊向前傳播的速度。下面,本文用兩個振幅相同,頻率、波數(shù)略有不同的正弦波沿著相同的方向傳播的例子來進(jìn)行說明。兩個波相互疊加后如圖2所示。

圖2 波的疊加

兩波疊加后的振幅為:

u=A[sin(ω1t-k1x)+sin(ω2t-k2x)]

(3)

u=C(x,t)sin(ω0t-k0x)

(4)

其中

C(x,t)=2Acos(Δωt-Δkx)

(5)

“振幅因數(shù)”C(x,t)稱為調(diào)制,sin(ω0t-k0x)為載波,上式表示一個波群包絡(luò)線,它以群速度cg傳播,令

Δωt-Δkx=常量

(6)

求導(dǎo)得:

(7)

取極限,得到群速度傳播的公式,也就是這列波能量的傳播速度:

(8)

2.3 桿狀固體中導(dǎo)波的傳播

2.3.1 彈性體的運(yùn)動方程

根據(jù)彈性力學(xué)的平衡微分方程,在運(yùn)動微分方程中除了要考慮應(yīng)力和體力外,還要考慮慣性力,根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,每體積彈性體上慣性分量分別為:

柱狀坐標(biāo)更適合表示桿,因此我們用柱狀坐標(biāo)代替直角坐標(biāo)下的運(yùn)動微分方程,有Navier控制方程[6]:

(9)

(10)

(11)

式中：ur、uθ、uz分別為圓柱的徑向、環(huán)向、軸向位移;ωz、ωr、ωθ為旋轉(zhuǎn)矢量的三個分量;λ為拉梅常數(shù);μ為泊松比;φ為柱坐標(biāo)下體積不變量;r為柱半徑;θ為圓柱截面夾角。

(12)

(13)

(14)

根據(jù)胡克定律,在桿狀固體的表面有邊界應(yīng)力σrr,σrθ,σrz滿足:

(15)

(16)

(17)

桿位移可以從桿的邊界條件推出:

ur=U(r)cosnθei(kz-ωt)

(18)

uθ=V(r)sinnθei(kz-ωt)

(19)

uz=Wrcosnθei(kz-ωt)

(20)

式中：n是自然數(shù)。

2.3.2 桿中導(dǎo)波傳播的縱向模態(tài)

當(dāng)應(yīng)力波在桿中傳播時,圓桿上各個點(diǎn)的位移關(guān)于中心軸對稱,即僅有ur、uz存在,uθ為零。縱向傳播模態(tài)如下圖3所示。

圖3 波傳播時的縱向模態(tài)

波傳播時縱向模態(tài)的頻率方程:

-(β2-k2)2J0(αa)J1(βa)

-4k2αβJ1(αa)J0(βa)=0

(21)

其中,

式(21)就是大名鼎鼎的Pochhammer方程。該方程在1876年就第一次被發(fā)表出來了,然后由于方程中存在兩個相互獨(dú)立的未知數(shù)k和f,因此并不能得到精確的解析解,再加上由于當(dāng)時數(shù)值計算能力的落后,直到1940年該方程才被解開。由此可以看出,一項技術(shù)的發(fā)展可以帶動其他領(lǐng)域的發(fā)展。

2.3.3 桿中導(dǎo)波傳播的扭轉(zhuǎn)模態(tài)

應(yīng)力波的扭轉(zhuǎn)模態(tài)如圖4所示,此時徑向位移和軸向位移為零,只有環(huán)向位移uθ存在。

圖4 波傳播時的扭轉(zhuǎn)模態(tài)

波傳播時扭轉(zhuǎn)模態(tài)的頻率方程為:

(βa)J0(βa)-2J1(βa)=0

(22)

2.3.4 桿中導(dǎo)波傳播的彎曲模態(tài)

應(yīng)力波在桿中的彎曲模態(tài)如圖5所示,這種模態(tài)比較復(fù)雜,一般研究n=1時的模態(tài),即F(1,m)模態(tài)。

圖5 波傳播時的彎曲模態(tài)

波傳播時彎曲模態(tài)的頻率方程為:

(23)

2.4 鋼桿的頻散曲線

2.4.1 頻散曲線的繪制

已知鋼桿(圖6)的彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7 860 kg/m3,泊松比ν=0.3,半徑d=4 mm。

圖6 鋼桿示意圖

將上述參數(shù)帶入到頻率方程,用MATLAB數(shù)值求解頻散方程,主要步驟如下:

(1) 令k=0求出當(dāng)k=0時滿足方程的f值,這里得到的f值即為模態(tài)對應(yīng)點(diǎn)的截止頻率;

(2) 取f值的范圍在0～1 000 kHz,求出每一個f值下滿足頻散方程的k值;

(3) 將得到的f值和k值組合,并將它們繪制出來,就得到了頻率和波數(shù)的關(guān)系圖,如圖7所示為縱向模態(tài)下的頻率和波數(shù)的關(guān)系,這里只畫出了前5階的模態(tài)。

圖7 縱向模態(tài)頻率和波數(shù)的關(guān)系

2.4.2 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的相速度

重復(fù)上節(jié)關(guān)于頻散方程的求解,利用各個模態(tài)的頻率方程,利用MATLAB軟件可以繪制出不同模態(tài)下、不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的相速度,如圖8所示是直徑為20 mm的鋼桿中導(dǎo)波相速度的頻散曲線。

圖8 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的相速度

從圖8可以看出:各個模態(tài)的相速度隨頻率變化的趨勢大體一致,但也有例外。如T(0,1)的相速度就不會隨著頻率的改變而改變,是個恒量;其他模態(tài)的相速度都是隨著頻率的增加而逐漸降低到趨于一定的值,而F(1,1)是隨著頻率的增加而增加到趨于一定的定值。

與其他模態(tài)的出現(xiàn)要高于一定的截止頻率不同,L(0,1)、F(1,1)和T(0,1)在0～1 000 kHz的范圍內(nèi)始終存在。

2.4.3 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的群速度

下面利用MATLAB軟件求解各個模態(tài)的頻率方程,繪制不同模態(tài)下、不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的群速度,如圖9所示是直徑為20 mm的鋼桿中導(dǎo)波群速度的頻散曲線。

圖9 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的群速度

從圖9可以看出:縱向模態(tài)L(0,m)和彎曲模態(tài)F(1,m)的群速度隨著頻率變化的趨勢大體一致,而扭轉(zhuǎn)模態(tài)T(0,m)則表現(xiàn)出不一樣的趨勢,除了T(0,1)的群速度不隨著頻率的改變而改變,其他扭轉(zhuǎn)模態(tài)的群速度隨著頻率的增加而增加并趨于一定值。同時,有著相同趨勢的縱向模態(tài)L(0,m)和彎曲模態(tài)F(1,m)也有明顯的不同之處,L(0,1)的群速度是先減小后增加到一個穩(wěn)定的值,F(1,1)的群速度是先增加再逐漸減小到一個穩(wěn)定的值。

同樣,與其他模態(tài)的出現(xiàn)要高于一定的截止頻率不同,L(0,1)、F(1,1)和T(0,1)在0～1 000 kHz的范圍內(nèi)始終存在;從圖9可以看出,在0～112.9 kHz的范圍內(nèi),模態(tài)數(shù)量最少,只有L(0,1)、F(1,1)和T(0,1)三個模態(tài)存在,在這個頻率范圍內(nèi),導(dǎo)波傳播的方式相對簡單,適合用于監(jiān)測。

3 結(jié)束語

本文重點(diǎn)介紹了超聲導(dǎo)波在桿狀固體中傳播的不同的模態(tài),并給出了各個模態(tài)的頻率方程;依據(jù)各個模態(tài)的頻率方程,利用MATLAB軟件繪出了各個模態(tài)相速度和群速度的頻散曲線,為現(xiàn)實檢測提供了有效的理論數(shù)據(jù)。