常 娟，劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

1986年，Atanassov[1]提出了直覺模糊集(IFS)，利用隸屬度和非隸屬度描述肯定和否定程度，從而能夠更全面地描述模糊信息。直覺模糊集要求隸屬度和非隸屬度之和不大于1，但是在決策過程中，當(dāng)獨立給出滿足屬性的隸屬度和非隸屬度時，會有二者之和超過1的情況發(fā)生，此時若不修改屬性信息，則直覺模糊的決策理論和方法是無法適用的。2013年，Yager等[2-3]在分析直覺模糊集補運算的基礎(chǔ)上，提出復(fù)雜條件下可將隸屬度與非隸屬度放寬至平方和不超過1，由此給出了直覺模糊集的最新推廣——畢達(dá)哥拉斯模糊集(PFS)。顯然，與IFS相比，PFS是刻畫模糊信息更有力的工具。 近幾年來，研究者們對PFS表現(xiàn)出很大的興趣，也取得了許多研究成果。 Zhang等[4-5]提出畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)(PFN)的概念，并定義了PFN的運算和距離、得分函數(shù)、精確函數(shù)及相似度；Peng等[6]定義了PFN的除法和減法運算；李德清等[7]則稱PFN為勾股模糊數(shù)，比較了勾股模糊數(shù)的3種排序方法，并定義了勾股模糊數(shù)的幾種距離測度。在決策方法方面：文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[7]將TOPSIS法推廣至PFN環(huán)境；Ren等[8]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下的TODIM法；Zhang[9]提出了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯QUALIFLEX法。在畢達(dá)哥拉斯集成算子方面：劉衛(wèi)鋒等[10-11]定義了PFN的一系列集成算子，如加權(quán)平均(PFOWA)和加權(quán)幾何(PFOWG)算子、擬有序加權(quán)算子和畢達(dá)哥拉斯模糊交叉影響算子；Garg[12]提出了Einstein運算下的畢達(dá)哥拉斯模糊集成算子；Wu等[13]、彭定洪等[14]分別提出了畢達(dá)哥拉斯模糊Hamacher集成算子和優(yōu)先集結(jié)算子；常娟等[15]研究了考慮屬性信息分布的畢達(dá)哥拉斯密度算子。此外，關(guān)于畢達(dá)哥拉斯拓展形式的研究中，畢達(dá)哥拉斯模糊軟集[16]、畢達(dá)哥拉斯模糊語言集[17-18]、畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集[19-20]等相繼展開并用于解決不同模糊環(huán)境下的決策問題。

以上關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的決策成果大多是在假設(shè)決策者完全理性的情況下給出的，但在實際決策過程中,決策者存在的非理性心理、對風(fēng)險的偏好等都會對決策結(jié)果產(chǎn)生影響。為此，Kahneman等[21-22]提出了著名的前景理論，目前已得到廣泛研究和應(yīng)用。李鵬等[23]針對指標(biāo)權(quán)重未知的隨機直覺模糊決策問題，提出了基于前景理論和新的記分函數(shù)的隨機決策方法；Li等[24]、王應(yīng)明等[25]則提出前景理論與TOPSIS相結(jié)合的決策方法并分別應(yīng)用于直覺梯形模糊、猶豫模糊環(huán)境；Peng等[26]提出了基于前景理論的TODIM和PROMETHEE法；Zhou等[27]則將前景理論用于研究投資組合群決策問題；羅承昆等[28]針對混合型多屬性決策問題，提出了基于前景理論和證據(jù)推理的決策方法。

受文獻(xiàn)[24]和文獻(xiàn)[25]的啟發(fā)，針對屬性信息為PFN的多屬性決策問題，本研究提出了基于前景理論的TOPSIS決策方法。首先，對文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[7]所提的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法進(jìn)行對比分析，并指出存在的問題，提出解決的方法；其次，提出畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的前景價值函數(shù)，并將正、負(fù)理想方案作為參考點，通過計算各方案的收益-損失比對各方案進(jìn)行優(yōu)劣排序；最后，通過一個算例對所提方法的可行性與有效性進(jìn)行了驗證。

1 基本概念

1.1 畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)

若將PFN的隸屬度和非隸屬度看成二維坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則根據(jù)文獻(xiàn)[2]給出刻畫PFN長度和方向的量。

基于以上定義，畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)又可表示為P=rPeiθP，并稱為∏-i型模糊數(shù)。

定義3設(shè)A，B∈PFNs，且A=<μA，vA>，B=<μB，vB>，λ>0。定義如下運算：

關(guān)于PFN大小的比較，文獻(xiàn)[2]提出了排序函數(shù)值, 根據(jù)排序函數(shù)值的大小確定PFN的大小。

對于任意的P1=<μP1，vP1>，P2=<μP2，vP2>∈PFNs，則

(1)若V(P1)>V(P2)，則P1P2；(2)若V(P1)=V(P2)，則P1=P2。

文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]將直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)推廣至PFN，并以此作為比較PFN大小的依據(jù)。

設(shè)P1=<μP1，vP1>，P2=<μP2，vP2>∈PFNs，則

(1)當(dāng)s(P1)>s(P2)時，P1P2；

(2)當(dāng)s(P1)=s(P2)時，若h(P1)>h(P2)，則P1P2；若h(P1)=h(P2)，則P1=P2。

文獻(xiàn)[7]提出在比較P1=<0.5,0.1>和P2=<0.6,0.3>時，如果將P1、P2作為直覺模糊數(shù)，則利用得分函數(shù)可得P1P2，而作為PFN時，由定義5的方法可得P2P1，由定義4的方法可得P1P2。因此，文獻(xiàn)[7]認(rèn)為定義5所提的方法不夠科學(xué)。

關(guān)于畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的距離，文獻(xiàn)[4]給出如下定義：

定義6設(shè)A=<μA，vA>，B=<μB，vB>∈PFNs，定義A、B的距離為

文獻(xiàn)[7]認(rèn)為上述距離的定義只考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度，并且通過例子說明了上述定義的不合理性。事實上，PFN主要由隸屬度、非隸屬度、自信度、自信度方向4個因素決定。因此，李德清等給出了如下PFN的距離測度：

定義7設(shè)A=<μA，vA>，B=<μB，vB>∈PFNs，常數(shù)q>0。則

1.2 前景理論

在實際決策中，決策者會出現(xiàn)在面臨損失時偏好風(fēng)險、面臨收益時厭惡風(fēng)險的“有限理性”行為。文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[22]提出了前景理論和累積前景理論。前景理論中的前景價值由價值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)確定，而前景價值函數(shù)是決策者根據(jù)實際收益或損失所產(chǎn)生的主觀感受價值。1992年，文獻(xiàn)[22]等提出如下形式的價值函數(shù):

定義8設(shè)數(shù)x偏離某一參考點x0的大小為Δx，且Δx≥0表示x相對于x0獲得收益，Δx≤0表示遭受損失，記x的價值函數(shù)

式中：參數(shù)α>0和β<1分別表示決策者對收益和損失的敏感程度；參數(shù)θ>1表示相對于收益，決策者對損失更加敏感。

Kahneman等通過經(jīng)驗數(shù)據(jù)認(rèn)為，通?？扇ˇ?β=0.88、θ=2.25。

下面將上述定義推廣至畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境，提出畢達(dá)哥拉斯模糊前景價值函數(shù)。

定義9設(shè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)P1、P2，若以P2為決策參考點，則P1的前景價值函數(shù)為

式中：d(P1，P2)為P1、P2的距離；參數(shù)α>0，β<1，θ>1。

2 基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法

2.1 文獻(xiàn)[4]與文獻(xiàn)[7]的方法比較

文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[7]都將TOPSIS法推廣至畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境，但是二者的方法存在以下區(qū)別：

(1)選取正、負(fù)理想方案的方法不同。文獻(xiàn)[4]利用PFN的得分函數(shù)確定正、負(fù)理想方案，即

而文獻(xiàn)[7]則利用排序函數(shù)值作為選取依據(jù)，即

以上兩種方法都是對TOPSIS法的拓展性研究，豐富了畢達(dá)哥拉斯模糊決策方法理論，但是也存在以下問題：

(1)在確定正、負(fù)理想方案時，利用得分函數(shù)或排序函數(shù)值會得到不同的結(jié)果。例：考慮畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)集{<0.6，0.3>，<0.5，0.3>，<0.7，0.4>，<0.6，0.6>}，如果利用得分函數(shù)則最優(yōu)為<0.7，0.4>，而利用排序函數(shù)值則最優(yōu)為<0.6，0.3>。模糊數(shù)的比較本身就是有爭議的，無論是采取得分函數(shù)還是排序函數(shù)值得到的最優(yōu)結(jié)果都是帶有主觀因素的。

(2)兩種方法都是在決策者完全理性的條件下考慮的，而實際決策過程中，決策者對風(fēng)險是有偏好的，是有限理性的。因此，考慮決策者實際風(fēng)險偏好的畢達(dá)哥拉斯決策問題是有實際背景和意義的。

2.2 基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法

為解決以上問題，首先,在確立正、負(fù)理想方案時，要采取更為客觀的方法，直接從原始信息中構(gòu)造正、負(fù)理想方案，避免因采用不同的標(biāo)準(zhǔn)而得到不同的結(jié)果。其次，考慮到?jīng)Q策者的風(fēng)險態(tài)度，通過計算各方案到正、負(fù)理想方案的前景價值函數(shù)，從而得到收益-損失比，以此替代貼近度對各方案進(jìn)行擇優(yōu)排序。下面提出基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法。具體步驟如下：

步驟2確定正理想方案H+和負(fù)理想方案H-，其中

以上確定正、負(fù)理想方案的方法，可以保證無論是在得分函數(shù)還是在排序函數(shù)值下，各屬性值都是最優(yōu)或者最劣的。

步驟4由于各方案的屬性值相對于正理想方案都是損失的，相對于負(fù)理想方案都是獲益的，設(shè)Hi相對于H+的綜合損失值為Φ-(Hi)，相對于H-的綜合收益值為Φ+(Hi)，則由定義9, 可得

3 決策應(yīng)用

3.1 決策算例

隨著我國社會經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，飛機成為人們出行的重要選擇。目前，隨著航空市場的完善，以及我國高鐵的全面覆蓋，航空公司間的競爭也日趨激烈。為了爭取更多的客源，各航空公司在保證同質(zhì)量的基本服務(wù)之外，提高特色服務(wù)質(zhì)量成了競爭的重要手段。因此，對我國航空公司服務(wù)質(zhì)量的評估有重要的實際意義。假設(shè)現(xiàn)在對4家航空公司(H1、H2、H3、H4)進(jìn)行航空服務(wù)質(zhì)量評價和排序。邀請相關(guān)領(lǐng)域的專家并隨機選取客戶進(jìn)行調(diào)研，從票務(wù)服務(wù)(u1)、登機服務(wù)(u2)、空中客艙服務(wù)(u3)、中轉(zhuǎn)/聯(lián)程服務(wù)(u4)4個方面對各航空公司進(jìn)行評價，并以畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的形式給出評估值。如H1在u1下的評估值為<0.9,0.3>，表示滿意度為0.9，不滿意度為0.3。類似地，其他屬性值如表1所示。各屬性權(quán)重向量為w=(0.15,0.25,0.35,0.25)。

表1 畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣Tab.1 Pythagorean fuzzy decision matrix

步驟1由于各屬性準(zhǔn)則均為效益型，而且各屬性信息量綱相同，故不需要對表1進(jìn)行規(guī)范化處理。

步驟2確定正、負(fù)理想方案，如表1所示。

步驟3由定義7計算各方案與正、負(fù)理想方案相應(yīng)屬性值的距離(比如選取海明距離)，則得到距離矩陣如表2和表3所示。

表2 各方案屬性信息到H+的距離 Tab.2 Distance from attribute value of each scheme to H+

表3 各方案屬性信息到H-的距離 Tab.3 Distance from attribute value of each scheme to H-

步驟4計算各方案相對于H+的綜合損失值與相對于H-的綜合收益值。取參數(shù)α=β=0.88，θ=2.25。

首先，利用表2中H1和H+各屬性值的距離，得到H1相對于H+的綜合損失值：

Φ-(H1)=-2.25(0.15·0.048 10.88+0.25·0.2280.88+0.35·0.425 60.88+0.25·0.057 00.88)=-0.593 1。

類似地，利用表3中H1和H-各屬性的距離，得到H1相對于H-的綜合收益值：

Φ+(H1)=0.15·0.376 80.88+0.25·00.88+0.35·00.88+0.25·0.193 20.88)=0.122 4。

其他方案的綜合損失值和綜合收益值可做類似計算，具體結(jié)果如表2和表3所示。

步驟5計算各方案的收益-損失比分別為

s1=0.206 4，s2=1.203 7，s3=0.688 7，s4=0.704 2，

則各航空企業(yè)的排序結(jié)果為H2H4H3H1。

3.2 算例分析

首先，考慮到態(tài)度參數(shù)對決策結(jié)果的影響，分別令α、β取不同的值，當(dāng)θ=2.25時，利用所提方法得到排序結(jié)果，如表4所示。

表4 θ=2.25時，不同參數(shù)下的排序結(jié)果 Tab.4 When θ=2.25, the sort results under different parameters

由表4可見，隨著α增大、β減少，H2的收益-損失比與其他企業(yè)的差距越來越大，其排序第一的優(yōu)勢地位越來越凸顯。這表明決策者更看重收益，而忽略損失的風(fēng)險。相應(yīng)地，各企業(yè)的排序發(fā)生了變化，但是最優(yōu)企業(yè)均為H2，最劣企業(yè)均為H1，從表1的原始信息可以看出，H2的各屬性值有明顯的優(yōu)勢，而H1的各屬性值有明顯的劣勢。因此，本方法在體現(xiàn)決策者風(fēng)險態(tài)度的同時，是符合客觀事實的。

其次，與本方法提出的當(dāng)參數(shù)α=β=0.88、θ=2.25時的結(jié)果相比，文獻(xiàn)[4]的方法排序結(jié)果不同，這是由于確定正、負(fù)理想方案，以及使用距離測度不同，并且本方法考慮了決策者風(fēng)險態(tài)度。而文獻(xiàn)[7]的方法結(jié)果與本方法結(jié)果是一致的。但是如果對本方法所得的收益-損失比歸一化可得(0.073 6，0.430 7，0.245 7，0.251 2)，而將文獻(xiàn)[7]的貼近度歸一化可得(0.139 7，0.336 6，0.261 1，0.262 6)。可見相比貼近度，收益-損失比中H2得到明顯提升，H1明顯下降，H3、H4之間的區(qū)分度也更明顯。這體現(xiàn)了決策者風(fēng)險態(tài)度因素確實對決策結(jié)果產(chǎn)生了影響，表明本方法是有效的。

4 結(jié)語

針對屬性值為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的多屬性決策問題，對已有的TOPSIS法進(jìn)行比較分析，指出了存在的問題。考慮到?jīng)Q策者的有限理性行為，提出了基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法。該方法考慮了實際問題中人們對收益和損失的風(fēng)險偏好，通過計算方案到正、負(fù)理想方案的收益-損失比對各方案排序。算例分析表明本方法是有效、可行的，是對畢達(dá)哥拉斯模糊決策方法的補充，可用于供應(yīng)商選擇、行業(yè)評估等多種實際決策問題。