李天馳，王 果

(河南工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 451191)

精密的衛(wèi)星軌道是接收機(jī)等終端設(shè)備導(dǎo)航定位的基礎(chǔ)[1]，利用精密星歷進(jìn)行衛(wèi)星位置插值計(jì)算在精密單點(diǎn)定位、低軌道星載GPS精密定軌等方面具有重要意義。精密星歷或插值方法的選擇直接影響衛(wèi)星定軌精度，進(jìn)而對(duì)定位產(chǎn)生影響[2-4]。洪櫻等[5]利用GPS的精密星歷分析和比較了兩種滑動(dòng)式多項(xiàng)式插值及線性插值法，得出Newton插值算法效率比Lagrange插值效率高的結(jié)論。汪威等[6]利用北斗的精密星歷分析了不同插值方法對(duì)不同軌道的衛(wèi)星插值誤差及多項(xiàng)式的階數(shù)關(guān)系，提出對(duì)BDS不同類型的衛(wèi)星采用不同方法與不同階次進(jìn)行插值計(jì)算。汪平等[7]利用IGS(international GNSS service)提供的快速精密星歷和事后精密星歷進(jìn)行衛(wèi)星定位精度對(duì)比，提出二者定位精度均能達(dá)到毫米級(jí)，可用快速精密星歷代替事后精密星歷進(jìn)行衛(wèi)星定位，而且不影響定位精度。

隨著B(niǎo)DS和GLONASS衛(wèi)星的逐步完善，多衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Multi-GNSS，簡(jiǎn)稱為多模)定位已大量應(yīng)用在科研和民用領(lǐng)域，如在森林中定位并進(jìn)行資源調(diào)查[8]、車載導(dǎo)航[9]、基于Android平臺(tái)的智能手機(jī)實(shí)時(shí)定位[10]、精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)中實(shí)現(xiàn)農(nóng)機(jī)自動(dòng)駕駛[11]等。袁宏超等[12]在BDS及GPS雙系統(tǒng)的基礎(chǔ)上研究對(duì)比了多頻RTK定位算法，提出雙系統(tǒng)聯(lián)合定位精度要高于各個(gè)單系統(tǒng)定位精度。李湘梅等[13]基于BDS、GLONASS和GPS系統(tǒng)對(duì)多模式單點(diǎn)定位性能進(jìn)行了比較分析，提出隨著衛(wèi)星高度截止角的增大，三系統(tǒng)組合模式的定位精度高于其他模式。

然而，現(xiàn)有研究大多關(guān)注于某一定位系統(tǒng)，對(duì)多系統(tǒng)組合定位下衛(wèi)星插值方法的研究較少。因此，本研究在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用多系統(tǒng)精密星歷數(shù)據(jù)，在相同階數(shù)的條件下分別使用Lagrange插值法、Neville插值法和Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理，分析了3種方法計(jì)算結(jié)果的精度，為計(jì)算多模GNSS衛(wèi)星位置提供了參考。

1 多模GNSS衛(wèi)星軌道插值方法及精度評(píng)定

1.1 Lagrange插值法

Lagrange插值法在GPS定軌計(jì)算中已被廣泛應(yīng)用[14]。該方法的基本原理是由已知二維觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式，再代入待插值點(diǎn)即可得到插值數(shù)據(jù)。

已知時(shí)間軸的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)t0,t1,t2,…，tn及其對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星坐標(biāo)值x0，x1,x2,…，xn,則t時(shí)刻函數(shù)值的插值公式為

(1)

式中：ti、tj為已知時(shí)間軸節(jié)點(diǎn)；xi為ti時(shí)刻衛(wèi)星X或Y或Z方向的坐標(biāo)值；n為插值階數(shù)；xt為插值計(jì)算得到的衛(wèi)星X或Y或Z方向的坐標(biāo)值。

1.2 Neville插值法

Neville插值法與Newton插值法類似，都是在Lagrange插值法的基礎(chǔ)上進(jìn)行算法改進(jìn)而得。Lagrange插值時(shí)，每增加一個(gè)新節(jié)點(diǎn)都要重新計(jì)算，即它不具備承襲性。Neville插值的基本思想是通過(guò)線性逐步求差來(lái)避免增加節(jié)點(diǎn)帶來(lái)的計(jì)算冗余[15]。

已知時(shí)間軸上有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn及其對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星各方向坐標(biāo)值f(x)0,f(x)1,f(x)2,…,f(x)n，則遞推公式為

Ti,0=f(x)i，

(2)

(3)

式中：Ti,0表示第i時(shí)刻第0階的插值結(jié)果；Ti-1, j-1表示第i-1時(shí)刻第j-1階的插值結(jié)果；Ti, j-1表示第i時(shí)刻第j-1階的插值結(jié)果；Ti, j表示第i時(shí)刻第j階的插值結(jié)果。

1.3 Chebyshev多項(xiàng)式擬合法

多項(xiàng)式擬合常用Chebyshev多項(xiàng)式和Legendre多項(xiàng)式。采用Chebyshev多項(xiàng)式擬合法，當(dāng)時(shí)間歷元選取較長(zhǎng)時(shí)段、采用高階多項(xiàng)式時(shí)，擬合效果最佳，即使是時(shí)間歷元兩端的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，其擬合效果也比較好，避免了龍格現(xiàn)象對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響[16]。

假定欲將在間隔[ts,te]的衛(wèi)星軌道用n階切比雪夫多項(xiàng)式逼近，其中ts為開(kāi)始時(shí)刻、te為結(jié)束時(shí)刻，Δt=te-ts為擬合時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，先將變量t∈[ts,te]歸化到區(qū)間τ∈[-1,1]，即

(4)

衛(wèi)星在空間中任一方向坐標(biāo)可用切比雪夫多項(xiàng)式表示為

(5)

式中：n為擬合階數(shù)；Cxi為切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。對(duì)MGEX提供的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)采用最小二乘擬合法可以求出Cxi。利用遞推方式，切比雪夫多項(xiàng)式Ti可確定為

T0(τ)=1，

(6)

T1(τ)=τ，

(7)

Tn(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ),|τ|≤1,n≥2。

(8)

1.4 插值方法精度評(píng)定指標(biāo)

對(duì)計(jì)算差值結(jié)果需要進(jìn)行精度評(píng)定，常用的精度評(píng)定指標(biāo)有殘差、均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)差等。為了直觀地顯示計(jì)算數(shù)據(jù)的精度，本研究采用殘差、均方根誤差及平均絕對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1.4.1殘差

殘差是指實(shí)際值與計(jì)算結(jié)果之間的差值，在衛(wèi)星定軌計(jì)算中，表示的是衛(wèi)星位置觀測(cè)數(shù)據(jù)與插值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)之差。殘差反映了插值計(jì)算得到的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)的離散程度。一般來(lái)說(shuō)，殘差越小，衛(wèi)星位置插值結(jié)果與觀測(cè)數(shù)據(jù)越吻合，精度越高。

1.4.2均方根誤差

均方根誤差在衛(wèi)星定軌計(jì)算中表示衛(wèi)星位置觀測(cè)數(shù)據(jù)與插值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)的平方和求平均后的平方根，它能夠直觀地顯示衛(wèi)星位置插值結(jié)果與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的偏差。均方根誤差越小，計(jì)算結(jié)果精度越高。其定義為

(9)

式中：xobserve,i為第i次的觀測(cè)值，即MGEX提供的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)；xmodel,i為第i次的預(yù)測(cè)值，即使用不同插值或擬合方法計(jì)算得到的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)；n為插值或擬合階數(shù)。

1.4.3平均絕對(duì)誤差

平均絕對(duì)誤差在衛(wèi)星定軌計(jì)算中表示的是殘差絕對(duì)值之和再求平均，使用殘差絕對(duì)值可以避免誤差相互抵消的問(wèn)題，能很好地反映計(jì)算結(jié)果誤差的實(shí)際情況。其定義為

(10)

式中：xobserve,i為第i次的觀測(cè)值，即MGEX提供的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)；xmodel,i為第i次使用不同插值或擬合方法計(jì)算得到的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)；n為插值或擬合階數(shù)。

2 多模GNSS衛(wèi)星軌道插值實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 數(shù)據(jù)選取與實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)采用的是由歐洲定軌中心(center for orbit determination in Europe，CODE)提供的精密星歷數(shù)據(jù)，隨機(jī)選取2019年4月20日00：00起間隔為5 min的數(shù)據(jù)。為了能有效評(píng)估龍格現(xiàn)象，插值或擬合階數(shù)選定為20階，則相應(yīng)插值節(jié)點(diǎn)為21個(gè)。由于本次實(shí)驗(yàn)選取的時(shí)間節(jié)點(diǎn)間隔為10 min，則總歷元時(shí)長(zhǎng)約為6 h。隨機(jī)選取6：30—13：10以10 min為間隔的PG04(GPS)、PR10(GLONASS)及PC06(BDS)衛(wèi)星數(shù)據(jù)，插值計(jì)算5 min間隔的衛(wèi)星位置。

為了避免在插值過(guò)程中出現(xiàn)龍格現(xiàn)象[17]，本次實(shí)驗(yàn)的插值方法采用滑動(dòng)式，即通過(guò)不斷變換插值區(qū)間，使內(nèi)插點(diǎn)始終位于數(shù)據(jù)點(diǎn)中央，以此來(lái)提高插值精度。對(duì)選取的數(shù)據(jù)，分別使用滑動(dòng)式Lagrange插值法、Neville插值法與Chebyshev多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行計(jì)算，在MATLAB R2017B環(huán)境下進(jìn)行編程，得到了起始?xì)v元在8：05、終止歷元在11：25的21個(gè)節(jié)點(diǎn)的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)。

2.2 結(jié)果及分析

2.2.1滑動(dòng)式Lagrange插值法精度分析

為方便比較，選取各類衛(wèi)星的5個(gè)節(jié)點(diǎn)(10：15—10：55)的殘差，插值結(jié)果見(jiàn)表1，均方根誤差與平均絕對(duì)誤差見(jiàn)表2。計(jì)算結(jié)果的殘差比較圖像見(jiàn)圖1。

表1 Lagrange插值結(jié)果Tab.1 The results of Lagrange interpolation

表2 Lagrange插值法計(jì)算結(jié)果精度評(píng)定Tab.2 Accuracy evaluation of Lagrange interpolation calculation results

圖1 Lagrange插值法計(jì)算3類衛(wèi)星位置的結(jié)果殘差Fig.1 The residual error of three kinds of satellite positions calculated by Lagrange interpolation

從表1和圖1可以看出，由于使用了滑動(dòng)式Lagrange插值法，所以在內(nèi)插點(diǎn)兩端基本沒(méi)有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。各類衛(wèi)星計(jì)算結(jié)果的插值誤差在2.5 mm內(nèi)，最優(yōu)處為PG04(GPS)衛(wèi)星8：35、Z方向，殘差達(dá)到0.004 1 mm。Lagrange插值法計(jì)算衛(wèi)星X方向的位置數(shù)據(jù)誤差較大，殘差最大值達(dá)到-2.212 mm，而計(jì)算衛(wèi)星Y或Z方向位置數(shù)據(jù)誤差均較小，基本在1.5 mm以下。從表2中可以看出，Lagrange插值法計(jì)算GPS和BDS衛(wèi)星位置效果較好。

2.2.2Neville插值法精度分析

Neville插值法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3、表4和圖2。表3為選取各類衛(wèi)星5個(gè)節(jié)點(diǎn)的殘差結(jié)果，表4為Neville插值精度評(píng)價(jià)，圖2為3類衛(wèi)星插值結(jié)果殘差比較圖。從表3和圖2可以看出，各類衛(wèi)星插值結(jié)果誤差基本在2.5 mm以內(nèi)，但PC06(BOS)衛(wèi)星在11：25、Z方向誤差達(dá)到-4.335 9 mm。最優(yōu)處為PG04(GPS)衛(wèi)星在9：05、Z方向，殘差為0.018 8 mm。從表4可以看出，用Neville插值法計(jì)算衛(wèi)星Z方向位置數(shù)據(jù)誤差較大，計(jì)算GPS和GLONASS衛(wèi)星位置精度較高。

表3 Neville插值結(jié)果Tab.3 The results of Neville interpolation

表4 Neville插值法計(jì)算結(jié)果精度評(píng)定Tab.4 Accuracy evaluation of Neville interpolation calculation results

圖2 Neville插值法計(jì)算3類衛(wèi)星位置的結(jié)果殘差Fig.2 The residual error of three kinds of satellite positions calculated by Neville interpolation

2.2.3Chebyshev多項(xiàng)式擬合法精度分析

Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5、表6和圖3。表5為選取各類衛(wèi)星5個(gè)節(jié)點(diǎn)的殘差結(jié)果，表6為Chebyshev擬合精度評(píng)價(jià)，圖3為3類衛(wèi)星插值結(jié)果殘差比較圖。從表5和圖3可以看出，各類衛(wèi)星插值結(jié)果誤差基本都在2 mm以內(nèi)，有些衛(wèi)星甚至達(dá)到1 mm以內(nèi)。最優(yōu)處為PC06(BDS)衛(wèi)星在11：15、Y方向，殘差達(dá)到-0.000 2 mm。從表6中可以看出，用Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算BDS衛(wèi)星Z方向精度最高，其均方根誤差和平均絕對(duì)誤差值均為最小。綜合比較，用Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算GPS和BDS衛(wèi)星位置精度較高。

表5 Chebyshev多項(xiàng)式擬合結(jié)果Tab.5 The results of Chebyshev polynomial

表6 Chebyshe多項(xiàng)式擬合法計(jì)算結(jié)果精度評(píng)定Tab.6 Accuracy evaluation of Chebyshe polynomial calculation results

表5(續(xù))

表6(續(xù))

圖3 Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算3類衛(wèi)星位置的結(jié)果殘差Fig.3 The residual error of three kinds of satellite positions calculated by Chebyshev interpolation

3 結(jié)語(yǔ)

本研究采用CODE發(fā)布的精密星歷數(shù)據(jù)，分別使用Lagrange插值法、Neville插值法與Chebyshev多項(xiàng)式擬合法對(duì)GPS、GLONASS和BDS衛(wèi)星位置進(jìn)行了計(jì)算。高階插值計(jì)算容易在時(shí)間節(jié)點(diǎn)兩端出現(xiàn)龍格震蕩現(xiàn)象，本研究對(duì)傳統(tǒng)插值算法進(jìn)行改進(jìn)，使用滑動(dòng)式算法以減少龍格現(xiàn)象的影響。對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行綜合比較，Lagrange插值法和Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算結(jié)果殘差均在2.5 mm內(nèi)，Neville插值法計(jì)算結(jié)果殘差在5 mm內(nèi)。對(duì)于不同方向的空間位置，3類方法計(jì)算衛(wèi)星X方向的誤差均較大，如Lagrange插值法計(jì)算PR10(GLONASS)衛(wèi)星8：05、X方向殘差為-2.212 mm。對(duì)于GPS衛(wèi)星，使用3個(gè)插值方法計(jì)算效果均較好；對(duì)于BDS衛(wèi)星，使用Lagrange插值法和Chebyshev多項(xiàng)式擬合法計(jì)算效果較好；對(duì)于GLONASS衛(wèi)星，使用Neville插值法計(jì)算效果較好。在編程算法實(shí)現(xiàn)方面，Neville插值法通過(guò)逐步求差的方法計(jì)算插值點(diǎn)數(shù)據(jù)，比Lagrange插值法和Chebyshev多項(xiàng)式擬合法效率高。