曾小華 蔣紅珠

(1.四川師范大學數(shù)學科學學院 610068；2.廣東華南師范大學數(shù)學科學學院 510631)

一、引言

我國中科院著名的李邦河院士講：“數(shù)學根本上是玩概念的，而不是純粹的技巧.”導數(shù)的定義在高中數(shù)學乃至是大學數(shù)學中都具有重要的作用，高中數(shù)學教學重視利用導數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、最值、極值等，但是對導數(shù)定義的教學是不夠深入的，因此在高考數(shù)學中遇到求“不定式”極限時，考生往往難以解決這類問題.接下來，將對不定式極限和導數(shù)的定義相關(guān)內(nèi)容作簡單的介紹.

不定式極限簡介若函數(shù)f和g滿足：

導數(shù)定義簡介設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是

這就是函數(shù)定義在一點處的導數(shù).

二、直接構(gòu)造導數(shù)定義求解“不定式”極限

1.利用導數(shù)求不等式成立問題

例1(2017年全國高考數(shù)學文科卷Ⅱ第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.

對于問題(2)顯然可以使用分離參數(shù)法，需要進行分情況討論.

當x=0時，顯然有(1-02)e0≤a·0+1，故不等式恒成立，所以a∈R；

顯然這是一個不定式極限，注意到分式的分母結(jié)構(gòu)，考慮直接構(gòu)造導數(shù)的定義.

令函數(shù)n(x)=(1-x2)ex-1，顯然n(0)=0.

直接構(gòu)造導數(shù)的定義，故有

該極限為函數(shù)n(x)在x=0處導數(shù)的定義，所以

所以a的取值范圍為[1,+).

評注該試題為典型的求不定式極限問題，分母的結(jié)構(gòu)和導數(shù)定義中的結(jié)構(gòu)是完全相同的，故考慮直接構(gòu)造導數(shù)的定義.巧令函數(shù)n(x)=(1-x2)ex-1，讓分子的結(jié)構(gòu)和分母的結(jié)構(gòu)與導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)相對應(yīng)起來，將不定式極限轉(zhuǎn)化為求導運算.

2.利用導數(shù)定義求恒成立中參數(shù)問題

例2(2016全國高考數(shù)學文科卷Ⅱ第21題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若當x∈(1,+)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.

對于問題(2)，對x∈(1,+)時，要使得f(x)>0,

即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

由于x∈(1,+)，分離參數(shù)，可得

這個極限顯然為不定式極限，考慮使用導數(shù)的定義.

令p(x)=(x+1)lnx，顯然有p(1)=0.

所以a的取值范圍為(-∞,2).

評注該試題中巧設(shè)函數(shù)p(x)=(x+1)lnx，借助p(1)=0，將不定式極限轉(zhuǎn)化為導數(shù)的定義來求解，這種以定義的方式來解決不定式極限的方法，充分體現(xiàn)導數(shù)定義的力量.

3.利用導數(shù)定義求參數(shù)取值范圍問題

所以m(x)在區(qū)間x∈(0,+)上單調(diào)遞增.

這個極限顯然為不定式極限，考慮使用導數(shù)的定義.

設(shè)p(x)=(x+1)ln(x+1)，顯然就有p(0)=0.

評注該試題的解決方法相對較為容易，但是其中蘊含了豐富的考點，其一是重要不等式x≥ln(x+1)；其二就是對導數(shù)定義的理解，需要理解導數(shù)所代表的幾何意義和代數(shù)形式，特別是代數(shù)結(jié)構(gòu)的對稱性；其三是對函數(shù)的選擇，需要充分地考慮分母的結(jié)構(gòu)形式，需要將選擇的函數(shù)與分母對應(yīng)起來，這需要考生具有敏銳的洞察力.

4.利用導數(shù)定義求最值問題

(1)求證f(x)≤0；

解析問題(1)解答，略.

由問題(1)可得，函數(shù)f(x)=xcosx-sinx≤0.

現(xiàn)在需要求a的最大值與b的最小值.

顯然?為一個不定式極限，故考慮構(gòu)造導數(shù)的定義.令n(x)=sinx，顯然有n(0)=sin0=0.

通過對上述不定式極限試題的分析和解答，可見當所求的極限為不定式極限且分母為一次單項式或者是一次二項式的時候，可以將求不定式的極限值問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)的定義來求解.在求解這類型的不定式極限值時，需要注意導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造的函數(shù)結(jié)構(gòu)是否相匹配，只有當分子與分母的結(jié)構(gòu)相匹配時才能使用導數(shù)的定義.含有不定式極限問題的試題，多具有高等數(shù)學的知識背景，可以通過高等數(shù)學中的“洛必達法則”解決，解決方法較為簡單，但在高中數(shù)學教學和解題中不建議使用，不然容易讓學生產(chǎn)生惰性思維，不利于學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，有興趣的可以參看高等數(shù)學中求不定式極限的常用策略.