李昌成
(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)
眾所周知,解析幾何是利用解析式來(lái)研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支,亦叫做坐標(biāo)幾何.簡(jiǎn)言之,解析幾何用代數(shù)來(lái)研究的幾何.既然是幾何,那么它就有圖形特征.因此,除了計(jì)算以外,利用圓錐曲線的定義,借助幾何性質(zhì)解題,也是我們必須高度重視的.
數(shù)學(xué)中的定義是對(duì)一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延的確切而簡(jiǎn)要的說(shuō)明.因此,定義具有性質(zhì)定理的功能.當(dāng)知道圓錐曲線的類型時(shí),我們可以應(yīng)用定義(式)解題.
例1 (2012年全國(guó)高考Ⅱ卷理科第20題) 設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A∈C,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的⊙F交l于B,D兩點(diǎn).
(2)若A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.
分析本題中圓心和拋物線的焦點(diǎn)重合,因此一些線段具有雙重身份,恰當(dāng)利用定義可以建立一些關(guān)鍵等式,挖掘出一些表象上的未知量,突破難點(diǎn).
(1)解由對(duì)稱性知:△BFD是等腰直角三角形且斜邊BD的高為h=p①,
眾所周知,日語(yǔ)在大量汲取外來(lái)詞匯的基礎(chǔ)上形成了自身獨(dú)特的語(yǔ)言系統(tǒng)。明治維新以前,以漢字詞為主的外來(lái)詞匯大量進(jìn)入日本,成為了日語(yǔ)的重要組成部分。明治維新以后,日本開始全面接觸西方諸國(guó)的新思維與新理念,承載著各種新概念與新事物的新詞也被大量引入日本,以音譯詞為特點(diǎn)的該類詞匯成為了近代以后日語(yǔ)的另一重要組成部分。
(2)解法1因?yàn)锳,B,F三點(diǎn)在同一直線m上,所以AB為⊙F的直徑,∠ADB=90°.
評(píng)注本題在解答過(guò)程中反復(fù)運(yùn)用了圓的定義,拋物線的定義,突出了定義的性質(zhì)定理的功能,巧妙地將二者有機(jī)結(jié)合在一起,得到了文中①②③④處的方程或值.這是本題的重要突破口,若僅僅依靠運(yùn)算,解答將陷入困境,無(wú)法推進(jìn).
定義具有判定定理的功能.因此,我們可以構(gòu)造圓錐曲線的定義式,判斷其類型,在構(gòu)造中賦予代數(shù)式幾何意義,實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的目的.
例2 已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,⊙M過(guò)點(diǎn)A,B,且與直線x+2=0相切.
(1)若A在直線x+y=0上,求⊙M的半徑;
(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),|MA|-|MP|為定值?并說(shuō)明理由.
分析若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線或拋物線,由雙曲線和拋物線的定義知,|MA|-|MP|可能是定值.若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線,則A,P應(yīng)該是定點(diǎn)(焦點(diǎn)),這不可能,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡因該是拋物線,我們可將問(wèn)題向拋物線轉(zhuǎn)化.
由①②聯(lián)立解得R=2,或R=4.
(2)因?yàn)榫€段AB為⊙M的一條弦,
所以圓心M在線段AB的中垂線上,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則|OM|2+|OA|2=|MA|2,又因?yàn)椤袽與x+2=0相切,所以|MA|=|x+2|,所以x2+y2+4=|x+2|2,整理得y2=4x.
所以圓心M的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,結(jié)合拋物線的定義,|MA|-|MP|=|x+2|-|MP|=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1(ⅱ).
所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,|MA|-|MP|為定值1,即P的坐標(biāo)為(1,0),所以存在定點(diǎn)P(1,0)使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),|MA|-|MP|為定值.
評(píng)注本題考查了圓和拋物線的定義以及直線與圓的關(guān)系,又考查了待定系數(shù)法和曲線軌跡方程的求法,屬于難題.(ⅰ)處起到了消元的作用;(ⅱ)處通過(guò)構(gòu)造,賦予目標(biāo)式幾何意義,正是建立在定義基礎(chǔ)之上,問(wèn)題才得以突破,純計(jì)算會(huì)導(dǎo)致一籌莫展.沒(méi)有經(jīng)過(guò)訓(xùn)練,學(xué)生難以實(shí)現(xiàn)此轉(zhuǎn)化.
定義是數(shù)學(xué)中最原始的概念,簡(jiǎn)單而樸素,因此很容易被學(xué)生遺忘.殊不知,有時(shí)它卻是解題最有力的工具.運(yùn)用圓錐曲線的定義解題,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,不僅能抓住問(wèn)題的本質(zhì),而且能夠避開繁雜的運(yùn)算,使問(wèn)題巧妙得解.要想做到熟練運(yùn)用定義解題需要注意以下事項(xiàng):
1.全面準(zhǔn)確地掌握定義,包括從文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的角度,這樣才能把握住運(yùn)用的時(shí)機(jī).
2.定義具有雙重功能,既能作為判定定理,又可以作為性質(zhì)定理,我們要二者兼顧,融會(huì)貫通.
3.高度重視定義之間的區(qū)別與聯(lián)系,防止張冠李戴,弄巧成拙.
4.注意多個(gè)定義聯(lián)合應(yīng)用,同一個(gè)量的多重身份往往把問(wèn)題變得撲朔迷離.
5.培養(yǎng)返璞歸真的意識(shí),在日常學(xué)習(xí)中多多留意,關(guān)鍵的時(shí)候定義方可派上用場(chǎng).