李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

眾所周知，解析幾何是利用解析式來(lái)研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支，亦叫做坐標(biāo)幾何.簡(jiǎn)言之，解析幾何用代數(shù)來(lái)研究的幾何.既然是幾何，那么它就有圖形特征.因此，除了計(jì)算以外，利用圓錐曲線的定義，借助幾何性質(zhì)解題，也是我們必須高度重視的.

一、直接應(yīng)用定義解題

數(shù)學(xué)中的定義是對(duì)一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延的確切而簡(jiǎn)要的說(shuō)明.因此，定義具有性質(zhì)定理的功能.當(dāng)知道圓錐曲線的類型時(shí)，我們可以應(yīng)用定義(式)解題.

例1 (2012年全國(guó)高考Ⅱ卷理科第20題) 設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的⊙F交l于B,D兩點(diǎn).

(2)若A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.

分析本題中圓心和拋物線的焦點(diǎn)重合，因此一些線段具有雙重身份，恰當(dāng)利用定義可以建立一些關(guān)鍵等式，挖掘出一些表象上的未知量，突破難點(diǎn).

(1)解由對(duì)稱性知：△BFD是等腰直角三角形且斜邊BD的高為h=p①，

眾所周知，日語(yǔ)在大量汲取外來(lái)詞匯的基礎(chǔ)上形成了自身獨(dú)特的語(yǔ)言系統(tǒng)。明治維新以前，以漢字詞為主的外來(lái)詞匯大量進(jìn)入日本，成為了日語(yǔ)的重要組成部分。明治維新以后，日本開始全面接觸西方諸國(guó)的新思維與新理念，承載著各種新概念與新事物的新詞也被大量引入日本，以音譯詞為特點(diǎn)的該類詞匯成為了近代以后日語(yǔ)的另一重要組成部分。

(2)解法1因?yàn)锳,B,F三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為⊙F的直徑，∠ADB=90°.

評(píng)注本題在解答過(guò)程中反復(fù)運(yùn)用了圓的定義，拋物線的定義，突出了定義的性質(zhì)定理的功能，巧妙地將二者有機(jī)結(jié)合在一起，得到了文中①②③④處的方程或值.這是本題的重要突破口，若僅僅依靠運(yùn)算，解答將陷入困境，無(wú)法推進(jìn).

二、構(gòu)造定義形式解題

定義具有判定定理的功能.因此，我們可以構(gòu)造圓錐曲線的定義式，判斷其類型，在構(gòu)造中賦予代數(shù)式幾何意義，實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的目的.

例2 已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|=4，⊙M過(guò)點(diǎn)A，B，且與直線x+2=0相切．

(1)若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|-|MP|為定值？并說(shuō)明理由．

分析若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線或拋物線，由雙曲線和拋物線的定義知，|MA|-|MP|可能是定值.若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，則A,P應(yīng)該是定點(diǎn)(焦點(diǎn))，這不可能，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡因該是拋物線，我們可將問(wèn)題向拋物線轉(zhuǎn)化.

由①②聯(lián)立解得R=2，或R=4.

(2)因?yàn)榫€段AB為⊙M的一條弦，

所以圓心M在線段AB的中垂線上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則|OM|2+|OA|2=|MA|2，又因?yàn)椤袽與x+2=0相切，所以|MA|=|x+2|，所以x2+y2+4=|x+2|2，整理得y2=4x.

所以圓心M的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，結(jié)合拋物線的定義，|MA|-|MP|=|x+2|-|MP|=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1(ⅱ).

所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，|MA|-|MP|為定值1，即P的坐標(biāo)為(1,0)，所以存在定點(diǎn)P(1,0)使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|-|MP|為定值．

評(píng)注本題考查了圓和拋物線的定義以及直線與圓的關(guān)系，又考查了待定系數(shù)法和曲線軌跡方程的求法，屬于難題．(ⅰ)處起到了消元的作用；(ⅱ)處通過(guò)構(gòu)造，賦予目標(biāo)式幾何意義，正是建立在定義基礎(chǔ)之上，問(wèn)題才得以突破，純計(jì)算會(huì)導(dǎo)致一籌莫展.沒(méi)有經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，學(xué)生難以實(shí)現(xiàn)此轉(zhuǎn)化.

三、解法提煉

定義是數(shù)學(xué)中最原始的概念，簡(jiǎn)單而樸素，因此很容易被學(xué)生遺忘.殊不知，有時(shí)它卻是解題最有力的工具.運(yùn)用圓錐曲線的定義解題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，不僅能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，而且能夠避開繁雜的運(yùn)算，使問(wèn)題巧妙得解.要想做到熟練運(yùn)用定義解題需要注意以下事項(xiàng)：

1.全面準(zhǔn)確地掌握定義，包括從文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的角度，這樣才能把握住運(yùn)用的時(shí)機(jī).

2.定義具有雙重功能，既能作為判定定理，又可以作為性質(zhì)定理，我們要二者兼顧，融會(huì)貫通.

3.高度重視定義之間的區(qū)別與聯(lián)系，防止張冠李戴，弄巧成拙.

4.注意多個(gè)定義聯(lián)合應(yīng)用，同一個(gè)量的多重身份往往把問(wèn)題變得撲朔迷離.

5.培養(yǎng)返璞歸真的意識(shí)，在日常學(xué)習(xí)中多多留意，關(guān)鍵的時(shí)候定義方可派上用場(chǎng).

四、牛刀小試