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        三種不同思路推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式

        2020-06-06 11:10:00
        數(shù)理化解題研究 2020年16期
        關(guān)鍵詞:磁場(chǎng)方向

        劉 丙

        (陜西省西安市鄠邑區(qū)第一中學(xué) 710300)

        在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,由于引起磁通量變化的原因不同,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的機(jī)理也不同.磁場(chǎng)不動(dòng),導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)切割磁感線而引起磁通量變化產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)我們稱之為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線是電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一種特例,本文將分別由法拉第電磁感應(yīng)定律、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)理和能量守恒與轉(zhuǎn)化三個(gè)角度推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式并深入理解,力爭(zhēng)有效解決動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)相關(guān)問(wèn)題.

        一、由法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

        如圖1所示,平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L(zhǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面,導(dǎo)體棒以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng),在Δt時(shí)間內(nèi),由實(shí)線位置運(yùn)動(dòng)到虛線處.在這個(gè)過(guò)程中磁感應(yīng)強(qiáng)度B是不變的,閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積,即

        ΔS=LvΔt

        穿過(guò)閉合回路的磁通量的變化量是

        ΔΦ=BΔS=BLvΔt

        根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

        其中導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)體棒ab垂直,也與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直.

        1.若導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)體棒ab本身不垂直,但與磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直,如圖2所示.

        在Δt時(shí)間內(nèi),導(dǎo)體棒ab由實(shí)線位置運(yùn)動(dòng)到虛線處.在這個(gè)過(guò)程中閉合回路面積的變化量是陰影部分的面積

        ΔS=LvΔt

        穿過(guò)閉合回路的磁通量的變化量是

        ΔΦ=BΔS=BLvΔt

        根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

        可見(jiàn),若導(dǎo)體棒ab運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)體棒ab本身不垂直,此時(shí)L指的是導(dǎo)體棒在垂直于速度v方向上的投影的有效長(zhǎng)度.

        2.若導(dǎo)體棒ab運(yùn)動(dòng)方向v與導(dǎo)線本身垂直,但與磁感應(yīng)強(qiáng)度B有一個(gè)夾角θ,則可將導(dǎo)體棒速度v沿平行于磁場(chǎng)方向和垂直于磁場(chǎng)向分解,如圖3所示.

        速度v在垂直于磁場(chǎng)向分v1=vsinθ

        速度v在平行于磁場(chǎng)向分v2=vcosθ

        其中v2平行于磁場(chǎng)向,導(dǎo)體棒ab不切割磁感線,v2方向不產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);

        v1方向切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

        E=BLv1=BLvsinθ

        可見(jiàn),若導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向與導(dǎo)線本身垂直,但與磁場(chǎng)方向有一個(gè)夾角θ,則可將速度v分解為沿磁場(chǎng)方向和垂直于磁場(chǎng)方向;亦可將磁感應(yīng)強(qiáng)度B分解為沿速度方向和垂直于速度方向來(lái)處理相關(guān)問(wèn)題.

        3.對(duì)于導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線運(yùn)動(dòng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLvsinθ,如果v是某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度,則E是該時(shí)刻的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);如果v是某一段時(shí)間的平均速度,則E是該段時(shí)間內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).

        二、由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生機(jī)理推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

        導(dǎo)體在磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的本質(zhì)是由于導(dǎo)體中的自由電荷受到洛倫茲力而引起的.

        如圖4所示,長(zhǎng)度為L(zhǎng)導(dǎo)體棒AC在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以速度v向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線,其中導(dǎo)體棒AC與磁場(chǎng)方向和運(yùn)動(dòng)方向均垂直.由于金屬導(dǎo)體中有自由電子,所以導(dǎo)體棒中的自由電子隨導(dǎo)體棒一起以速度v向右運(yùn)動(dòng).每個(gè)自由電子受到的洛倫茲力為f=evB,洛倫茲力f的方向沿導(dǎo)體棒向上.在洛倫茲力f的作用下,自由電子向上運(yùn)動(dòng)會(huì)積累到導(dǎo)體棒的A端,因而C端出現(xiàn)了凈剩的正電荷.AC兩端出現(xiàn)了沿導(dǎo)體棒向上的靜電場(chǎng)E電,此電場(chǎng)對(duì)自由電子的靜電力沿導(dǎo)體棒向下,如圖5所示.

        隨著AC端電荷的積累,靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度E電逐漸增大,當(dāng)洛倫茲力f與靜電力F電平衡時(shí),AC兩端便形成了一個(gè)穩(wěn)定的電勢(shì)差UAC.此時(shí)導(dǎo)體棒相當(dāng)于一個(gè)電源,UAC是電源處于開(kāi)路時(shí),電源的端電壓,即UAC是此電源的電動(dòng)勢(shì).當(dāng)洛倫茲力f與靜電力F電平衡時(shí)

        故動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=UAC=BLv

        需要說(shuō)明的是,這種情況下洛倫茲力仍然是不做功的.因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng),自由電子受沿導(dǎo)體棒向上的洛倫茲力f會(huì)沿導(dǎo)體棒以速度u向上運(yùn)動(dòng).正是由于自由電子以速度u向上運(yùn)動(dòng)才會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流.由于自由電子以速度u向上運(yùn)動(dòng),自由電子還會(huì)受到向左的洛倫茲力f′,如圖6所示.

        在很短一段時(shí)間Δt內(nèi),向上的洛倫茲力f對(duì)自由電子做功為:

        W1=f(uΔt)=evB(uΔt)

        向左的洛倫茲力f′對(duì)自由電子做功為:

        W2=-f′(vΔt)=-euB(vΔt)

        洛倫茲做的總功W=W1+W2=0

        由此可以看出,洛倫茲力仍然是不做功,洛倫茲力只是一個(gè)“搬運(yùn)工”,起傳遞能量的作用.即外力克服f′所做的功,通過(guò)f轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流的能量.

        三、由能量守恒與轉(zhuǎn)化角度推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

        如圖7所示,平行金屬導(dǎo)軌之間的距離為L(zhǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面,導(dǎo)體棒ab以速度v向右勻速運(yùn)動(dòng),不計(jì)其他電阻.

        設(shè)由于導(dǎo)體棒向右勻速運(yùn)動(dòng),閉合回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E,感應(yīng)電流為I.

        以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象有,F(xiàn)外=F安

        F安=BIL

        外力F外做功的功率P=F外v=BILv

        閉合電路中的電功率P電=EI

        根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化及守恒定律知P=P電即

        E=BLv

        由此可以看出,發(fā)生電磁感應(yīng)時(shí)往往伴隨著其他物理現(xiàn)象的發(fā)生.當(dāng)閉合回路磁通量發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),而回路中感應(yīng)電流的大小可以由閉合回路的歐姆定律得到.通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中又要受到安培力,這樣就可以把電磁感應(yīng)問(wèn)題、電路問(wèn)題和力學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái).但總體來(lái)看從能量轉(zhuǎn)化與守恒角度推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)更有利于提高學(xué)生對(duì)綜合問(wèn)題的分析能力.

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