郭琳琴，楊 艷，馬浩東

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 離石 033001)

0 引言

圖像的邊緣中包含了豐富的視覺信息，在圖像分割、圖像特征提取、模式識別中有重要的意義，圖像的邊緣檢測是圖像處理中應(yīng)用最為廣泛的研究課題之一.傳統(tǒng)的邊緣檢測算子多為微分算子，主要包括Rebort算子、Sobel算子等一階微分算子和Lapllician算子、LOG算子等二階微分算子.

近年來，分?jǐn)?shù)階微分算子被廣泛應(yīng)用于圖像處理過程中，并逐漸成為一個研究熱點.文獻(xiàn)[1]中楊柱中等人提出一種基于0～1階分?jǐn)?shù)階微分的Tiansi掩模算子，該算子可有效的提取圖像的邊緣信息且有較高的信噪比；文獻(xiàn)[2]中王衛(wèi)星等人進(jìn)一步的改進(jìn)了Tiansi掩模算子，使得圖像的邊緣檢測中紋理細(xì)節(jié)得到有效增強(qiáng)；汪成亮等人在文獻(xiàn)[3]中針對分?jǐn)?shù)階數(shù)階數(shù)需要人為指定的缺陷，提出了一種自適應(yīng)的算法；文獻(xiàn)[4]中蔣偉等人為了在銳化圖像邊緣的同時增強(qiáng)紋理細(xì)節(jié)特征，結(jié)合分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階微積分理論，推導(dǎo)出了新的有理數(shù)階微分.

本文提出的分?jǐn)?shù)階圖像邊緣檢測模型，將能量泛函式中的導(dǎo)數(shù)改為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，然后用差分格式對其進(jìn)行逼近求解從而分別構(gòu)造水平、垂直和對角線分?jǐn)?shù)階邊緣檢測微分算子，最后將這些算子合成為新的分?jǐn)?shù)階邊緣檢測算子.

1 相關(guān)理論

1.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)目前有三種經(jīng)典定義：Riemann-Liouville(R-L)、Capotu(C)和Grumwald-Letnikov(G-L)，其中 G-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(1)

1.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的差分格式

式(1)中h=1時，G-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以用有限項的分?jǐn)?shù)階差分近似表示，即：

(2)

將上式推廣到二維，即可得到f(x，y)的分?jǐn)?shù)階偏導(dǎo)數(shù)定義：

(3)

(4)

進(jìn)一步可得差分近似表達(dá)式：

特別地，當(dāng)v=1時，上式變?yōu)橐浑A微分的差分近似表達(dá)式，

當(dāng)v=2時，上式變?yōu)槎A微分的差分近似表達(dá)式，

可見分?jǐn)?shù)階微分是一階與二階微分的推廣形式.

2 基于分?jǐn)?shù)階的圖像邊緣檢測算子

2.1 模型的建立

引入文獻(xiàn)[5]中能量泛函式：

利用變分法推得的該泛函歐拉-拉格朗日方程如下：

其中，

則，有如下結(jié)果

(5)

(6)

(7)

利用梯度下降法得到相應(yīng)的擴(kuò)散方程：

(8)

對上式離散化，有

其中，

2.2 分?jǐn)?shù)階微分算子構(gòu)造

構(gòu)建水平方向和逆對角線方向整數(shù)階掩模算子，如圖1.

000-a0a000

(a)水平方向整數(shù)階算子

(b)逆對角線方向整數(shù)階算子

圖1水平方向和逆對角線方向上的整數(shù)階算子

以圖1(a)構(gòu)造微分算子：a(f(x+1，y)-f(x-1，y))

則有x軸方向分?jǐn)?shù)階微分算子如圖2(a)所示，旋轉(zhuǎn)對稱可構(gòu)造y軸方向大小為3×3的分?jǐn)?shù)階微分算子，如圖2(b)所示.

000av(v-1)-2av2a000

(a)x軸方向上的分?jǐn)?shù)階算子

(b)y軸方向上的分?jǐn)?shù)階算子

圖2水平、垂直方向上的分?jǐn)?shù)階微分算子

以圖1(b)構(gòu)造微分算子：a(f(x+1，y-1)-f(x-1，y+1)),有G=a(f(x+1，y-1)-f(x-1，y+1))

為了使得具有對稱性，做如下變形

化解后可得

即可得逆對角線上分?jǐn)?shù)階算子如圖3(a)，旋轉(zhuǎn)對稱可構(gòu)造正對角線上的分?jǐn)?shù)階算子如圖3(b).

0-av-a(v2-v-2)2av0ava(v2-v-2)2-av0

(a)逆對角線方向上的分?jǐn)?shù)階算子

(b)正對角線方向上的分?jǐn)?shù)階算子

圖3不同方向上的分?jǐn)?shù)階微分算子

將所得的4個微分算子相加，即可得到3×3的分?jǐn)?shù)階微分算子w，如圖4所示.

-a(v2-v-2)2-av(v-1)-a(v2-v-2)2av(v-1)02aa(v2-v-2)2-2aa(v2-v-2)2

圖4分?jǐn)?shù)階微分算子w

2.3 基于分?jǐn)?shù)階微分算子的邊緣檢測

設(shè)g(x，y)為灰度圖像函數(shù)，利用分?jǐn)?shù)階微分算子w對圖像進(jìn)行邊緣檢測的具體過程如下：

step1 對圖像g(x，y)進(jìn)行去噪聲預(yù)處理，得到g(x，y)；

step2 選取適當(dāng)?shù)膙，利用分?jǐn)?shù)階微分算子w對圖像g(x，y)進(jìn)行卷積運算，得到e(x，y)；

Step3 選取適當(dāng)?shù)拈撝?，對e(x，y)進(jìn)行二值化處理，即可得到最終的邊緣檢測結(jié)果a；

該過程中，分?jǐn)?shù)階參數(shù)v的選擇決定圖像邊緣檢測的效果，在實際操作中需要多次實驗調(diào)整.

3 實驗結(jié)果

實驗在MATLAB2019軟件環(huán)境下選取圖5(a)作為原圖完成.得到不同a值和不同v值下的圖像邊緣檢測結(jié)果，如圖5和圖6.

圖5 不同v取值下圖像邊緣檢測實驗結(jié)果

圖6 不同a取值下圖像邊緣檢測實驗結(jié)果

圖5實驗是在a=3時選取不同的v檢測的結(jié)果，可以看出當(dāng)v值從0.4開始接近于0.7時邊緣檢測結(jié)果逐漸變好，可以較好的檢測到圖像的邊緣，當(dāng)v值大于0.7時邊緣檢測結(jié)果清晰度略有下降，可見本文算法在合適的v值下的邊緣結(jié)果可以保留原圖像的特征，在視覺上有較好的效果.

圖6實驗是在v=0.7時選取不同的a值檢測的結(jié)果，可以看出當(dāng)a值逐漸增大時邊緣信息逐漸增多，但當(dāng)a選取過大時則會引起背景區(qū)域中的偽邊緣較為明顯的情況.

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的圖像邊緣檢測模型，模型中將整數(shù)階微分算子中的二階導(dǎo)數(shù)變分為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)造了包含水平、垂直、正對角線、負(fù)對角線四個方向梯度的分?jǐn)?shù)階微分算子.實驗仿真結(jié)果表明，該算子能較好保留圖像的邊緣信息和紋理細(xì)節(jié)特征，對弱紋理圖像也可得到較為清晰的邊緣檢測結(jié)果，是一種可行的數(shù)字圖像邊緣檢測算法模型.實驗結(jié)果還表明檢測過程中的參數(shù)需要多次調(diào)整，如何自適應(yīng)地選取參數(shù)以保證較好的檢測效果仍有待進(jìn)一步討論研究.