高忠社
(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741000)
分?jǐn)?shù)階微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支,是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣和發(fā)展,近些年來,分?jǐn)?shù)階微積分引起了很多科學(xué)領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注和研究,分?jǐn)?shù)階微積分在描述反常擴(kuò)散、粘彈性力學(xué)、流體力學(xué)、管道的邊界層效應(yīng)、電磁波、量子經(jīng)濟(jì)、分形理論等領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用.另外,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是描述很多自然現(xiàn)象的重要工具,很多學(xué)者提出了許多不同的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng).[1,2]
混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)在一定條件下表現(xiàn)出的一種運(yùn)動(dòng)形式,是確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是描述很多自然現(xiàn)象的有效工具.很多學(xué)者提出了不同的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),并且研究了它們的動(dòng)力學(xué)行為.不同領(lǐng)域的學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為作了廣泛的研究并得到了非常重要的成果.本文將在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,研究地磁系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為.
分?jǐn)?shù)階微分算子
上式中,q表示分?jǐn)?shù)階,R(q)表示q的實(shí)部,實(shí)數(shù)a和t分別表示積分的上、下限.Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)是目前常用的分?jǐn)?shù)階微積分的定義.
Riemann-Liouville(RL)積分算子[3]設(shè) Γ(q)是伽瑪函數(shù),其中q>0,定義于Lebesque空間L1[t0,t1]算子
稱該算子為q階Riemann-Liouville(RL)積分算子,.
Riemann-Liouville(RL)導(dǎo)數(shù)算子[3]設(shè) Γ(q)是伽瑪函數(shù),其中q>0且m∈N,使得m-1<q<m,定義于Lebesque空間L1[t0,t1]積分算子
當(dāng)t0<q<t1時(shí),稱該算子為q階Riemann-Liou-ville(RL)導(dǎo)數(shù)算子..
當(dāng)t∈L1[t0,t1],q≥0,γ>-1時(shí)有性質(zhì):
Gorenflo,R.&Mainardi,F.等人發(fā)現(xiàn)Riemann-Liouville(RL)導(dǎo)數(shù)算子使用時(shí)的諸多不便,Capu?to對(duì)于上述算子作了做一步的修改,得到
Caputo導(dǎo)數(shù)算子定義[4]
對(duì)于t∈L1[t0,t1],m∈N,使得m-1<q<m,t>0,則有
其中0<α<1的實(shí)數(shù),Γ(·)表示伽瑪函數(shù)
對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的數(shù)值求解,使用K.Diethelm,等人提出的預(yù)估-校正法,考慮如下方程
根據(jù)文獻(xiàn)[6,7]可知,方程組(1)等價(jià)于下列Volterra積分方程
引理[5]對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)
漸近穩(wěn)定的充分條件是矩陣A的特征值滿足如下條件
在文獻(xiàn)[3]中,D.R.J.Chillingworth and P.J.H-olmes等,提出了一個(gè)整數(shù)階混沌系統(tǒng),方程組如下
文中分析了參數(shù)a,R,v在不同值時(shí),在三個(gè)平衡點(diǎn)的不同的穩(wěn)定性分析;研究了在參數(shù)R,v固定的情形下,對(duì)于參數(shù)a的分岔行為,以及研究了Hopf分岔的Lyapunov系數(shù)一階導(dǎo)數(shù).本文將在文獻(xiàn)[3]基礎(chǔ)上研究分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)于該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,及對(duì)于參數(shù)a,R,v的分岔行為,及系統(tǒng)階數(shù)q的分岔情況.文中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)使用Caputo導(dǎo)數(shù),數(shù)值求解方法使用Diethelm K.等人提出的預(yù)估校正法.
是系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn).對(duì)于P±(x,y,z),系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣為
則Jacobian矩陣在R=18,a=5,v=1有相同的特征根
λ1=-7.12208;
λ2=0.0610385-4.88525i;
λ3=0.0610385+4.88525i;
其中λ1是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),且|arg(λ2,3)|=1.5593,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(8)的階數(shù)在0.992046≤q≤1.0范圍時(shí),該系統(tǒng)有兩個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).
利用預(yù)估-校正法,對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)(8)進(jìn)行離散化處理,則有混沌系統(tǒng)的離散化形式為
其中αj,n+1,βj,n+1由(5),(6)式可得,給定參數(shù)和初值,就可以得到分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解.[6,7]
文中使用文獻(xiàn)[4,5]Diethelm K.等人提出的預(yù)估校正法fde12對(duì)系統(tǒng)(8)不同的參數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).為了研究系統(tǒng)(8)動(dòng)力學(xué)行為,系統(tǒng)參數(shù)a作為分岔參數(shù),固定系統(tǒng)其他系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)階數(shù),系統(tǒng)參數(shù)v=1,R=18,初值
x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1,
系統(tǒng)階數(shù)q=0.9981,分岔圖如圖1所示.
圖1 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a∈(0,20),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(8)的分岔圖
從圖1觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)a<3.8時(shí),系統(tǒng)(8)出現(xiàn)一系列的周期軌道,當(dāng)a=3.8時(shí),系統(tǒng)(8)發(fā)生了霍普夫分岔,進(jìn)入混沌狀態(tài);當(dāng)a>14.5時(shí),系統(tǒng)(8)從混沌狀態(tài)進(jìn)入了周期軌道.當(dāng)對(duì)于系統(tǒng)不同的參數(shù),對(duì)應(yīng)不同的相圖,如圖2,3,4所示.
圖2 當(dāng)參數(shù)a=2,v=1,R=18時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖3 當(dāng)參數(shù)a=6,v=1,R=18時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖4 當(dāng)參數(shù)a=18,v=1,R=18時(shí),系統(tǒng)的相圖
R作為分岔參數(shù),固定系統(tǒng)參數(shù)v=1,a=6,系統(tǒng)初值
x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1,
系統(tǒng)階數(shù)q=0.9981,分岔圖如圖5所示.
圖5 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)R∈(0,35),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(8)的分岔圖
從圖5觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)R<15.3時(shí),系統(tǒng)(8)出現(xiàn)一系列的周期軌道,當(dāng)R=15.3時(shí),系統(tǒng)(8)發(fā)生了霍普夫分岔,進(jìn)入混沌狀態(tài);當(dāng)R>15.3時(shí),系統(tǒng)(8)從混沌狀態(tài)進(jìn)入了周期軌道.對(duì)于系統(tǒng)不同的參數(shù).對(duì)應(yīng)不同的相圖,如圖6,7,8所示.
圖6 當(dāng)參數(shù)a=6,v=1,R=10時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖7 當(dāng)參數(shù)a=6,v=1,R=20時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖8 當(dāng)參數(shù)a=6,v=1,R=22時(shí),系統(tǒng)的相圖
系統(tǒng)參數(shù)v作為分岔參數(shù),固定系統(tǒng)參數(shù)R=18,a=6,給定初值
x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1,
系統(tǒng)階數(shù)q=0.9981,分岔圖如圖10所示.
圖9 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)v∈(0,2),系統(tǒng)階數(shù)(8)的分岔圖
從圖9觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)v<0.1時(shí),系統(tǒng)(8)出現(xiàn)一系列的周期軌道,當(dāng)v=0.1時(shí),系統(tǒng)(8)發(fā)生了霍普夫分岔,進(jìn)入混沌狀態(tài);當(dāng)0.1<v<1.15時(shí),系統(tǒng)(8)進(jìn)入了混沌狀態(tài);當(dāng)v=1.15時(shí),系統(tǒng)(8)發(fā)生了霍普夫分岔;當(dāng)v>1.15時(shí)系統(tǒng)(8)從混沌狀態(tài)進(jìn)入了周期軌道.對(duì)于系統(tǒng)不同的參數(shù),對(duì)應(yīng)不同的相圖,如圖10,11,12所示.
圖10 當(dāng)參數(shù)a=6,v=0.17,R=22時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖11 當(dāng)參數(shù)a=6,v=1.4,R=22時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖12 當(dāng)參數(shù)a=6,v=1.8,R=22時(shí),系統(tǒng)的相圖
通過選取系統(tǒng)(8)不同的分岔參數(shù),對(duì)系統(tǒng)(8)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)研究,結(jié)果表明,系統(tǒng)的參數(shù)都對(duì)它的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生很大的影響,系統(tǒng)對(duì)不同的參數(shù),吸引子有很大的差異.
對(duì)于研究系統(tǒng)(8)豐富的動(dòng)力學(xué)行為,系統(tǒng)階數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)行為有重要的影響作用,系統(tǒng)階數(shù)q作為分岔參數(shù),固定系統(tǒng)其它系統(tǒng)參數(shù),
R=18,a=6,v=1,
初值x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1,分岔圖如圖13所示
圖13 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a∈(0.984,1)時(shí),系統(tǒng)(8)的分岔圖
從圖13觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng)參數(shù)q<0.9925時(shí),系統(tǒng)(2)出現(xiàn)一系列的周期軌道,當(dāng)q=0.9925時(shí),系統(tǒng)(8)發(fā)生了霍普夫分岔,進(jìn)入混沌狀態(tài);當(dāng)0.9925<v<1時(shí),系統(tǒng)(8)進(jìn)入了混沌狀態(tài);當(dāng)對(duì)于系統(tǒng)不同的階數(shù),對(duì)應(yīng)不同的相圖,如圖14,15,16所示.
圖14 當(dāng)階數(shù)α=0.95時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖15 當(dāng)階數(shù)α=0.98時(shí),系統(tǒng)的相圖
圖16 當(dāng)階數(shù)α=0.99時(shí),系統(tǒng)的相圖
通過選取系統(tǒng)(8)不同的階數(shù),對(duì)系統(tǒng)(8)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)分析,結(jié)果表明,系統(tǒng)的階數(shù)都對(duì)它的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生很大的影響,系統(tǒng)對(duì)不同的階數(shù),吸引子有很大的差異.
本文研究了分?jǐn)?shù)階地磁系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為,首先,從理論上研究了該系統(tǒng)的一些基本特征,平衡點(diǎn)、特征值以及系統(tǒng)階數(shù).其次,使用預(yù)估-校正法,借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真,通過對(duì)于系統(tǒng)每個(gè)參數(shù)分岔圖分析研究,對(duì)于系統(tǒng)階數(shù)和參數(shù)的調(diào)整,得到系統(tǒng)在不同條件下的吸引子以及分岔圖.研究結(jié)果表明,分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)有不同的分岔行為,包括霍普夫分岔及鞍結(jié)分岔等形式,及該系統(tǒng)有豐富的動(dòng)力學(xué)行為.
天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)2020年5期