何 山，吳盤龍，惲 鵬，李星秀

(1. 南京理工大學自動化學院， 南京 210094； 2. 南京理工大學理學院， 南京 210094)

0 引 言

近年來，隨著航空航天技術的不斷發(fā)展，臨近空間高超聲速飛行器以其飛行跨域大、速度快、機動強等復雜特性受到了世界各國的廣泛關注。尤其是美俄等軍事強國通過不斷投入大量資源，先后開展了高超聲速目標的多個關鍵技術驗證，以期望作為精確打擊武器使其成為未來空天作戰(zhàn)中的新型戰(zhàn)略威脅[1]。因此，對該類目標的跟蹤預報與狀態(tài)估計技術進行研究具有重要意義。

目前，針對臨近空間高超聲速目標跟蹤均圍繞跟蹤模型的構建展開，并設計相應的濾波算法，歸納起來分為兩類：1)動力學模型狀態(tài)估計，即通過對目標動力學建模，將氣動參數(shù)擴維到狀態(tài)矢量中進行聯(lián)合估計，其本質是機動的辨識，具有較高的估計精度[2-4]。但是在實際跟蹤過程中，目標大部分參數(shù)是未知，需要通過辨識得到，當氣動力變化較快或動力學模型不匹配時，跟蹤能力會大幅下降，從而很難滿足實際工程應用需求；2)運動學模型估計，即利用勻速(Constant velocity, CV)、勻加速(Constant acceleration, CA)、勻速轉彎、Jerk、Singer以及“當前”統(tǒng)計等模型對目標的未知機動建模[5-7]，其算法設計簡單，易于工程實現(xiàn)，但加速度估計精度有限。對此，通過構造輸入估計器和回顧成本函數(shù)，有效地提高加速度的估計精度。

通?；谶\動學模型估計的濾波算法大致可分為具有機動檢測的跟蹤算法和自適應跟蹤算法兩類[8]。其中，具有機動檢測跟蹤算法的基本思想是通過量測信息來觀測目標運動的殘差變化，并利用數(shù)理統(tǒng)計理論進行機動檢測[9-12]。該類方法特點是不需要對目標的機動特性做任何先驗假設，計算量小，但由于機動檢測機制的存在而產(chǎn)生不可避免的時間延遲；自適應跟蹤算法是通過對目標進行估計的同時對濾波器增益進行修正，有效地提高了跟蹤過程的穩(wěn)定性。

然而，臨近空間高超聲速飛行器機動的復雜性使得常規(guī)的運動模型很難與目標運動方式相匹配，從而影響跟蹤精度甚至濾波發(fā)散。文獻[13]對臨近空間高超聲速飛行器的飛行特性進行分析，提出一種基于CV + CA + Singer的交互多模型(Interacting multiple model, IMM)跟蹤算法，通過不同模型的組合匹配出最優(yōu)的目標運動模型，提高算法的跟蹤精度。同時，為解決IMM算法實時性不高問題，文獻[14]針對臨近空間目標4種典型的非彈道式機動模式，設計了一種修正變結構IMM算法，相比傳統(tǒng)變結構多模型算法，提高了模型切換速度。盡管多模型方法以其良好的跟蹤性能備受青睞，但其設計過程復雜且實現(xiàn)時需要極大的計算資源，在許多資源受限的場合，基于自適應的單模算法往往也可以獲得更好的跟蹤性能。文獻[15]針對臨空飛行器機動特性強和周期滑躍的運動特點，提出了臨空高速飛行器滑躍機動跟蹤的Sine模型，更加高效地描述了高超聲速目標滑躍式運動特性，但當目標不發(fā)生機動或突發(fā)的大機動時，該算法的跟蹤精度會下降。

鑒于此，本文將輸入估計的思想引入到跟蹤模型中，將機動加速度看成是未知的確定輸入；然后通過構建輸入估計器使殘差收斂到零，并利用回顧成本對未知加速度進行重構，采用遞推最小二乘法估計出系統(tǒng)的參數(shù)；最后將估計的加速度引入到卡爾曼濾波的預測中，實現(xiàn)目標狀態(tài)的有效估計。

1 跟蹤建模

基于臨近空間高超聲速再入滑翔目標的質心運動方程可知[16]，氣動力不僅隨飛行高度、速度等變化，還與目標飛行攻角、傾角等姿態(tài)量密切相關，而臨近空間高超聲速飛行器再入滑翔段的強機動主要是受到氣動力作用而使得加速度變化所致。因此，為了準確地描述目標狀態(tài)隨著時間變化的過程，本文將機動加速度看成是未知的確定輸入，構建目標的運動方程

Xk=Fk-1Xk-1+Ck-1uk-1+Wk-1

(1)

式中：Xk∈Rs為k時刻的狀態(tài)向量，F(xiàn)k-1∈Rs×s為狀態(tài)轉移矩陣，Ck-1∈Rs×d為機動輸入矩陣，uk-1∈Rd為機動大小，Wk-1是均值為零且方差為Qk-1的高斯白噪聲。

在雷達探測系統(tǒng)中，雷達的量測信息通常是建立在三維球坐標中，目標與雷達之間的相對位置如圖1所示。

圖1 雷達測量坐標系Fig.1 Radar measurement coordinate

雷達的量測值Zk∈Rp主要包括徑向距離rk、高低角θk和方位角ηk，其測量方程為

(2)

式中：xk,yk和zk是目標在測量直角坐標系下相對各方向的坐標位置，Vr,k,Vθ,k和Vη,k是相互獨立、均值為零且恒定方差為σr,k,σθ,k和ση,k的高斯白噪聲。

球坐標可通過下式轉化到笛卡爾坐標系下的量測

(3)

因此，根據(jù)式(2)的量測值Zk，對真實均值和協(xié)方差矩陣求數(shù)學期望得到無偏量測偏差μk和協(xié)方差Rk

(4)

式中:各變量取值參照文獻[17]。

(5)

2 基于RCIE-UCMKF的目標狀態(tài)估計

2.1 輸入估計器

為了準確估計出當前時刻的狀態(tài)，可構造如下的輸入估計器[10-12,18-19]

(6)

(7)

式中：Mi,k∈Rd×d，Ni,k∈Rd×p，n是輸入估計器的階數(shù)。將式(7)改寫成矩陣的形式

(8)

為計算出參數(shù)向量Φk，選取最小二乘法的指標函數(shù)

(9)

根據(jù)最小二乘法的遞推可得到

(10)

(11)

(12)

2.2 RCIE算法

為了便于計算，假設Fk=F,Ck=C,Hk=H，考慮到系統(tǒng)矩陣F,C和H是已知的，且(F,H)是能觀的，定義系統(tǒng)的馬爾可夫參數(shù)為

Li=HFi-1C∈Rp×di≥1

(13)

取任意正整數(shù)r，對于所有k≥r，則有

(14)

其中

(15)

(16)

(17)

(18)

其中，

(19)

然后，將式(17)～(19)中k用k-kj(j=1,…,m)替代，其中0≤k1≤…≤km，則有

(20)

(21)

(22)

定義擴展性能變量：

(23)

并將式(21)代入到(23)中有

(24)

式中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

用式(29)減去式(24)可得

(30)

最后，定義回顧成本函數(shù)為[18-19]

(31)

(32)

(33)

2.3 RCIE-UCMKF算法

為了準確的估計出系統(tǒng)的狀態(tài)量，在無偏轉換Kalman濾波的框架下，利用回顧成本輸入估計和遞推最小二乘計算出未知機動大小，整個算法的框圖如圖2所示。

圖2 RCIE-UCMKF算法框圖Fig.2 The structure of RCIE-UCMKF algorithm

根據(jù)前述部分的推導，所提RCIE-UCMKF算法的完整步驟為：

(34)

Pk+1|k=FPkFT+Qk

(35)

(36)

(37)

4)狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差估計為

(38)

Pk+1=Pk+1|k-Kk+1HPk+1|k

(39)

3 仿真校驗

3.1 仿真場景

本文以HTV-2為參考對象，對臨近空間高超聲速飛行器再入滑翔段進行仿真試驗。根據(jù)文獻[16]，假設目標為質點，忽略地球自轉及非球形攝動因素等影響。飛行器質量907.2 kg，特征參考面積0.4837 m2，攻角10°，傾斜角0.5°，阻力系數(shù)和升力系數(shù)選取參考文獻[12]，目標的起始位置為(6450.2450 km, 139.270 °, 35.270 °)，初始速度為6000 m/s，航跡傾角2.0 °，偏航角為155.00 °，則目標的飛行軌跡如圖3所示。

圖3 目標運動軌跡Fig.3 Target trajectory

為便于計算，假設地球是球體，且半徑為6371.3930 km，測量雷達位置(6372.3930 km, 90.50°, -40.0°)，雷達的采樣間隔T為1 s，距離誤差為100 m，方位和俯仰角誤差為0.5 mrad，則HTV-2在雷達界面的顯示如圖4所示。

在構建的三維仿真場景中，目標狀態(tài)和輸入向量為

(40)

(41)

其余的仿真參數(shù)設置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設置Table 1 The simulation parameters

3.2 仿真分析

根據(jù)上述的仿真場景，RCIE-UCMKF算法對目標位置估計和目標真實軌跡的對比如圖5所示，可以看出所提算法能夠對目標進行有效地跟蹤。

圖5 目標位置估計Fig.5 Estimation of target position

為了測試該算法的跟蹤精度，本文分別用CKF[20]、UCMKF[17]、IE-UCMKF[9]、IMM-UCMKF[13]和RCIE-UCMKF算法在Matlab2014環(huán)境下進行200次蒙特卡羅實驗。圖6、圖7展示了5種算法的位置均方根誤差和速度均方根誤差，可以看出，RCIE-UCMKF算法相比于其他4種算法，無論是位置還是速度都具有較高精確度和良好的性能。

圖6 位置均方根誤差Fig.6 RMSEs of the position

圖7 速度均方根誤差Fig.7 RMSEs of the velocity

CKF、UCMKF、IE-UCMKF、IMM-UCMKF和RCIE-UCMKF算法的各項算法性能如表2所示。由于CKF通過一組具有權重的采樣點集近似計算所需的一、二階矩，避免了非線性量測模型的線性化處理，而UCMKF是將量測通過坐標變換轉換成直角坐標系中的偽線性形式，然后估計轉換量測誤差的前兩階矩，所以CKF和UCMKF算法在狀態(tài)估計精度上相差不大，但是在計算量上，由于CKF需要求容積點，計算量遠遠高于UCMKF算法。RCIE-UCMKF算法的運行時間雖高于UCMKF，但卻低于CKF和IMM-UCMKF。這是因為比起UCMKF算法，本文所提算法需要利用回顧成本和最小二乘計算每一時刻的加速度，因此時間會長于UCMKF算法。

表2 各個算法的性能Table 2 The performance of each algorithm

4 結 論

針對臨近空間高超聲速再入滑翔目標跟蹤問題，本文提出了一種RCIE-UCMKF算法，蒙特卡羅試驗驗證了該算法的有效性和可行性。然而，實際跟蹤過程中，由于該類目標的飛行特性使得量測數(shù)據(jù)出現(xiàn)一定的延遲和丟失的現(xiàn)象，因此后續(xù)的工作是考慮在該類情況下，提高算法的穩(wěn)定性，并在一定的基礎上降低算法的復雜度，使得該算法可應用于預警探測系統(tǒng)等工程領域中。