陳璐穎 張維忠 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

古典概型幾乎是世界各國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程都介紹的內(nèi)容．這是因?yàn)楣诺涓判褪歉怕式y(tǒng)計(jì)領(lǐng)域最早的研究對(duì)象，簡(jiǎn)單、實(shí)用，它和排列、組合等其他數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，鍛煉著學(xué)生的思維，綻放著無(wú)窮的魅力．[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人、發(fā)展素質(zhì)教育的功能”，并將“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹(shù)人，提升素養(yǎng)”作為課程基本理念．[2]古典概型是數(shù)學(xué)學(xué)科德育和培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體，它不僅是對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證思想方法教育的良好素材，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識(shí)不可或缺的題材，通過(guò)對(duì)古典概型的欣賞與應(yīng)用，還能讓學(xué)生用心靈去體會(huì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的價(jià)值與魅力．

1 對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證思想方法教育的良好素材

古典概型源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象并與學(xué)生日常生活緊密關(guān)聯(lián)，它在生活中的應(yīng)用處處滲透著動(dòng)與靜、變與不變、數(shù)與形、正與逆、一與多等辯證思想方法．下面借助“硬幣”來(lái)認(rèn)識(shí)古典概型，闡述古典概型是如何具體彰顯辯證思想方法的．

拋擲一枚質(zhì)地均勻且形狀規(guī)則的硬幣，正面和反面出現(xiàn)的可能性一樣，都是50%，這是古典概型的對(duì)稱性.體育賽事中常用這個(gè)規(guī)律來(lái)決定哪方先開(kāi)球或選場(chǎng)地，甚至人們?cè)谏钪杏龅诫y題也有通過(guò)拋硬幣的方式來(lái)解決的．事實(shí)上，盡管知道拋硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率都是0.5，但很多人并不清楚為什么正面和反面出現(xiàn)的概率一樣．為了解釋這個(gè)現(xiàn)象，雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)等數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，硬幣正面朝上的頻率在0.5左右擺動(dòng)．

圖1 “正面朝上”頻率分布圖

這是一個(gè)典型的古典概型的例子，它的特點(diǎn)是：實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)，且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等．因此，容易得出每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率是實(shí)驗(yàn)結(jié)果總數(shù)的倒數(shù)．在上例中，每次投擲硬幣的過(guò)程是“動(dòng)”，出現(xiàn)的結(jié)果是“靜”；多次試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果會(huì)“變”，各結(jié)果出現(xiàn)的可能性“不變”；實(shí)驗(yàn)中頻率是“多”，概率是“一”．圖1是運(yùn)用信息技術(shù)繪制的正面朝上頻率的分布圖，借助圖形可進(jìn)一步深化對(duì)這些辯證思想方法的認(rèn)識(shí)和理解．

借助古典概型，可以有效地向?qū)W生傳遞一種辯證思想方法，不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中事物本質(zhì)的理解，深化對(duì)善惡、禍福、有無(wú)、難易、高下、長(zhǎng)短、前后等關(guān)系和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，而且有助于學(xué)生形成理性思維．除拋硬幣外，擲骰子是古典概型在生活中另一個(gè)最常見(jiàn)、最簡(jiǎn)單的例子．對(duì)古典概型的深刻理解和掌握，能夠有效地幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，克服“賭徒心理”，懂得三思而后行．

2 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識(shí)不可或缺的題材

早在20世紀(jì)90年代，國(guó)內(nèi)就有學(xué)者從文化視野來(lái)研究數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育．[3]數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育中尤其是在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生德育方面十分重要，近幾年數(shù)學(xué)文化已經(jīng)進(jìn)入高考試卷．古典概型作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識(shí)不可或缺的題材，是各地高考試題中的高頻考點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)．以下通過(guò)2019年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)中選擇題6來(lái)加以闡述．

圖2

我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，圖2就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是( )．

不妨借助美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞(George Polya, 1887—1985)在《怎樣解題》一書(shū)中提出的解題的思維步驟加以分析和探討．

第一， 弄清問(wèn)題．試題背景是我國(guó)古代典籍《周易》，該典籍中有一物名為“卦”，它的功能是描述萬(wàn)物的變化，具有不同的類(lèi)型；其中一種是“重卦”，它由一種名為“爻”的東西組成，可分為陰爻和陽(yáng)爻兩種類(lèi)型．要解決的問(wèn)題是在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦中恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率．關(guān)鍵信息是“3個(gè)”“陽(yáng)爻”“重卦”“概率”，難點(diǎn)在于弄清“重卦”與“陽(yáng)爻”的關(guān)系，具體涉及“重卦”和“爻”的數(shù)量和位置關(guān)系、“陰爻”和“陽(yáng)爻”的數(shù)量關(guān)系．重卦由6個(gè)爻從下到上排列，即每個(gè)重卦中有六個(gè)不同的位置，可分別安放一個(gè)陰爻或陽(yáng)爻．為便于學(xué)生理解，試題給出重卦的卦例，位置自下到上分別是陰爻、陽(yáng)爻、陽(yáng)爻、陰爻、陰爻、陰爻，共2個(gè)陽(yáng)爻和3個(gè)陰爻．

第二， 擬定計(jì)劃．在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步回憶和思索以前是否見(jiàn)過(guò)它或見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同；在重新敘述該問(wèn)題后，能否想出一個(gè)更容易著手、類(lèi)比的問(wèn)題．在這里，不妨運(yùn)用類(lèi)比的思維方式，將問(wèn)題重新表述為：一張桌子上有6個(gè)不同的位置，每個(gè)位置上可以擺放一個(gè)紅球或白球，若隨機(jī)在6個(gè)位置上擺上球，求擺完桌上剛好有3個(gè)紅球的概率．此處將“重卦”類(lèi)比為“桌子”、“紅球”類(lèi)比為“陽(yáng)爻”、“白球”類(lèi)比為“陰爻”，進(jìn)而將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的概率問(wèn)題，只需求出總的可能結(jié)果的數(shù)量及符合條件的結(jié)果數(shù)量即可解決問(wèn)題．結(jié)果總數(shù)的計(jì)算可采用分布乘法計(jì)算原理，符號(hào)條件的結(jié)果數(shù)量可采用組合知識(shí)，進(jìn)而求得概率．

第四， 回顧反思．可通過(guò)計(jì)算重卦中恰有n個(gè)陽(yáng)爻的概率(n=0，1，…，6)驗(yàn)算所得的解，結(jié)果如 表1所示．經(jīng)檢驗(yàn)可知，結(jié)果正確．在獲得結(jié)果的前提下，通過(guò)回顧反思，可進(jìn)一步將解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果一般化．

表1

這道題從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化研究的角度看，在一定程度上挖掘了《周易》中的數(shù)學(xué)文化，將古典概型同“卦”“爻”等內(nèi)容相結(jié)合，問(wèn)題解決對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)和理解能力提出了較高的要求，重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)文化意識(shí)．

3 通過(guò)對(duì)古典概型欣賞和運(yùn)用，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的價(jià)值與魅力

從《周易》中“卦”“爻”等內(nèi)容可知，早在三千多年前我國(guó)古代就已經(jīng)有了概率思想，開(kāi)始運(yùn)用古典概型，即我國(guó)古典概型的產(chǎn)生和運(yùn)用同占卜、演算等應(yīng)用密切關(guān)聯(lián)，蘊(yùn)含著樸素的辯證唯物主義思想．在西方文獻(xiàn)中，按照歷史發(fā)展的脈絡(luò)，概率論的發(fā)展從古典概型到統(tǒng)計(jì)意義下的概率，再到公理化的概率論[4]，它的產(chǎn)生與賭博密切相關(guān)．對(duì)比中西方古典概型相關(guān)思想的產(chǎn)生和運(yùn)用，可以說(shuō)，古典概型是人類(lèi)文化的產(chǎn)物，是人類(lèi)智慧的結(jié)晶．因此，在古典概型的教學(xué)中要特別重視社會(huì)文化因素，培養(yǎng)學(xué)生多元文化理解和交流能力．

《周易》分為經(jīng)與傳兩部分，記載的是伏羲或周文王所作的八卦和六十四卦．其中，每卦有六爻，符號(hào)“——”為陽(yáng)爻，符號(hào)“— —”為陰爻，即六個(gè)陰陽(yáng)符號(hào)，通過(guò)計(jì)算可知“凡一陰一陽(yáng)之卦各六”“凡二陰二陽(yáng)之卦各十有五”“凡三陰三陽(yáng)之卦各二十”“凡四陰四陽(yáng)之卦各十有五”“凡五陰五陽(yáng)之卦各六”．通常作卦，都伴隨著一種隨機(jī)試驗(yàn)．例如，拋擲一枚硬幣，可規(guī)定“正面朝上”為“陽(yáng)爻”，“反面朝上”為“陰爻”，連續(xù)三次進(jìn)行該試驗(yàn)就有8種不同的結(jié)果，可畫(huà)出八卦圖，連續(xù)獨(dú)立進(jìn)行六次試驗(yàn)，可畫(huà)出64卦圖．這僅涉及《周易》中初級(jí)的作卦法，這表明《周易》有深厚的古典概型思想．又有研究表明，據(jù)說(shuō)法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(Blaise Pascal, 1623—1662)在度假途中偶遇賭徒梅累(Mere)，梅累向帕斯卡提出“分賭注”的問(wèn)題．梅累表示，他在與賭友擲骰子時(shí)，每人各押32個(gè)金幣，并約定：若梅累先擲出3個(gè)6點(diǎn)或其賭友先擲出3個(gè)4點(diǎn)，便算贏家．當(dāng)梅累擲出兩次6點(diǎn)、賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)，梅累接到通知要他馬上陪同國(guó)王接見(jiàn)外賓，賭博不得不中斷，但就此結(jié)束賭局心有不甘，于是決定按已取得的成績(jī)分配這64個(gè)金幣．對(duì)于這個(gè)賭金分配問(wèn)題，帕斯卡和費(fèi)馬都作了解答．

在當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常有教師提到古典概型等概率論起源于西方，中國(guó)并沒(méi)有產(chǎn)生概率論．而歷史表明，數(shù)學(xué)是全人類(lèi)共同的文化遺產(chǎn)，不同民族在不同的社會(huì)文化背景下產(chǎn)生了不同的數(shù)學(xué)思想和方法，這些數(shù)學(xué)創(chuàng)造都是世界數(shù)學(xué)之樹(shù)不可分割的一枝．在古典概型教學(xué)中，將我國(guó)《周易》《道德經(jīng)》等經(jīng)典著作中的古典概型的運(yùn)用和辯證唯物思想方法充分展示出來(lái)，同西方賭博產(chǎn)生古典概型相對(duì)比，有助于學(xué)生消除民族中心主義的偏見(jiàn)，以更廣泛的視野去認(rèn)識(shí)古代中西方文明的數(shù)學(xué)成就，深化對(duì)數(shù)學(xué)的文化屬性的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)欣賞豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，以平等、開(kāi)放的眼光看待本民族和不同民族文化傳統(tǒng)之中的數(shù)學(xué)成果，梳理正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，從而實(shí)現(xiàn)多元文化觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)教育目的[5]．