鄒施凱 (江蘇省東臺中學(xué) 224200)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自江蘇省四星級重點高中，基礎(chǔ)較好，有一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力．

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》第2章第2.4節(jié)拋物線．本節(jié)包含兩段內(nèi)容：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何性質(zhì)．本節(jié)課作為節(jié)后探究課，側(cè)重對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p作進(jìn)一步探究，旨在對參數(shù)p的相關(guān)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的探究，理解并掌握與參數(shù)p有關(guān)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與求解，提高觀察、分析和建模的能力，拓展發(fā)散性思維能力和綜合概括能力；(2)在對教材經(jīng)典問題的發(fā)散探究中，置身于自主探索、質(zhì)疑思考的氛圍，感悟體驗數(shù)形結(jié)合的思想在解析幾何中的應(yīng)用，不斷提升直觀想象能力[1]．

教學(xué)重點 探究與參數(shù)p相關(guān)結(jié)論的數(shù)學(xué)模型．

教學(xué)難點 建構(gòu)對拋物線本質(zhì)屬性的研究路徑．

2 教學(xué)過程

2.1 回顧教材，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究

師：同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)等有關(guān)知識，請大家回顧一下：在拋物線y2=2px(p>0)中，焦點的坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別是什么？參數(shù)p的幾何意義是什么？x的系數(shù)2p的幾何意義又是什么？

師：很好！由此我們發(fā)現(xiàn)在對拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)的研究中，參數(shù)p的價值舉足輕重，那么我們就一起來對與參數(shù)p相關(guān)的問題作進(jìn)一步探究．(教師板書課題)

師：我們一起來看課本第54頁第12題：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2)，求證：y1y2=-p2．

師：(追問)x1x2是否為最值？在此過程中，大家還有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：在解題過程中，我發(fā)現(xiàn)只要直線方程x=my+t(m∈R)中的t為常數(shù)，y1y2就一定為定值，也就是說，如果經(jīng)過x軸上一定點M的一條直線和拋物線y2=2px相交，那么兩個交點的縱坐標(biāo)y1,y2也滿足積為定值．

圖1

師：剛才兩位同學(xué)的探究非常有價值，他們發(fā)現(xiàn)了體現(xiàn)在“數(shù)”上與p相關(guān)的定值.其實利用這些定值，我們也能發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)在“形”上的“定”，如課本第54頁第10題：如圖1，已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，A,B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1,B1，求證：∠A1FB1是直角．

生：設(shè)F在拋物線準(zhǔn)線上的射影為H，在△A1FB1中，因為FH2=p2=-y1y2=-A1H·B1H，所以△A1FB1為直角三角形，即∠A1FB1是直角．

師：根據(jù)我們已獲得的解題經(jīng)驗，請同學(xué)們完成課本第54頁第11題“直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B，求證：OA⊥OB”后思考：若OA與OB是拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)互相垂直的兩條弦，則直線AB有什么特點？

2.2 聚焦p值，發(fā)散思考，拓展探究

圖2

師：為進(jìn)一步探究拋物線y2=2px上點的坐標(biāo)、弦長等與參數(shù)p的關(guān)系，我們來思考這樣一個問題：已知弦AB過拋物線y2=2px的焦點F，且傾斜角為α，你能用p和α表示出焦半徑FA和FB嗎？進(jìn)一步地，你能求出弦AB的弦長嗎？

圖3

師：同學(xué)們對此問題還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

2.3 總結(jié)提煉，分類思考，升華探究

師生共同分析，總結(jié)提煉，分類思考，凝煉出如下結(jié)論：

結(jié)論2 過定點M(2p，0)的一條直線與拋物線y2=2px相交于A,B兩點，則OA⊥OB，反之亦成立．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計的立意

新課程倡導(dǎo)教師“用教材”，是要教師以教材為藍(lán)本，對課本中呈現(xiàn)的概念、例題、習(xí)題進(jìn)行科學(xué)整合，博采眾家之長，設(shè)計出立足課本、立足經(jīng)典的鮮活課例來．這就要求教師要充分研讀課本內(nèi)容，吃透課本精神，把握課本內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用教材．

本節(jié)課的設(shè)計從課本習(xí)題出發(fā)，以課本問題為依托，結(jié)合學(xué)情適當(dāng)整合,展開探究．從這個意義上說，立足課本，自然節(jié)約，是一種“原生態(tài)”；用足課本，適當(dāng)拓展，是一種“生成態(tài)”；用活課本，煥發(fā)活力，是一種“生命態(tài)”．通過建構(gòu)“原生態(tài)、生成態(tài)、生命態(tài)”的三維數(shù)學(xué)生態(tài)課堂，讓學(xué)生在探究的殿堂中生態(tài)化地健康成長．[2]

本節(jié)課的探究設(shè)計體現(xiàn)了三維數(shù)學(xué)教育思想的核心：建模的思想、辯證的思維、化歸的思路[2]．本節(jié)課建構(gòu)了對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的探究模式，由定義理解到課本習(xí)題分析，生成了參數(shù)p有關(guān)的坐標(biāo)、線段長度、相關(guān)數(shù)量關(guān)系的架構(gòu)結(jié)論；在可逆問題的探究、數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用中形成了辯證思維的觀點；并在復(fù)雜問題的探究中形成了將新問題轉(zhuǎn)化成舊知識的化歸思路．

3.2 教學(xué)反思

(1)要重視教材中經(jīng)典習(xí)題的教學(xué)研究

教材是知識的根本，是經(jīng)典的結(jié)晶，是問題的源泉.面對經(jīng)典的課本和浩瀚的資料，要構(gòu)建和諧的數(shù)學(xué)生活情境，教師就必須牢固樹立課本比資料重要、課內(nèi)比課外重要、概念比題目重要、典型(經(jīng)典例習(xí)題)比非典(非典型性問題)重要的教學(xué)理念．只有這樣圍繞“三課教學(xué)法”[2]——夯實課本概念、消化課本例題、引申課本習(xí)題來教學(xué)，才是有根據(jù)、可持續(xù)發(fā)展的教學(xué)．課本第54頁第10～12三個題目，看似云淡風(fēng)清，實質(zhì)上蘊(yùn)含了波瀾壯闊的聯(lián)系與事物運(yùn)動變化的規(guī)律．

(2)要重視教材中經(jīng)典變量的教學(xué)探究

(3)要重視學(xué)生探究能力、自主研究能力的培養(yǎng)

教材無非是個引子，教師無非是個引路人．高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅是要教會學(xué)生“學(xué)會”數(shù)學(xué)知識，更重要的是要教會學(xué)生“會學(xué)”數(shù)學(xué)知識．[3]本節(jié)探究課，在教師引導(dǎo)下，師生、生生合作探究出與參數(shù)p相關(guān)的一系列結(jié)論，這只能說是完成教學(xué)任務(wù)的一半．事實上，教無止境，探究無止境，我們還可以因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更為廣泛深刻的研究．另外，在探究性教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，要特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生的個性張揚(yáng)，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探究興趣的激發(fā)以及合作學(xué)習(xí)小組的建立．教學(xué)中要小心呵護(hù)學(xué)生研究的熱情，要充分肯定學(xué)生在探究中的思考與付出．