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        N(2,2,0)代數(shù)與BRK-代數(shù)

        2020-06-01 02:03:54鄧方安
        關(guān)鍵詞:濾子子代數(shù)代數(shù)

        鄧方安

        (陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 漢中 723001)

        1966年,Imai等[1]和Iseki[2]提出了BCI-代數(shù)和BCK-代數(shù)的概念.眾所周知,BCK-代數(shù)是BCI-代數(shù)的真子類,許多學(xué)者推廣了這兩類代數(shù),引入和研究了不同類型的新代數(shù).1983年,Hu等[3]推廣了BCI-代數(shù),引入了BCH-代數(shù),并研究了它的性質(zhì).后來(lái),Ahn等[4]又推廣了BCH-代數(shù),提出了一類新的代數(shù),即BH-代數(shù).2001年,Neggers等[5]提出了一個(gè)新的代數(shù)系統(tǒng),稱為Q-代數(shù),并推廣了BCI-代數(shù)和BCK-代數(shù)中的一些定理.2002年,Neggers等[6]引入了B-代數(shù),并得出了B-代數(shù)的一些性質(zhì).2007年,Walendziak[7]提出了BF-代數(shù),它是B-代數(shù)的推廣.另外,Kim等[8]還引入了BG-代數(shù),該代數(shù)是B-代數(shù)的推廣.在此基礎(chǔ)上,Bandaru[9]推廣了BCK/BCI/BCH/Q/QS/BM代數(shù),提出了BRK-代數(shù)的概念. 2017年,Venkateswarlu等[10]對(duì)BRK-代數(shù)進(jìn)行了深入研究,定義了弱正蘊(yùn)涵BRK-代數(shù)以及一些性質(zhì).

        1996年,作者提出了N(2,2,0)代數(shù)概念,并系統(tǒng)研究了該代數(shù)的性質(zhì),得到了系列研究成果[10-11].論文將研究N(2,2,0)代數(shù)與BRK-代數(shù)的關(guān)系,并進(jìn)一步刻畫N(2,2,0)代數(shù)的性質(zhì).

        1 預(yù)備知識(shí)

        為研究方便,先引入有關(guān)BCI/BCH/BCK/Q-代數(shù)的定義.

        定義1[1]BCI-代數(shù)(X,*,0)滿足以下條件:?x,y,z∈X,有

        (B1) (x*y)*(x*z)≤(z*y);

        (B2)x*(x*y)≤y;

        (B3)x≤x;

        (B4)x≤y,y≤x?x=y;

        (B5)x*y=0,x≤y,x≤0?x=0.

        注:如果將(B5)替換為(B6),即0≤x,則該代數(shù)稱為BCK代數(shù).由文獻(xiàn)[1]知,每個(gè)BCK-代數(shù)都是一個(gè)BCI-代數(shù),反之不然.

        定義2[2]一個(gè)BCH-代數(shù)(X,*,0)是滿足條件(B3),(B4),(B7),(B7)即(x*y)*z=(x*z)*y的代數(shù).

        注:每個(gè)BCI-代數(shù)都是一個(gè)BCH-代數(shù),反之則不然.

        定義3[5]一個(gè)Q-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B7),(B8),(B8)即x*0=x的代數(shù).如果一個(gè)Q-代數(shù)滿足(B9),即(x*y)*(x*z)=z*y,則稱Q-代數(shù)為QS-代數(shù).

        注:每個(gè)BCH-代數(shù)都是一個(gè)Q-代數(shù),反之則不然.

        定義4[6]一個(gè)B-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B8),(B10),(B10)即(x*y)*z=x*(z*(0*y)),?x,y,z∈X的代數(shù).如果對(duì)于任意a,b∈X,a*(0*b)=b*(0*a),B-代數(shù)是非交換的,則B-代數(shù)和Q-代數(shù)是不同的概念.

        定義5[7]一個(gè)BF-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B8),(B11),(B11)即0*(x*y)=y*x的代數(shù).

        注:每一個(gè)B-代數(shù)都是BF-代數(shù),反之則不然.

        定義6[9]一個(gè)BM-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B8),(B12),(B12)即(x*y)*(x*z)=z*y的代數(shù).

        定義7[4]一個(gè)BH-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B4),(B8)的代數(shù).

        定義8[8]一個(gè)BG-代數(shù)(X,*,0)是滿足(B3),(B8),(BG),(BG)即(x*y)*(0*y)=x的代數(shù).

        2 BRK-代數(shù)及基本性質(zhì)

        下面給出BRK-代數(shù)定義,并研究它與其他幾種代數(shù)之間的關(guān)系.

        定義9[9]定義X為非空集合,常數(shù)為0,如果滿足二元運(yùn)算(*)

        (B8)x*0=x;

        (B13) (x*y)*x=0*y,這里x,y∈X.

        則稱(X,*,0)構(gòu)成的代數(shù)為BRK-代數(shù).

        例1定義非空集合A=R-{n},0≠n∈Z+,滿足二元運(yùn)算“*”

        顯然,(A,*,0)為BRK-代數(shù).

        例2定義非空集合A={0,1,2},滿足如表1所示的二元運(yùn)算“*”.

        表1 集合A滿足的二元運(yùn)算

        顯然代數(shù)(A,*,0)滿足(B8),可以驗(yàn)證滿足(B13),即(x*y)*x=0*y,有

        當(dāng)y為0時(shí),(x*0)*x=0*0=0;

        當(dāng)y為1時(shí),(x*1)*x=0*1=2;

        當(dāng)y為2時(shí),(x*2)*x=0*2=2.

        故?x,y∈A,有(x*y)*x=0*y成立,則代數(shù)(A,*,0)為BRK-代數(shù).

        定理1[9]如果(X,*,0)是一個(gè)BRK-代數(shù),那么對(duì)任意x,y∈A,滿足:

        (1)x*x=0;

        (2)x*y=0?0*x=0*y.

        定理2[9]在每個(gè)BRK-代數(shù)(X,*,0)中,?x,y∈X,滿足

        0*(x*y)=(0*x)*(0*y),x,y∈X.

        定理3[9]每個(gè)滿足x*(x*y)=x*y,x,y∈X的BRK-代數(shù)是一個(gè)平凡的BRK代數(shù).

        定理4[9]每個(gè)滿足(x*y)*(x*z)=z*y,x,y,z∈X的BRK-代數(shù)是一個(gè)BCI-代數(shù).

        定理5[9]每一個(gè)非交換的B-代數(shù)是一個(gè)BRK-代數(shù).

        定理6[9]設(shè)(X,*,0)為BRK-代數(shù),對(duì)任意的x,y∈X,則下面的條件成立:

        (1)設(shè)(x*y)*[0*(0*y)]=(x*y)*y,則0*[0*(0*y)]=0*y;

        (2) (x*y)*(0*y)=(x*y)*y?0*(0*y)=0*y;

        (3)x*(y*x)=x*[0*(x*y)]?0*(y*x)=0*[0*(x*y)].

        3 N(2,2,0)代數(shù)與BRK-代數(shù)

        定義10[11]設(shè)S是含常元0的集合,在S中定義兩個(gè)二元運(yùn)算*和Δ,?x,y,z∈S,若滿足以下公理:

        (F1)x*(yΔz)=z∈(x*y);

        (F2) (xΔy)*z=y*(x*z);

        (F3) 0*x=x.

        則稱(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù).

        定理7[11]在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中,?x,y,z,恒有下列等式成立:

        (F4)x*y=yΔx;

        (F5) (x*y)*z=x*(y*z),(xΔy)Δz=xΔ(yΔz);

        (F6)x*(y*z)=y*(x*z),(xΔy)Δz=(xΔz)Δy.

        推論1[11]若(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),則(S,*,0)和(S,Δ,0)都是半群.

        記ES為半群(S,*,0)的冪等元集合.

        定理8設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)-代數(shù),若?x∈S,x*x=0成立,則(S,*,0)是一個(gè)BRK-代數(shù).

        證明若?x∈S,x*x=0?x*0=x*(x*x)=(x*x)*x=0*x=x,則(B8)成立;

        又若?x,y∈S,x*x=0, 則

        (x*y)*x=(x*y)*(x*0)=x*((x*y)*0)=x*(x*y)=(x*x)*y=0*y,

        因此(B9)成立.于是(S,*,0)是一個(gè)BRK-代數(shù).

        由文獻(xiàn)[12]中定理1.2.9和定理1.2.10不難看出,一個(gè)BRK-代數(shù)不一定是N(2,2,0)-代數(shù),但一個(gè)冪零的N(2,2,0)代數(shù)一定是BRK-代數(shù).

        定義11設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),對(duì)于S的任意一個(gè)子集Q,定義

        T(Q)={x∈Q|x*0=x}.

        特殊地,如果Q=S,則稱T(Q)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù)的T-部分.

        定理9設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),若?x∈S,x*x=0 成立,則在T(S)中右消去律成立.

        證明?a,b,c∈T(S),滿足a*c=b*c,則由定理7知,?a∈S,a*a=0?a*0=a,于是

        a*c=b*c?a*c*c=b*c*c?a*0=b*0?a=b.

        定理10設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),若?x∈S,x*x=0 成立,則(T(S),*,0)是一個(gè)阿貝爾群.

        證明在(T(S),*,0)中,?x,y∈T(S), 則

        x*y=x*(y*0)=y*(x*0)=y*x,

        于是0是(T(S),*,0)的一個(gè)單位元,由文獻(xiàn)[13]中定理1.2.11知,T(S)的每一個(gè)元素都是自身的逆元, 因此(T(S),*,0)是一個(gè)阿貝爾群.

        4 N(2,2,0)代數(shù)的理想與濾子

        在一個(gè)N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)中,稱集合

        G(S)={x∈S|x*0=0}

        為S的一個(gè)p-根.

        如果G(S)={0},則稱N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是p-半單的.

        根據(jù)N(2,2,0)-代數(shù)的性質(zhì)易知,若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是一個(gè)交換半群,則該半群(S,*,0)是p-半單的.

        可以證明:G(S)?ES.事實(shí)上,有

        ?x∈G(S)?x*0=0?(x*0)*x=0*x?x*(0*x)=x?x*x=x?x∈ES,

        于是G(S)?ES.

        顯然,G(S)∩T(S)={0}.

        定義13設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),A是S的一個(gè)非空子集,稱A為S的一個(gè)理想,如果滿足:

        (II)x∈A,x*y∈A?y∈A.

        定義14設(shè)(S,*,Δ,0)是一個(gè)N(2,2,0)代數(shù),F(xiàn)是S的一個(gè)非空子集,稱F為S的一個(gè)濾子,如果滿足:

        (I) 0∈F;

        (II)x*y∈A,y∈A?x∈A.

        定理11在N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)中,G(S)={x|x*0=0}既是S的子代數(shù),也是S的理想和濾子.

        證明(1) 顯然0∈G(S),?x,y∈G(S),則

        x*0=0,y*0=0?(x*0)*(y*0)=0?y*((x*0)*0)=

        0?y*(x*0)=0?(y*x)*0=0?y*x∈G(S),

        類似可得x*y∈G(S),因此G(S)是S的一個(gè)子代數(shù).

        (2) 顯然0∈G(S),?x,y∈G(S),x∈G(S), 則

        因此G(S)為S的一個(gè)理想.

        類似可證G(S)為S的一個(gè)濾子.

        在N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)的子代數(shù)G(S)上定義一個(gè)關(guān)系“~G”如下

        ?x,y∈G(S),x~Gy?(x*y)*0=0.

        定理12在N(2,2,0)-代數(shù)(S,*,Δ,0)的G(S)={x|x*0=0}上,如果?x∈G(S),x*x=0成立,則關(guān)系“~G”是G(S)上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

        證明(1) 由x*x=0?(x*x)*0=0?x~Gx,于是關(guān)系“~G”滿足自反性.

        (2) 由(x*y)*0=0?x*(y*0)=0?y*(x*0)=0?(y*x)*0=0,于是關(guān)系“~G”滿足對(duì)稱性.

        (3) 若x~Gy,y~Gz,則

        (x*y)*0=0,(y*z)*0=0?((x*y)*0)*((y*z)*0)=0*0=0,

        ((x*y)*(y*z))*0=0?(x*(y*y)*z)*0=0?(x*0*z)*0=0?(x*z)*0=0,

        于是x~Gz,從而關(guān)系“~G”滿足傳遞性.

        因此,關(guān)系“~G”是G(S)上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

        設(shè)?x,y,z,t∈G(S),假定x~Gy,z~Gt,則

        因此,關(guān)系“~G”是G(S)上的一個(gè)同余關(guān)系.

        將x所在的等價(jià)類記為

        規(guī)定

        [x]*[y]=[x*y],[x]Δ[y]=[xΔy],

        則有定理13.

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