柴建紅, 周文學, 孫 芮, 周玉群

(蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070)

引言

在電磁學,力學,醫(yī)學,擴散,控制,信息處理等實際應用中,分數階微分方程比整數階微分方程更符合實際情況,因此這引起了許多學者的關注與研究。近些年,許多學者研究了分數階發(fā)展方程mild解的存在性,唯一性。其中,發(fā)展方程是指含有未知函數關于時間變量t的導數或偏導數的微分方程的統(tǒng)稱。在文獻[1]中,El-Borai首次引入概率密度函數用于研究分數階微分發(fā)展方程并得到了其古典解。周勇和王錦榮等也研究了階數為0

(1)

mild解的存在性及正mild解的存在性進行研究。其中Tq是指階數為0

1 預備知識

定義1[6]設q∈(n,n+1]且f:[0,∞)→R,f的一致分數階導數可定義為

常用f(q)表示,其中[q]表示大于等于q的最小整數。

特別地,在本文中q∈(0,1),則

引理1[6]設q∈(0,1],函數f和g在t>0上q次可微,則

(1)Tq(af+bg)=aTq(f)+bTq(g)，?a,b∈R；

(2)Tq(tp)=ptp-1，?p∈R；

(3)Tq(λ)=0，?λ∈R；

(4)Tq(fg)=fTq(g)+gTq(f)；

引理2設f∈C(I,R),其中I=[0,a],對于下列分數階發(fā)展方程初值問題

(2)

存在mild解

(3)

證明方程(2)由引理1中的性質(6)知等價于下列的微分方程

對上式兩端同時積分,有

定義2[9]設E為實Banach空間,S是E中的有界集。令

引理3[9]非緊性測度α(·)具有如下性質:

(1)α(S)=0?S為相對緊集;

(2)S?T?α(S)α(T);

(4)α(S∪T)max {α(S),α(T)};

(5)α(aS)=|a|α(S),其中aS={x:x=ay,y∈S};

(6)α(S+T)α(S)+α(T),其中S+T={x:x=y+z,y∈S,z∈T};

引理4[9]設E為Banach空間,若B?C(I,E)有界且等度連續(xù),則α(B(t))在I上連續(xù),且

引理5[10]設E為Banach空間,若B={xn}?C(I,E)為可列集,存在g(t)∈L1(I),使得

‖un(t)‖g(t)，a.et∈I,n=1,2,…

則α(B(t))∈L1(I),且有

特別地,當B有界時,上式成立。

引理6[11]設D?E有界時,則存在D的可數子集D0?D,使得

α(D)2α(D0)。

定義3[12]設E1,E2為實Banach空間且D?E1,設A:D→E2連續(xù)有界,若對任何非相對緊的有界集S?D都滿足

α(A(S))<α(S)。

則稱A是D上的凝聚映射。

引理7[9](Sadovskii不動點)設E為Banach空間,D是E中的有界閉凸集(D不一定有內點)。若Q:D→D為凝聚映射,則Q在D中必有不動點。

定義4[13]設E為Banach空間,B(E)表示E中所有線性有界算子構成的Banach空間,若T(t):[0,+∞)→B(E)滿足

(1)T(0)=I;

(2)T(s+t)=T(s)T(t)，?t,s∈R+。

則稱T(t)(t≥0)為E中的線性算子半群。

定義5[13]設T(t)(t≥0)為E中的線性算子半群。下列方式定義線性算子A

稱為T(t)(t≥0)的無窮小生成元。

定義6[14]設T(t)(t≥0)為E中的線性算子半群,若對?x∈E,有

則稱T(t)(t≥0)為E中的強連續(xù)半群或C0-半群。

定義7[14]設T(t)(t≥0)為E中的C0-半群。若對?x≥θ,有T(t)x≥θ,t≥0,則稱T(t)(t≥0)為E中的正C0-半群。

引理8[14](指數有界性)設T(t)(t≥0)為E中的C0-半群,則存在常數M≥1,ω≥0使得

‖T(t)‖Meωt,t≥0

特別地當ω=0時,T(t)(t≥0)為E中的一致有界C0-半群。

引理9[15](Gronwall引理)設b≥0，q>0，h(t)，u(t)是區(qū)間[a,b]上局部可積的非負函數,若

u(t)h(t)+b(t-s)q-1u(s)ds，

則

u(t)tb

引理10[16]設1p∞,對于可測函數m:I→R,定義范數

2 主要結果及證明

為方便起見,本文總假設如下

(H1)函數f:I×E→E滿足下列條件

(ⅰ)對?t∈I,函數f(t,·):E→E是連續(xù)的;

(ⅱ)對?u(t)∈E,函數f(·,u(t)):[0,a]→E是Lebesgue可測的。

‖f(t,x)‖m(t)

(H3)存在常數L>0,使得對?t∈I，D?E,有

α(f(t,D))Lα(D)

(H4)對于任意的常數R>0,存在常數K>0,使得當θx1x2， ‖x1‖，‖x2‖R時,有

f(t,x2)-f(t,x1)≥K(x2-x1)，t∈I

(H5)對于任意的常數R>0,存在常數L>0,使得對任意的單調遞增序列

有

α(f(t,D))Lα(D),?t∈I

證明定義積分算子Q:C(I,E)→C(I,E)如下

(4)

則(Qu)(t)為連續(xù)算子,且初值問題(1)的mild解等價于積分方程(4)中Q的不動點,令

由引理11和條件(H2),對?t∈I,有

由引理8知,有

(5)

第一步:映射Q:Ω→Ω。取?u∈Ω,由(5)式,有

‖(Qu)(t)‖

所以Qu∈Ω,即Q:Ω→Ω。

第二步:Q(Ω)為C(I,E)中的等度連續(xù)函數。對?u∈Ω,0t1t2a,由(4)式知,有

‖(Qu)(t2)-(Qu)(t1)‖

=I1+I2+I3,

其中

因為T(t)在I=[0,a]上連續(xù),所以T(t)在I=[0,a]上也是一致連續(xù)。對于I1,I2,當t2-t1→0時顯然趨于0。對于I3由Lebesgue控制定理及以T(t)的一致連續(xù)知,當t2-t1→0時，I3也趨于0。

綜上可得,當t2-t1→0時,‖(Qu)(t2)-(Qu)(t1)‖→0。故Q(Ω)為C(I,E)中的等度連續(xù)函數。

第三步:Q:Ω→Ω為凝聚映射

α(Q(B1)(t))=α(Q(un)(t))

所以α(Q(B))又因為故Q:Ω→Ω是凝聚映射。

則由Sadovskii不動點定理可知,Q在Ω中有不動點且該不動點為方程(1)在I=[0,a]上的mild解。

證明由定理1知,方程(1)在區(qū)間I=[0,a]上至少存在一個mild解u∈C(I,E)。令h*>0,在區(qū)間[a,a+h*]上定義u(t)=v(t),通過這種方法可以將方程(1)的mild解u(t)向右延拓到更大的區(qū)間[0,a+h*],其中v(t)是下列分數階發(fā)展方程初值問題

在[a,a+h*]上的解,其中h*與h，u(h)有關。接著依次重復此過程就可以得到極大區(qū)間[0,T),使得u∈C([0,T),E)為分數階微分發(fā)展方程(1)的飽和mild解。

C(T)=sup { ‖f(t,u(t))‖:0tT+1,‖u(t)‖R(T)}。

對?t1,t2∈(0,T]且令0

對于下列分數階發(fā)展方程初值問題

C=sup {‖f(t,u(t))‖:0tT,‖u(t)‖M(R*+1)}。

‖u(t)‖M(R*+1)，u(tn+hn)=M(R*+1)

其中tn

M(R*+1)=‖u(tn+hn)‖

→MR*(hn→0)。

定理2設E為有序Banach空間,其正元錐P為正規(guī)錐,A生成E中一致有界的等度連續(xù)的正C0-半群T(t)(t≥0)。設x0≥θ,f∈C(I×E,E)且f(t,θ)≥θ。若f滿足條件(H1),(H4),(H5),則分數階微分發(fā)展方程初值問題(1)存在正的mild解u(t)∈C(I,P)。

證明設R0為定理1證明中定義的常數,由(4)式知,Q:C(I,P)→C(I,E)是增算子。因為取?u1,u2∈P且θu1u2,由(H4)及正C0-半群T(t)(t≥0)可知

≥0。

取Ω1={u∈C(I,P):‖u‖R0},則Ω1為C(I,E)中的有界凸閉集,對?u∈Ω1,由Q的序增性知,有

又由定理1的證明可知Q:Ω1→Ω1。取u0≡θ∈Ω1,作迭代序列{un},使得

un=Qun-1,n=1,2,…

(6)

則有

θ=u0u1u2…un…

(7)

下證{un}收斂,記B0={un:n=0,1,2,…}，B1={un:n=1,2,3,…},根據(4)式,對于?t∈I,由引理5和條件(H5)知,有

α(B1(t))=α((Qun-1)(t))

證明類似推論1的證明。

3 例題

令

取?x∈H,有

則H?D。

=α(H)α(D)。

即存在L=1,使得α(f(t,D))α(D)成立。根據定理1知,此初值問題存在mild解u(t)∈C([0,1],E)。