胡建華，劉靜，許成蘇

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海200093）

虛根是不定型Kac-Moody 代數(shù)中的一個(gè)基本概念，但其結(jié)構(gòu)至今尚未完全弄清楚。雙曲型Kac-Moody 代數(shù)是一類特殊的不定型Kac-Moody代數(shù)，文獻(xiàn)[1]給出了所有雙曲型廣義Cartan 矩陣的分類，總共分為10 類。雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的虛根因具有一些特殊的性質(zhì)而受到關(guān)注。文獻(xiàn)[2-6]刻畫(huà)了Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根的某些性質(zhì)。文獻(xiàn)[7]給出了三階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的所有極小虛根。文獻(xiàn)[8]給出了四階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的所有極小虛根。本文將在此基礎(chǔ)上，給出n(5 ≤n≤10)階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的全部極小虛根。這樣所有雙曲型Kac-Moody代數(shù)的極小虛根都被完全刻畫(huà)出來(lái)。

1 重要定義及性質(zhì)

現(xiàn)給出極小虛根的定義及極小虛根的基本性質(zhì)，本文中提到的其他相關(guān)定義及符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[8-10]。

性質(zhì)1[3]ɡ(A)的極小虛根的個(gè)數(shù)是有限的，ɡ(A)是廣義Cartan 矩陣GCMA對(duì)應(yīng)的Kac-Moody代數(shù)。

性質(zhì)5[7]雙曲型Kac-Moody 代數(shù)ɡ(A)的Dynkin 圖的每個(gè)Aff 型連通子圖確定唯一一個(gè)null 的極小虛根。

2 高階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根

文獻(xiàn)[1]給出了所有雙曲型GCM 的分類，總共有238 類，其中，有35 個(gè)嚴(yán)格雙曲型，雙曲型GCM 的階不大于10，嚴(yán)格雙曲型GCM 的階不大于5。現(xiàn)給出5～10 階雙曲型GCM 所對(duì)應(yīng)的Kac-Moody 代數(shù)的全部極小虛根。

定理1 五階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根如表1 所示。

表1 Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根（Ⅰ）Tab.1 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅰ）

圖1 的Dynkin 圖Fig.1 Dynkin diagram of type of

定理2 六階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根如表2 所示。

表2 Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根（Ⅱ）Tab.2 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅱ）

的Dynkin 圖如圖2 所示。

圖2 的Dynkin 圖Fig.2 Dynkin diagram of type of

的Cartan 矩陣為

的五階連通真子圖中有Aff 型，支集為{α1,α2,α3,α4,α5}，還有2 個(gè)Aff 型，支集分別為{α1,α3,α4,α5,α6}，{α2,α3,α4,α5,α6}，由性質(zhì)5 可知，它們分別唯一確定一個(gè)null 的極小虛根，記為β1=(1,1,2,2,2,0)， β2=(1,0,2,3,4,2)，β3=(0,1,2,3,4,2)。的四階、三階及二階連通真子圖均是Fin 型，不存在極小虛根。

考慮支集為{α1,α2,α3,α4,α5,α6}的極小虛根。

定理3 七階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根如表3 所示。

表3 Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根（Ⅲ）Tab.3 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅲ）

的Dynkin 圖如圖3 所示。

圖3 的Dynkin 圖Fig.3 Dynkin diagram of type of

的Cartan 矩陣為

的六階真子圖中有Aff 型，支集為{α2,α3,α4,α5,α6,α7}，由性質(zhì)5 可知，它唯一確定一個(gè)null 的極小虛根，記為β=(0,1,1,2,1,2,1)。的低于六階的真子圖均為Fin 型，不存在極小虛根。

定理4 八階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根如表4 所示。

表4 Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根（Ⅳ）Tab.4 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅳ）

定理5 九階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根如表5 所示。

表5 Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根（Ⅴ）Tab.5 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅴ）

定理6 十階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根如表6 所示。

表6 Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根（Ⅵ）Tab.6 Minimal imaginary roots of Kac-Moody algebra（Ⅵ）

定理4～6 的證明過(guò)程與定理1～3 的證明過(guò)程類似，這里不再證明。

至此，n(5 ≤n≤10)階雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根已經(jīng)全部給出，再結(jié)合文獻(xiàn)[5, 7-8]，雙曲型Kac-Moody 代數(shù)的極小虛根就全部給出了。