高海清 楊曜莉

摘要：如何讓紙飛機(jī)飛行的更遠(yuǎn)，這一問題，一直是紙飛機(jī)愛好者正在追尋的，紙飛機(jī)的飛行距離往往受多種因素的影響，比如投擲者的心理因素，天氣狀況，投擲者使用力的大小，由 John Collins制作的名為 Suzanne的紙飛機(jī)，飛行距離長達(dá) 69米之多，本文將探索投出手以何種角度，以使飛行距離盡可能遠(yuǎn)。

關(guān)鍵詞：伯努利方程;飛行距離;投擲角度

前言

從兒時就玩過紙飛機(jī)的我們，總喜歡哈一口氣，然后扔出紙飛機(jī)，紙飛機(jī)就像是承載了我們的祝福，飛的很高很高，后來，我們才明白，哈氣后的紙飛機(jī)頭部會覆蓋一層水膜 ，從而形成膜效應(yīng)，這樣會使紙飛機(jī)在飛行時與空氣的磨擦系數(shù)變得很小，空氣阻力小了，紙飛機(jī)自然就飛的遠(yuǎn)了。

1. 模型假設(shè)

基于紙飛機(jī)飛行環(huán)境的有效性，對紙飛機(jī)飛行時做出如下假設(shè)：

（1） 假設(shè)紙飛機(jī)在順風(fēng)情況下飛行

（2）假設(shè)紙飛機(jī)的制作材料和紙張大小一樣，210mm×297mm每平方米紙70克

（3）假設(shè)折疊紙飛機(jī)時手指干燥，干凈

（4）假設(shè)折疊的紙飛機(jī)所有折痕一次成功

（5）假設(shè)機(jī)翼、機(jī)尾折疊對齊

（6）假設(shè)扔不同紙飛機(jī)的手用力大小一樣而且適中

2. 符號說明

①M ：一個紙飛機(jī)的質(zhì)量 ②v ：流體的速度 ③h ：鉛垂高度 ④C ：常量 ⑤a ：扔出紙飛機(jī)時與水平所成夾角 ⑥F 推 ：扔紙飛機(jī)者用的力 ⑦G ：紙飛機(jī)在空氣中所受的重力大小 ⑧K：空氣阻力與速度的相關(guān)性系數(shù) ⑨V0 ：扔紙飛機(jī)時紙飛機(jī)具有的初速度 ⑩t ：紙飛機(jī)飛行時間。

3.模型建立

3.1運用伯努利方程模型解決紙飛機(jī)投擲出手角度問題

3.1.1伯努利方程模型簡介

流體在忽略粘性損失的流動中，流線上任意兩點的壓力勢能、動能與位勢能之和保持不變。

3.1.2利用伯努利方程分析紙飛機(jī)速度與壓強(qiáng)的關(guān)系

根據(jù)伯努利方程，可以得出，流動中速度增大，壓強(qiáng)就減小;速度減小， 壓強(qiáng)就增大;速度降為零，壓強(qiáng)就達(dá)到最大。紙飛機(jī)機(jī)翼產(chǎn)生舉力，就在于下翼面速度低而壓強(qiáng)大，上翼面速度高而壓強(qiáng)小 ，上下的壓強(qiáng)差，使紙飛機(jī)向上飛，因而合力向上。

3.1.3根據(jù)速度與壓強(qiáng)的關(guān)系分析水平拋出飛機(jī)在空中受力狀況

當(dāng)扔飛機(jī)者以一定扔出紙飛機(jī)時，紙飛機(jī)受到人給他的推力，在空氣中受到空氣阻力，受到向下的重力，向上的舉力。

豎直方向第一階段：

速度和加速度同向，都向上，速度增加，加速度減小。

紙飛機(jī)在飛行時，由于豎直方向上具有上的初速度，因此在豎直方向上紙飛機(jī)會向上飛行，此時，加速度a和速度v都向上，因此紙飛機(jī)在豎直方向上的速度v也會不斷地增加，由伯努利方程可以知道，這個時候紙飛機(jī)下方的空氣流速也在增大，紙飛機(jī)上下方的壓強(qiáng)差在不斷的減小，因此紙飛機(jī)在豎直方向的加速度 a是減小的。

豎直方向第二階段：

速度和加速度反向，加速度向下且增加，速度向上且減小。

一直到紙飛機(jī)的上下壓強(qiáng)差小于紙飛機(jī)的重力時，這個時候，紙飛機(jī)的加速度 a在豎直方向上不再向上，改為向下，這個時候紙飛機(jī)在豎直方向做速度與加速度反向，并且反向加速度a逐漸增大，因此在這個階段，速度 v會向上但是不斷減小，直到速度 V=0 豎直方向第三階段：

速度和加速度同向都向下，且都不斷增加。

當(dāng)速度 v=0的時候，紙飛機(jī)受到的空氣的壓力增大，此時速度和加速度都向下，紙飛機(jī)在豎直方向上開始做豎直向下的加速運動，這也就意味著，紙飛機(jī)離快要落地不遠(yuǎn)了。

3.1.4計算紙飛機(jī)在空中飛行的時間并得出結(jié)論

通過一系列的分析計算可以得出，紙飛機(jī)的飛行距離受多個因素的影響，飛行前的初始速度、推力的大小，空氣中的摩擦力，推力與水平方向所成的夾角，都會影響紙飛機(jī)的飛行距離，我們將研究在其他變量一定時，通過改變?nèi)蛹堬w機(jī)者與水平方向所成夾角， 進(jìn)而讓紙飛機(jī)飛行盡可能遠(yuǎn)的距離。

所以為了讓飛行距離X足夠大，在初始速度 V0一定的情況下只要讓（kv0^2-F推 cosa） 足夠小就可以，只要讓F推 cosa足夠大就可以，當(dāng)F推一定時，cosa足夠大，由 cosa 的圖像變換公式，可以得出，當(dāng) cosa=0時，cosa最大，因此，可以得出結(jié)論，當(dāng)其他條件一定時，水平拋出，紙飛機(jī)飛行的距離盡可能遠(yuǎn)。

3.1.5伯努利方程的推廣

世界上最遠(yuǎn)的風(fēng)箏是蘇珊紙飛機(jī)，飛行距離為 226 英尺 10 英寸，也許你會覺得這個距離不是很遠(yuǎn)，但是要知道當(dāng)年萊特兄弟第一次開紙飛機(jī)時，飛行距離是 36米，如何讓紙飛機(jī)飛行的更遠(yuǎn)，一直是紙飛機(jī)愛好者不斷探索的問題，但是讓紙飛機(jī)飛行的更遠(yuǎn)，與許多因素有關(guān)，比如扔紙飛機(jī)者的心理素質(zhì)，扔紙飛機(jī)的高度，扔紙飛機(jī)的角度等等，本文通過伯努利方程模型的建立，為今后扔紙飛機(jī)的應(yīng)用了提供了很好的理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]伯努利方程 https：//baike.so.com/doc/5355750-5591223.html2019年 4月 2日.

[2]王惠民 流體力學(xué)基礎(chǔ) 出版地：清華大學(xué)出版社，2005-10-1：105.