呂哲 高玉斌

摘要：為了能夠在任何情況下準(zhǔn)確得到四葉圖在2種圖變換下距離特征值的極值，運(yùn)用行列式的性質(zhì)、韋達(dá)定理及不等式的放縮，給出了四葉圖的2種圖變換及上述問(wèn)題的結(jié)果。首先分別給出變換前后3種四葉圖距離矩陣、距離拉普拉斯矩陣及距離無(wú)符號(hào)拉普拉斯矩陣，利用行列式的性質(zhì)計(jì)算得出其特征多項(xiàng)式，由韋達(dá)定理判斷出3種距離特征多項(xiàng)式正負(fù)根的個(gè)數(shù)，通過(guò)不等式的放縮估計(jì)出特征值的范圍，從而求出2個(gè)最大特征值和的范圍;其次對(duì)變化前后四葉圖的3種距離矩陣2個(gè)最大特征值的和進(jìn)行比較。結(jié)果顯示，四葉圖在經(jīng)過(guò)2種變換后2個(gè)最大特征值的和是增加的。所得結(jié)果為特殊圖類距離特征值極值問(wèn)題提供了研究方法，對(duì)分子穩(wěn)定性問(wèn)題的研究具有一定的借鑒價(jià)值。

關(guān)鍵詞：圖論;四葉圖;距離矩陣;特征值;圖變換

中圖分類號(hào)：0157.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A doi：10.7535/hbkd.2020yx02000

1問(wèn)題的提出

多年來(lái)，圖距離矩陣特征值的研究一直是熱點(diǎn)問(wèn)題。GRAHAM等證明了樹(shù)的距離矩陣的行列式僅是頂點(diǎn)數(shù)的函數(shù)，之后國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)距離矩陣的譜進(jìn)行了研究。HAKIMI等提出了距離矩陣的可實(shí)現(xiàn)性問(wèn)題，RUZIEH等找到了路的所有特征值和特征向量，F(xiàn)OWLER等給出了圈Cn的所有距離特征值，文獻(xiàn)[5]給出了螢火蟲(chóng)圖距離矩陣2個(gè)最大特征值的下界，楊若松等得出了5類特殊圖的距離矩陣的多項(xiàng)式。關(guān)于圖的拉普拉斯矩陣特征值的研究有很多。文獻(xiàn)[12]給出了距離拉普拉斯矩陣和無(wú)符號(hào)拉普拉斯矩陣的定義，文獻(xiàn)[13]得到了簡(jiǎn)單圖拉普拉斯矩陣第一大與第二大特征值和的上界及樹(shù)的前k大特征值和的上界，文獻(xiàn)[14]研究了單圈圖距離拉普拉斯矩陣的2個(gè)最大特征值。對(duì)于特殊圖類距離矩陣特征值的相關(guān)研究見(jiàn)文獻(xiàn)。

若圖G中有一塊是樹(shù)，其他塊是圈，且所有圈都粘在這顆樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)上，則稱G為仙人掌圖，用G（n，r）表示含有r個(gè)圈的n階仙人掌圖。當(dāng)r=4且每個(gè)圈為三角形時(shí)稱為四葉圖。筆者主要研究四葉圖在2種變換下的距離矩陣、距離拉普拉斯矩陣和距離無(wú)符號(hào)拉普拉斯矩陣的2個(gè)最大特征值的和。由于確定上述矩陣的2個(gè)最大特征值和的問(wèn)題比較困難，所以本文給出四葉圖的2種變換，估計(jì)了變換前后四葉圖的距離矩陣、距離拉普拉斯矩陣和距離無(wú)符號(hào)拉普拉斯矩陣的2個(gè)最大特征值的和，進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)這2種變換，上述矩陣2個(gè)特征值的和是增加的。

鑒于四葉圖結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，確定矩陣的2個(gè)最大特征值和的問(wèn)題是比較困難的。筆者只研究了四葉圖的2種圖變換下3種距離矩陣2個(gè)最大特征值和的變化。研究方法可為繼續(xù)研究四葉圖3種距離矩陣2個(gè)最大特征值和的極值問(wèn)題開(kāi)拓思路。