周 平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)與工程學(xué)院, 云南 文山 663099)

0 引言

線性互補(bǔ)問題是重要的優(yōu)化問題之一,它被廣泛地應(yīng)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、市場(chǎng)均衡、彈性力學(xué)、控制論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的一些實(shí)際問題中[1].一般地,在構(gòu)建線性互補(bǔ)問題的模型過(guò)程中,使用不同的方法得到的結(jié)果是不一樣的,甚至?xí)嬖谳^大的差異,因此如何尋找最小誤差界就顯得非常重要.在矩陣?yán)碚撝?P-矩陣有著非常重要的作用,很多學(xué)者對(duì)它的子矩陣的數(shù)值特征進(jìn)行了探討.特別地,近年來(lái),P-矩陣及其子類矩陣的線性互補(bǔ)問題的誤差界引起了大量學(xué)者的關(guān)注,并展開了一系列的研究,獲得了一些頗有成效的結(jié)果[2-5].而對(duì)P-矩陣的新子類D-Z矩陣的線性互補(bǔ)問題解的誤差界的研究較少,且已有的結(jié)果計(jì)算較復(fù)雜,因此尋找更好的估計(jì)式是非常有必要的.本文在文[6]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了該問題,且得到了僅依賴于D-Z矩陣元素的新估計(jì)式,且應(yīng)用例子驗(yàn)證了新估計(jì)式提高了估計(jì)的精度.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

為了便于后文的研究,先給出如下記號(hào):N={1,2,…,n},Cn×n(Rn×n)是全體n×n階復(fù)(實(shí))矩陣構(gòu)成的集合.

設(shè)A=(aij)∈Cn×n,M=(mij)∈Cn×n,記

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,q∈Rn,尋找解x∈Rn,使得(Ax+q)Tx=0,Ax+q≥0,x≥0.則該問題稱為線性互補(bǔ)問題,記作LCP(A,q).

引理1[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,它是P-矩陣,則LCP(A,q)的解存在且唯一.

引理2[3]設(shè)M是P-矩陣,x*和x分別是LCP(M,q)的精確解和近似解,則

其中:r(x)=min{x,Mx+q},表示x和Mx+q對(duì)應(yīng)分量的最小值;x*表示LCP(M,q)的解;D=diag(d1,d2,…,dn), 0≤di≤1.

定義3[4]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,如果?i∈N,存在j∈N={1,2,…,n},j≠i,使得

那么A叫做Dashnic-Zusmanovich矩陣,常記作D-Z矩陣.

引理3[4]設(shè)M是D-Z矩陣,則M是P-矩陣.

引理4[5]若γ>0,η≥0，則對(duì)任意的x∈[0,1],有

引理5[6]設(shè)A=(aij)∈Cn×n為D-Z矩陣,則

引理6[7]設(shè)M=(mij)∈Cn×n為D-Z矩陣,且mii>0,如果B=I-D+DM,其中I是n階單位矩陣,D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n,那么B是D-Z矩陣.

2 主要結(jié)論

定理1[8]設(shè)M=(mij)∈Cn×n是D-Z矩陣,且mii>0,則

定理2[7]設(shè)M=(mij)∈Cn×n是D-Z矩陣,且mii>0,則

3 D-Z矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界的新估計(jì)

設(shè)是D-Z矩陣，則根據(jù)引理1和引理3知，為P-矩陣，即它的線性互補(bǔ)問題的解存在且唯一，從而可應(yīng)用引理2中的結(jié)果對(duì)解的誤差界進(jìn)行估計(jì)，即給出的上界.

定理3 設(shè)M=(mij)∈Cn×n是D-Z矩陣,且mii>0,令B=I-D+DM=(bij),其中I是n階單位矩陣,D=diag(di), 0≤di≤1,i=1,2,…,n,則有

其中

證明因?yàn)?/p>

由引理6知矩陣B為D-Z矩陣,從而根據(jù)B的定義和引理4,對(duì)?i∈N有

ri(B)=diri(M)≤ri(M)

(1)

(2)

(3)

結(jié)合式(1)-(3),以及引理4和引理5得

令

即μ(B)≤ξi,j(M).

有

4 數(shù)值算例

應(yīng)用定理2獲得的估計(jì)式計(jì)算得

應(yīng)用本文給出的定理3計(jì)算得

顯然文中給出的新誤差界比文[7]和[8]中的更小,說(shuō)明定理3改進(jìn)了D-Z矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界的已有結(jié)果,用該估計(jì)式進(jìn)行計(jì)算更有效.