林輝慶

(杭州市余杭高級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311100)

1 關(guān)于機(jī)械能守恒定律是否協(xié)變的疑問(wèn)

機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理，是大學(xué)物理教學(xué)與中學(xué)物理教學(xué)反復(fù)討論的問(wèn)題，近來(lái)，又有幾種中學(xué)物理教學(xué)雜志發(fā)表了對(duì)這個(gè)問(wèn)題的討論文章．[1-3]這些文章基本上都圍繞如下三個(gè)具體的例子進(jìn)行討論．

例1．如圖1，小車在水平地面上勻速運(yùn)動(dòng)，小球在彈簧彈力作用下在車內(nèi)的光滑水平桌面上運(yùn)動(dòng)．以小車為慣性系，小球和彈簧的機(jī)械能守恒；以地面為慣性系，小球和彈簧的機(jī)械能不守恒．

例2．如圖2，小球在勻速向下運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)中靜止開始下落．以升降機(jī)和地面為慣性系，小球的機(jī)械能都守恒．

圖1 小球的彈簧作用下運(yùn)動(dòng)

例3．如圖3，小車沿水平地面勻速運(yùn)動(dòng)，物塊在車內(nèi)的光滑斜面頂端靜止開始下滑．以小車為慣性系，物塊的機(jī)械能守恒，以地面為慣性系，物塊的機(jī)械能不守恒．

圖3 滑塊沿斜面下滑

例1和例3中，研究對(duì)象對(duì)一個(gè)慣性系機(jī)械能守恒，對(duì)另一個(gè)慣性系機(jī)械能不守恒；而例2中，研究對(duì)象對(duì)兩個(gè)不同的慣性系機(jī)械能都守恒．于是，人們提出了機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理的問(wèn)題．不同的文章對(duì)此作出了不同的回答．[1-2]

綜觀這些文章，有些只局限于對(duì)如上之類具體例子的分析或推算，從而迷失于具體現(xiàn)象中的非本質(zhì)因素而不能得出正確的結(jié)論，如文獻(xiàn)[3]，或者所得結(jié)論不具有普遍性，如文獻(xiàn)[1]；有些文章只從理論上論證了機(jī)械能守恒定律符合力學(xué)相對(duì)性原理，而沒(méi)有對(duì)如上之類具體例子作出合理的解釋，如文獻(xiàn)[4]．因此，這些文章都沒(méi)有徹底地令人信服地解決機(jī)械能守恒定律是否滿足力學(xué)相對(duì)性原理這一問(wèn)題．下面先從理論上論證機(jī)械能守恒定律對(duì)不同慣性系是協(xié)變的，然后研究將它應(yīng)用于包含大質(zhì)量物體的保守系的特殊性，在此基礎(chǔ)上對(duì)上述3個(gè)具體例子作出解釋．

2 機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理

機(jī)械能守恒定律是物體系功能原理的特例，功能原理是牛頓運(yùn)動(dòng)定律的推論．牛頓運(yùn)動(dòng)定律服從力學(xué)相對(duì)性原理，作為其推論，功能原理和機(jī)械能守恒定律自然滿足力學(xué)相對(duì)性原理．不過(guò)，為了解答由具體問(wèn)題產(chǎn)生的疑問(wèn)，我們有必要簡(jiǎn)要回顧從牛頓運(yùn)動(dòng)定律推出機(jī)械能守恒定律的過(guò)程，以強(qiáng)調(diào)容易引起誤解的概念．

2.1 動(dòng)能定理及其協(xié)變性

動(dòng)能變化

dW′ =dEk′．

一般地有Ek′≠Ek，dW′ ≠dW，表示動(dòng)能和功與參考系有關(guān)，具有相對(duì)性．dW′ =dEk′表示動(dòng)能定理在參考系S′ 中同樣成立，即動(dòng)能定理對(duì)不同的慣性系是協(xié)變的．

2.2 勢(shì)能及其共有性和不變性

2.2.1 一對(duì)相互作用力作功與參考系無(wú)關(guān)

圖4 兩個(gè)相互作用的物體

如圖4所示，物體1、2間存在相互作用力F、F′，F(xiàn)=-F′．在dt時(shí)間兩物體的位移分別為dr1、dr2，F(xiàn)、F′對(duì)它們作的功分別為dW1=F·dr1和dW2=F′·dr2=-F·dr2．F、F′作的總功為

dW=F·dr1-F·dr2=F·d(r1-r2)=F·dr12．

式中dr12是物體1相對(duì)物體2的位移，與參考系無(wú)關(guān)．所以一對(duì)相互作用力作的總功與參考系無(wú)關(guān)．

2.2.2 勢(shì)能的共有性和不變性

勢(shì)能與保守力相聯(lián)系．保守力定義為具有如下特點(diǎn)的力：作功只與物體的始、末位置有關(guān)而與移動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，或者對(duì)沿任何路徑回到出發(fā)點(diǎn)的物體作功為0．

各種中學(xué)物理教科書[5]和常見的大學(xué)物理教材，[6]都從力作用的相互性直接指出勢(shì)能是相互作用的物體系統(tǒng)所共有的，而不是某一個(gè)物體單獨(dú)具有的．下面再?gòu)谋Ｊ亓Φ亩x出發(fā)嚴(yán)格地證明這一點(diǎn)，以更深刻地理解勢(shì)能的這一本質(zhì)特征．

在保守力的定義中，“物體的始、末位置”和“沿任何路徑回到出發(fā)點(diǎn)”，都是對(duì)于某個(gè)參考系而言的．在圖4的參考系S中，相互作用的物體1和2均有速度．設(shè)想物體1離開原來(lái)的位置移到另一點(diǎn)，然后沿原路返回，由于物體2的運(yùn)動(dòng)，物體1前后兩次經(jīng)過(guò)路徑上的同一點(diǎn)，受到的力F一般并不相同，因此返回階段與離開階段F作的功并非相反數(shù)，整個(gè)過(guò)程F作功不等于0．對(duì)物體2也有相同的結(jié)論．也許有人會(huì)提出一個(gè)反例：當(dāng)作用力的大小和方向與物體間的距離無(wú)關(guān)時(shí)，每個(gè)物體在任一參考系中沿任何路徑回到出發(fā)點(diǎn)，作用力作功均為零．但這種情況并非真實(shí)存在．我們認(rèn)為物體在地球附近各處受到的重力大小和方向都相同，這是在物體的運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)小于它到地心的距離這一條件下的近似．因此，在相互作用的兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)的參考系中，對(duì)任一單個(gè)物體，都不存在保守力與勢(shì)能的概念．

只有以相互作用的兩個(gè)物體中的一個(gè)為參考系，另一個(gè)物體的受力只與位置有關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān)，作用力作功才可能只與始末位置有關(guān)與路徑無(wú)關(guān)．如果某種相互作用具有這樣的性質(zhì)，由于一對(duì)相互作用力作功之和與參考系無(wú)關(guān)，那么，在任何其他參考系中，這對(duì)相互作用力作功之和都只與物體間的始末相對(duì)位置有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)關(guān)．對(duì)這樣的物體系統(tǒng)，才有保守力和勢(shì)能概念，所以勢(shì)能是相互作用的物體系統(tǒng)所共有的．

物體系的勢(shì)能變化與一對(duì)相互作用的保守力作功的關(guān)系是

F·dr12= -dEp或F′·dr12=-dEp．

物體系的勢(shì)能變化與參考系無(wú)關(guān)，這就是勢(shì)能的不變性．

2.3 機(jī)械能守恒定律及其協(xié)變性

物體系中所有物體的動(dòng)能和物體間的勢(shì)能之和，叫作物體系的機(jī)械能．

2.3.1 機(jī)械能守恒定律及其研究對(duì)象

為了表述方便，下面以圖4中的物體1、2組成的物體系為例研究機(jī)械能的變化規(guī)律，其結(jié)論很容易推廣到更多物體組成的物體系．

物體系中各物體受到的外力及其作的功用下標(biāo)“外”標(biāo)記；保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力及其作的功分別用下標(biāo)“內(nèi)?！焙汀皟?nèi)非”標(biāo)記．在慣性系S中，對(duì)物體1和2分別列出動(dòng)能定理

F1外·dr1+F內(nèi)非·dr1+F內(nèi)?！r1=dEk1，

F2外·dr2-F內(nèi)非·dr2-F內(nèi)保·dr2=dEk2．

將兩式兩邊分別相加，注意到F1外·dr1+F2外·dr2=dW外，F(xiàn)內(nèi)非·dr12=dW內(nèi)非，F(xiàn)內(nèi)?！r12=-dEp，Ek1+Ek2=Ek，得到

dW外+dW內(nèi)非=dEk+dEp=d(Ek+Ep)．

這就是對(duì)于物體系的功能原理．

dW內(nèi)非=0的物體系稱為保守系．如果還有dW外=0，就有

d(Ek+Ep)=0 或Ek+Ep=常量．

這就得到了機(jī)械能守恒定律：如果外力對(duì)保守系作的功等于零，則保守系的機(jī)械能保持不變．

需要強(qiáng)調(diào)，機(jī)械能中的勢(shì)能是相互作用的物體系所共有的，因此，機(jī)械能守恒定律的研究對(duì)象是相互之間存在保守力作用的物體系．

2.3.2 機(jī)械能守恒的相對(duì)性

在相對(duì)于慣性系S以速度v0運(yùn)動(dòng)的慣性系S′中，外力對(duì)物體系作的功為

可見在一般情況下，外力對(duì)物體系作的功與慣性系的選擇有關(guān)，在某個(gè)慣性系中外力作功等于零，物體系的機(jī)械能守恒，在另一個(gè)慣性系中外力作功不等于零，機(jī)械能就不守恒．所以，物體系的機(jī)械能是否守恒具有相對(duì)性．除非在一些特殊的情況下，例如物體系不受外力作用或外力的矢量和等于零，有dW外′=dW外，這時(shí)，物體系在一個(gè)慣性系中機(jī)械能守恒(不守恒)，那么在其他慣性系中機(jī)械能也守恒(不守恒)．本文開頭的三個(gè)例子都屬于這種情況．

2.3.3 機(jī)械能守恒定律的協(xié)變性

對(duì)不同的慣性系，動(dòng)能定理具有協(xié)變性，一對(duì)保守力作功和勢(shì)能的變化具有不變性，因此，由它們推出的機(jī)械能守恒定律，對(duì)不同的慣性系一定是協(xié)變的．也即機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理．這與機(jī)械能守恒的相對(duì)性并不矛盾．保守系在一個(gè)慣性系中外力作功等于零，機(jī)械能守恒，在另一個(gè)慣性系中外力作功不等于零，機(jī)械能不守恒，這屬于物理現(xiàn)象的不同，但它們都滿足機(jī)械能守恒定律．如果在另一個(gè)慣性系中外力作功不等于零而機(jī)械能守恒，那才是違反了機(jī)械能守恒定律．這正如在勻速運(yùn)動(dòng)的船的桅桿頂端靜止釋放小球，以船為參考系，觀察到小球豎直下落，以岸為參考系，觀察到小球作平拋運(yùn)動(dòng)；盡管在這兩個(gè)參考系中觀察到小球的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象不同，但它們都遵循牛頓第二定律．[2]

3 包含大質(zhì)量物體的保守系機(jī)械能轉(zhuǎn)化的特殊性

在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到這樣的情況：相互之間存在保守力作用的物體中有一個(gè)物體的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他物體的質(zhì)量．例如，物體在地面附近運(yùn)動(dòng)，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)．本文開頭的三個(gè)例子都屬于這種情況．

3.1 以大質(zhì)量物體為慣性系

慣性力對(duì)物體1作的功

物體1和2組成的系統(tǒng)機(jī)械能的變化

dEk1+dEk2+dEp=dW慣．

dEk1+dEp=0 或Ek1+Ep=常量．

這樣我們得到兩個(gè)結(jié)論：第一，物體2的質(zhì)量趨向無(wú)窮大時(shí)，它趨向于一個(gè)慣性系(下面將這一極限過(guò)程直接說(shuō)成某物體的質(zhì)量為無(wú)窮大)；第二，在這個(gè)慣性系中，物體1的動(dòng)能與系統(tǒng)的勢(shì)能發(fā)生轉(zhuǎn)化而守恒．

第二個(gè)結(jié)論容易使人誤以為勢(shì)能Ep是物體1所獨(dú)有的．須知，這個(gè)結(jié)論成立的前提是以質(zhì)量無(wú)窮大的物體2為參考系，勢(shì)能是與這個(gè)參考系“綁定”的，因此Ek1+Ep仍然是物體1和作為參考系的物體2所共有的．重力勢(shì)能是物體與地球共有的，高中物理常說(shuō)某個(gè)物體具有多少重力勢(shì)能[5]，這只是一種簡(jiǎn)略的說(shuō)法．大學(xué)物理中的質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的勢(shì)能[6]，是質(zhì)點(diǎn)與力場(chǎng)中心處質(zhì)量無(wú)窮大的物體所共有的．

3.2 以其他物體為慣性系

在其他慣性系中觀察，物體1、2都在運(yùn)動(dòng)，物體2受F′作用產(chǎn)生的加速度極小，我們不能直接用Ek2的表達(dá)式計(jì)算它的變化，但我們?nèi)钥梢詮牧ψ鞴Φ慕嵌妊芯縀k2與Ek1和Ep之間的轉(zhuǎn)化．

Ek1、Ek2和Ep與相應(yīng)作用力作功的關(guān)系分別為dEk1=F·dr1、dEk2=-F·dr2和dEp= -F·dr12．各式兩邊都除以時(shí)間dt，得到

4 疑問(wèn)解答

回過(guò)頭來(lái)看本文開頭的三個(gè)例子，容易發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理的疑問(wèn)，有如下三方面的原因．其一，沒(méi)有以存在保守力作用的物體系為研究對(duì)象；其二，混淆了機(jī)械能守恒與機(jī)械能守恒定律；其三，不清楚包含大質(zhì)量物體的保守系的特殊性．

例2中，相對(duì)于小球，地球的質(zhì)量為無(wú)窮大．討論機(jī)械能是否守恒，研究對(duì)象必須是小球和地球組成的系統(tǒng)．這個(gè)系統(tǒng)不受外力作用(這里設(shè)想升降機(jī)與地球之間沒(méi)有相互作用)，不管是以地球還是升降機(jī)為參考系，機(jī)械能都守恒．在地球參考系中，Ek2≡0，系統(tǒng)機(jī)械能守恒的表達(dá)式為Ek1+Ep=常數(shù)．

在升降機(jī)參考系中，機(jī)械能守恒的表達(dá)式為Ek1+Ek2+Ep=常數(shù)，或者dEk1+dEk2+dEp=0．小球和地球的動(dòng)能變化分別為

dEk1=mg·dr1和dEk2=mg′·dr2．

其中mg′=-mg是小球?qū)Φ厍虻淖饔昧Γ到y(tǒng)重力勢(shì)能的變化

dEp= -mg·dr12= -mg·dr1-mg′·dr2=dEp1+dEp2．

其中dEp1= -mg·dr1和dEp2= -mg′·dr2分別是小球和地球的運(yùn)動(dòng)引起的系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化．從而有

dEk1+dEp1=0 和 dEk2+dEp2=0．

這兩個(gè)式子的意義是，在升降機(jī)參考系中，“小球的機(jī)械能”與“地球的機(jī)械能”分別守恒．之所以在小球的機(jī)械能和地球的機(jī)械能上加引號(hào)，是因?yàn)镋p1和Ep2并不是小球和地球獨(dú)有的勢(shì)能，而只是小球與地球共有勢(shì)能的一部分．所以，在例2中人們認(rèn)為在升降機(jī)參考系中“小球的機(jī)械能”守恒，那只是形式上的守恒．當(dāng)然在解決問(wèn)題時(shí)，可以在一種等效的意義上來(lái)使用．

容易看出，上述推導(dǎo)的條件是兩物體之間相互作用力的大小和方向與物體間的距離無(wú)關(guān)．例1中彈簧的彈力與小球和小車的距離有關(guān)，就無(wú)法得到“小球與彈簧的機(jī)械能”守恒的結(jié)論．這與前面關(guān)于勢(shì)能共有性的討論是一致．