林輝慶
(杭州市余杭高級(jí)中學(xué),浙江 杭州 311100)
機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理,是大學(xué)物理教學(xué)與中學(xué)物理教學(xué)反復(fù)討論的問(wèn)題,近來(lái),又有幾種中學(xué)物理教學(xué)雜志發(fā)表了對(duì)這個(gè)問(wèn)題的討論文章.[1-3]這些文章基本上都圍繞如下三個(gè)具體的例子進(jìn)行討論.
例1.如圖1,小車在水平地面上勻速運(yùn)動(dòng),小球在彈簧彈力作用下在車內(nèi)的光滑水平桌面上運(yùn)動(dòng).以小車為慣性系,小球和彈簧的機(jī)械能守恒;以地面為慣性系,小球和彈簧的機(jī)械能不守恒.
例2.如圖2,小球在勻速向下運(yùn)動(dòng)的升降機(jī)中靜止開始下落.以升降機(jī)和地面為慣性系,小球的機(jī)械能都守恒.
圖1 小球的彈簧作用下運(yùn)動(dòng)
例3.如圖3,小車沿水平地面勻速運(yùn)動(dòng),物塊在車內(nèi)的光滑斜面頂端靜止開始下滑.以小車為慣性系,物塊的機(jī)械能守恒,以地面為慣性系,物塊的機(jī)械能不守恒.
圖3 滑塊沿斜面下滑
例1和例3中,研究對(duì)象對(duì)一個(gè)慣性系機(jī)械能守恒,對(duì)另一個(gè)慣性系機(jī)械能不守恒;而例2中,研究對(duì)象對(duì)兩個(gè)不同的慣性系機(jī)械能都守恒.于是,人們提出了機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理的問(wèn)題.不同的文章對(duì)此作出了不同的回答.[1-2]
綜觀這些文章,有些只局限于對(duì)如上之類具體例子的分析或推算,從而迷失于具體現(xiàn)象中的非本質(zhì)因素而不能得出正確的結(jié)論,如文獻(xiàn)[3],或者所得結(jié)論不具有普遍性,如文獻(xiàn)[1];有些文章只從理論上論證了機(jī)械能守恒定律符合力學(xué)相對(duì)性原理,而沒(méi)有對(duì)如上之類具體例子作出合理的解釋,如文獻(xiàn)[4].因此,這些文章都沒(méi)有徹底地令人信服地解決機(jī)械能守恒定律是否滿足力學(xué)相對(duì)性原理這一問(wèn)題.下面先從理論上論證機(jī)械能守恒定律對(duì)不同慣性系是協(xié)變的,然后研究將它應(yīng)用于包含大質(zhì)量物體的保守系的特殊性,在此基礎(chǔ)上對(duì)上述3個(gè)具體例子作出解釋.
機(jī)械能守恒定律是物體系功能原理的特例,功能原理是牛頓運(yùn)動(dòng)定律的推論.牛頓運(yùn)動(dòng)定律服從力學(xué)相對(duì)性原理,作為其推論,功能原理和機(jī)械能守恒定律自然滿足力學(xué)相對(duì)性原理.不過(guò),為了解答由具體問(wèn)題產(chǎn)生的疑問(wèn),我們有必要簡(jiǎn)要回顧從牛頓運(yùn)動(dòng)定律推出機(jī)械能守恒定律的過(guò)程,以強(qiáng)調(diào)容易引起誤解的概念.
動(dòng)能變化
dW′ =dEk′.
一般地有Ek′≠Ek,dW′ ≠dW,表示動(dòng)能和功與參考系有關(guān),具有相對(duì)性.dW′ =dEk′表示動(dòng)能定理在參考系S′ 中同樣成立,即動(dòng)能定理對(duì)不同的慣性系是協(xié)變的.
2.2.1 一對(duì)相互作用力作功與參考系無(wú)關(guān)
圖4 兩個(gè)相互作用的物體
如圖4所示,物體1、2間存在相互作用力F、F′,F(xiàn)=-F′.在dt時(shí)間兩物體的位移分別為dr1、dr2,F(xiàn)、F′對(duì)它們作的功分別為dW1=F·dr1和dW2=F′·dr2=-F·dr2.F、F′作的總功為
dW=F·dr1-F·dr2=F·d(r1-r2)=F·dr12.
式中dr12是物體1相對(duì)物體2的位移,與參考系無(wú)關(guān).所以一對(duì)相互作用力作的總功與參考系無(wú)關(guān).
2.2.2 勢(shì)能的共有性和不變性
勢(shì)能與保守力相聯(lián)系.保守力定義為具有如下特點(diǎn)的力:作功只與物體的始、末位置有關(guān)而與移動(dòng)路徑無(wú)關(guān),或者對(duì)沿任何路徑回到出發(fā)點(diǎn)的物體作功為0.
各種中學(xué)物理教科書[5]和常見的大學(xué)物理教材,[6]都從力作用的相互性直接指出勢(shì)能是相互作用的物體系統(tǒng)所共有的,而不是某一個(gè)物體單獨(dú)具有的.下面再?gòu)谋J亓Φ亩x出發(fā)嚴(yán)格地證明這一點(diǎn),以更深刻地理解勢(shì)能的這一本質(zhì)特征.
在保守力的定義中,“物體的始、末位置”和“沿任何路徑回到出發(fā)點(diǎn)”,都是對(duì)于某個(gè)參考系而言的.在圖4的參考系S中,相互作用的物體1和2均有速度.設(shè)想物體1離開原來(lái)的位置移到另一點(diǎn),然后沿原路返回,由于物體2的運(yùn)動(dòng),物體1前后兩次經(jīng)過(guò)路徑上的同一點(diǎn),受到的力F一般并不相同,因此返回階段與離開階段F作的功并非相反數(shù),整個(gè)過(guò)程F作功不等于0.對(duì)物體2也有相同的結(jié)論.也許有人會(huì)提出一個(gè)反例:當(dāng)作用力的大小和方向與物體間的距離無(wú)關(guān)時(shí),每個(gè)物體在任一參考系中沿任何路徑回到出發(fā)點(diǎn),作用力作功均為零.但這種情況并非真實(shí)存在.我們認(rèn)為物體在地球附近各處受到的重力大小和方向都相同,這是在物體的運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)小于它到地心的距離這一條件下的近似.因此,在相互作用的兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)的參考系中,對(duì)任一單個(gè)物體,都不存在保守力與勢(shì)能的概念.
只有以相互作用的兩個(gè)物體中的一個(gè)為參考系,另一個(gè)物體的受力只與位置有關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān),作用力作功才可能只與始末位置有關(guān)與路徑無(wú)關(guān).如果某種相互作用具有這樣的性質(zhì),由于一對(duì)相互作用力作功之和與參考系無(wú)關(guān),那么,在任何其他參考系中,這對(duì)相互作用力作功之和都只與物體間的始末相對(duì)位置有關(guān),與運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)關(guān).對(duì)這樣的物體系統(tǒng),才有保守力和勢(shì)能概念,所以勢(shì)能是相互作用的物體系統(tǒng)所共有的.
物體系的勢(shì)能變化與一對(duì)相互作用的保守力作功的關(guān)系是
F·dr12= -dEp或F′·dr12=-dEp.
物體系的勢(shì)能變化與參考系無(wú)關(guān),這就是勢(shì)能的不變性.
物體系中所有物體的動(dòng)能和物體間的勢(shì)能之和,叫作物體系的機(jī)械能.
2.3.1 機(jī)械能守恒定律及其研究對(duì)象
為了表述方便,下面以圖4中的物體1、2組成的物體系為例研究機(jī)械能的變化規(guī)律,其結(jié)論很容易推廣到更多物體組成的物體系.
物體系中各物體受到的外力及其作的功用下標(biāo)“外”標(biāo)記;保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力及其作的功分別用下標(biāo)“內(nèi)?!焙汀皟?nèi)非”標(biāo)記.在慣性系S中,對(duì)物體1和2分別列出動(dòng)能定理
F1外·dr1+F內(nèi)非·dr1+F內(nèi)?!r1=dEk1,
F2外·dr2-F內(nèi)非·dr2-F內(nèi)保·dr2=dEk2.
將兩式兩邊分別相加,注意到F1外·dr1+F2外·dr2=dW外,F(xiàn)內(nèi)非·dr12=dW內(nèi)非,F(xiàn)內(nèi)?!r12=-dEp,Ek1+Ek2=Ek,得到
dW外+dW內(nèi)非=dEk+dEp=d(Ek+Ep).
這就是對(duì)于物體系的功能原理.
dW內(nèi)非=0的物體系稱為保守系.如果還有dW外=0,就有
d(Ek+Ep)=0 或Ek+Ep=常量.
這就得到了機(jī)械能守恒定律:如果外力對(duì)保守系作的功等于零,則保守系的機(jī)械能保持不變.
需要強(qiáng)調(diào),機(jī)械能中的勢(shì)能是相互作用的物體系所共有的,因此,機(jī)械能守恒定律的研究對(duì)象是相互之間存在保守力作用的物體系.
2.3.2 機(jī)械能守恒的相對(duì)性
在相對(duì)于慣性系S以速度v0運(yùn)動(dòng)的慣性系S′中,外力對(duì)物體系作的功為
可見在一般情況下,外力對(duì)物體系作的功與慣性系的選擇有關(guān),在某個(gè)慣性系中外力作功等于零,物體系的機(jī)械能守恒,在另一個(gè)慣性系中外力作功不等于零,機(jī)械能就不守恒.所以,物體系的機(jī)械能是否守恒具有相對(duì)性.除非在一些特殊的情況下,例如物體系不受外力作用或外力的矢量和等于零,有dW外′=dW外,這時(shí),物體系在一個(gè)慣性系中機(jī)械能守恒(不守恒),那么在其他慣性系中機(jī)械能也守恒(不守恒).本文開頭的三個(gè)例子都屬于這種情況.
2.3.3 機(jī)械能守恒定律的協(xié)變性
對(duì)不同的慣性系,動(dòng)能定理具有協(xié)變性,一對(duì)保守力作功和勢(shì)能的變化具有不變性,因此,由它們推出的機(jī)械能守恒定律,對(duì)不同的慣性系一定是協(xié)變的.也即機(jī)械能守恒定律服從力學(xué)相對(duì)性原理.這與機(jī)械能守恒的相對(duì)性并不矛盾.保守系在一個(gè)慣性系中外力作功等于零,機(jī)械能守恒,在另一個(gè)慣性系中外力作功不等于零,機(jī)械能不守恒,這屬于物理現(xiàn)象的不同,但它們都滿足機(jī)械能守恒定律.如果在另一個(gè)慣性系中外力作功不等于零而機(jī)械能守恒,那才是違反了機(jī)械能守恒定律.這正如在勻速運(yùn)動(dòng)的船的桅桿頂端靜止釋放小球,以船為參考系,觀察到小球豎直下落,以岸為參考系,觀察到小球作平拋運(yùn)動(dòng);盡管在這兩個(gè)參考系中觀察到小球的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象不同,但它們都遵循牛頓第二定律.[2]
在實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常遇到這樣的情況:相互之間存在保守力作用的物體中有一個(gè)物體的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他物體的質(zhì)量.例如,物體在地面附近運(yùn)動(dòng),行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng).本文開頭的三個(gè)例子都屬于這種情況.
慣性力對(duì)物體1作的功
物體1和2組成的系統(tǒng)機(jī)械能的變化
dEk1+dEk2+dEp=dW慣.
dEk1+dEp=0 或Ek1+Ep=常量.
這樣我們得到兩個(gè)結(jié)論:第一,物體2的質(zhì)量趨向無(wú)窮大時(shí),它趨向于一個(gè)慣性系(下面將這一極限過(guò)程直接說(shuō)成某物體的質(zhì)量為無(wú)窮大);第二,在這個(gè)慣性系中,物體1的動(dòng)能與系統(tǒng)的勢(shì)能發(fā)生轉(zhuǎn)化而守恒.
第二個(gè)結(jié)論容易使人誤以為勢(shì)能Ep是物體1所獨(dú)有的.須知,這個(gè)結(jié)論成立的前提是以質(zhì)量無(wú)窮大的物體2為參考系,勢(shì)能是與這個(gè)參考系“綁定”的,因此Ek1+Ep仍然是物體1和作為參考系的物體2所共有的.重力勢(shì)能是物體與地球共有的,高中物理常說(shuō)某個(gè)物體具有多少重力勢(shì)能[5],這只是一種簡(jiǎn)略的說(shuō)法.大學(xué)物理中的質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的勢(shì)能[6],是質(zhì)點(diǎn)與力場(chǎng)中心處質(zhì)量無(wú)窮大的物體所共有的.
在其他慣性系中觀察,物體1、2都在運(yùn)動(dòng),物體2受F′作用產(chǎn)生的加速度極小,我們不能直接用Ek2的表達(dá)式計(jì)算它的變化,但我們?nèi)钥梢詮牧ψ鞴Φ慕嵌妊芯縀k2與Ek1和Ep之間的轉(zhuǎn)化.
Ek1、Ek2和Ep與相應(yīng)作用力作功的關(guān)系分別為dEk1=F·dr1、dEk2=-F·dr2和dEp= -F·dr12.各式兩邊都除以時(shí)間dt,得到
回過(guò)頭來(lái)看本文開頭的三個(gè)例子,容易發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生機(jī)械能守恒定律是否服從力學(xué)相對(duì)性原理的疑問(wèn),有如下三方面的原因.其一,沒(méi)有以存在保守力作用的物體系為研究對(duì)象;其二,混淆了機(jī)械能守恒與機(jī)械能守恒定律;其三,不清楚包含大質(zhì)量物體的保守系的特殊性.
例2中,相對(duì)于小球,地球的質(zhì)量為無(wú)窮大.討論機(jī)械能是否守恒,研究對(duì)象必須是小球和地球組成的系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)不受外力作用(這里設(shè)想升降機(jī)與地球之間沒(méi)有相互作用),不管是以地球還是升降機(jī)為參考系,機(jī)械能都守恒.在地球參考系中,Ek2≡0,系統(tǒng)機(jī)械能守恒的表達(dá)式為Ek1+Ep=常數(shù).
在升降機(jī)參考系中,機(jī)械能守恒的表達(dá)式為Ek1+Ek2+Ep=常數(shù),或者dEk1+dEk2+dEp=0.小球和地球的動(dòng)能變化分別為
dEk1=mg·dr1和dEk2=mg′·dr2.
其中mg′=-mg是小球?qū)Φ厍虻淖饔昧Γ到y(tǒng)重力勢(shì)能的變化
dEp= -mg·dr12= -mg·dr1-mg′·dr2=dEp1+dEp2.
其中dEp1= -mg·dr1和dEp2= -mg′·dr2分別是小球和地球的運(yùn)動(dòng)引起的系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化.從而有
dEk1+dEp1=0 和 dEk2+dEp2=0.
這兩個(gè)式子的意義是,在升降機(jī)參考系中,“小球的機(jī)械能”與“地球的機(jī)械能”分別守恒.之所以在小球的機(jī)械能和地球的機(jī)械能上加引號(hào),是因?yàn)镋p1和Ep2并不是小球和地球獨(dú)有的勢(shì)能,而只是小球與地球共有勢(shì)能的一部分.所以,在例2中人們認(rèn)為在升降機(jī)參考系中“小球的機(jī)械能”守恒,那只是形式上的守恒.當(dāng)然在解決問(wèn)題時(shí),可以在一種等效的意義上來(lái)使用.
容易看出,上述推導(dǎo)的條件是兩物體之間相互作用力的大小和方向與物體間的距離無(wú)關(guān).例1中彈簧的彈力與小球和小車的距離有關(guān),就無(wú)法得到“小球與彈簧的機(jī)械能”守恒的結(jié)論.這與前面關(guān)于勢(shì)能共有性的討論是一致.