郭 威

(南平第九中學(xué)，福建 南平 353001)

圖1

圖2

1 提出問(wèn)題

該文中開(kāi)頭闡述的“高中物理教學(xué)中常見(jiàn)這樣一類勻強(qiáng)電場(chǎng)的典型問(wèn)題：假設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與某平面共面，已知該平面上某幾點(diǎn)的電勢(shì)數(shù)值，要求解場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向”是一個(gè)普通性的問(wèn)題，而所舉的實(shí)例“2017年全國(guó)高考課標(biāo)Ⅲ卷的第21題”的兩個(gè)分場(chǎng)強(qiáng)是相互垂直的，如果這兩個(gè)分場(chǎng)強(qiáng)不垂直，這種簡(jiǎn)捷求解一類勻強(qiáng)電場(chǎng)典型問(wèn)題的解析式還成立嗎？

2 研討論證

圖3

針對(duì)這類勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，我們把2017年全國(guó)高考課標(biāo)Ⅲ卷的第21題進(jìn)行情景改編：一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c3點(diǎn)的電勢(shì)分別為10 V、17 V、26 V，ac=8 cm，bc=6 cm，ac與bc的夾角為120°，如圖3所示，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

先分別求出ca和cb方向的電場(chǎng)分量

2.1 正交分解法

如圖4建立直角坐標(biāo)系，

圖4

2.2 矢量合成法

如圖5用平行四邊形法則進(jìn)行矢量運(yùn)算，

2.3 等電勢(shì)法(電勢(shì)等分法)

圖6

把最高電勢(shì)點(diǎn)c和最低電勢(shì)點(diǎn)a連線等分，如圖6，由比例關(guān)系可知在ac線上與17 V電勢(shì)相等的p點(diǎn)位于距離c點(diǎn)4.5 cm處，連結(jié)pb，pb即為17 V的等勢(shì)線，過(guò)c作pb的垂線，垂足為d，即cd方向?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)方向.根據(jù)三角形面積可知

(1)

(2)

(3)

由(1)～(3)得E≈3.51 V/cm.

由上述3種方法求解該電場(chǎng)強(qiáng)度大小可以看出，第一和第二方法結(jié)果相同，那是由于第一種與第二種方法其實(shí)就是一個(gè)原理，所以結(jié)果是相同，而第三方法就是《簡(jiǎn)捷求解一類勻強(qiáng)電場(chǎng)典型問(wèn)題的解析式》一文中提到的“等電勢(shì)法”，從數(shù)學(xué)上看是一種幾何法，本題改編后沒(méi)有特意修改相應(yīng)數(shù)據(jù)，步驟的確比較繁瑣，等電勢(shì)點(diǎn)的尋找和幾何計(jì)算的確很費(fèi)事，求解過(guò)程中的難度也的確相當(dāng)大，但第三種方法的運(yùn)算過(guò)程雖繁但結(jié)果卻是本題的最終答案.綜上分析可知，《簡(jiǎn)捷求解一類勻強(qiáng)電場(chǎng)典型問(wèn)題的解析式》一文遇到兩分場(chǎng)強(qiáng)不相互垂直時(shí)是不適用的，其解法只是一種特例，即兩場(chǎng)強(qiáng)分矢量相互垂直時(shí)恰好可行.

3 擴(kuò)展延伸

圖7

從上面第三種解法求解這一類勻強(qiáng)電場(chǎng)典型問(wèn)題，即假設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與某平面共面，已知該平面上某幾點(diǎn)的電勢(shì)數(shù)值，要求解場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向，在兩場(chǎng)強(qiáng)分矢量相互不垂直的情況下，這兩分矢量場(chǎng)強(qiáng)是合場(chǎng)強(qiáng)的分量嗎？毋庸置疑，只不過(guò)這兩個(gè)分矢量是合場(chǎng)強(qiáng)兩組正交分解中兩分矢量中其中的一個(gè)分量，直接用這兩個(gè)分矢量進(jìn)行合成與分解，明顯張冠李戴.根據(jù)電磁學(xué)中靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度之間的關(guān)系，[2]即電勢(shì)φ的負(fù)梯度等于電場(chǎng)強(qiáng)度E，將E沿勻強(qiáng)電場(chǎng)所在平面的兩個(gè)直角坐標(biāo)軸正交分解出兩組分矢量，[3]如圖7中Eca和Ecb分別為兩組分矢量中其中的一個(gè)分矢量.為此，我們就可以用下面的方法來(lái)找出合場(chǎng)強(qiáng)的大小與方向.

圖8

如圖8，過(guò)Eca的矢量末端A作Eca的垂線，過(guò)Ecb的矢量末端B作Ecb的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為O，cO方向?yàn)楹蠄?chǎng)強(qiáng)的方向，根據(jù)幾何知識(shí)可知AOBc4點(diǎn)共圓，

(1)

(2)

根據(jù)余弦定理

(3)

根據(jù)正弦定理

(4)

(5)

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知

∠cOB=∠cAB,

(6)

由(1)～(6)式得

這個(gè)結(jié)果與“等電勢(shì)法”結(jié)果完全一致.

4 小結(jié)