潘志民 于云卿 李 尤

(南京外國語學校,江蘇 南京 210008)

1 牛頓擺現(xiàn)象

牛頓擺(Newton’s Cradles)是一種十分經典的裝置,通常被用做科學玩具或物理教具以演示動量和能量守恒．牛頓擺的裝置結構包括一個吊架及數(shù)個金屬球,金屬球被細線吊起并緊密地排成一行．如圖1所示,將最左側的小球提升至一高度(保持懸線拉直)并釋放,可以觀察到小球撞擊右側球鏈時發(fā)出聲音,最右側的小球飛出,中間的其余小球有微小振動,球鏈些許散開．右側小球隨后返回,最左側小球再次被擊飛,如此往復,直到振動停止．

圖1 牛頓擺振動過程

實際實驗中,我們還發(fā)現(xiàn)牛頓擺在振動一段時間后彈起角度會越來越小,速度也會逐漸變小,最后會漸漸停下,所有球一起共速做小幅的類單擺運動．這表明理想情況下的彈性碰撞模型并不能準確地表述牛頓擺的運動,我們需要建立更為合理的模型并修正原有的運動解釋．

2 理論分析

2.1 牛頓擺模型

圖2 5球牛頓擺裝置

牛頓擺模型由若干分別用等長細線(重力可忽略)懸掛的一列多個完全相同的小球組成,圖2所示為5球牛頓擺裝置．將左端的小球提起至一定高度釋放,小球將下落并撞擊其右側靜止的小球,觀察到的現(xiàn)象是左端小球在碰撞后近乎靜止,而最右端的小球在碰撞后飛出,中間的小球幾乎始終保持不動,如圖3所示,隨后右側小球上升到低一些的高度后重新落下撞擊其余小球,如此往復,直到最終所有小球靜止．沿直線排列的多個小球組成一維球鏈,該問題的實質是球鏈連續(xù)撞擊模型,本文將基于此模型對牛頓擺振動衰減速率進行探討．

圖3 牛頓擺運動模型

針對球體之間的碰撞問題,通常將球體視為剛體,用剛體動力學方法來進行分析．在這種方法下,可以通過系統(tǒng)動能和動量守恒來進行解釋．對于球鏈碰撞,可以根據(jù)參與碰撞與被碰撞的球的數(shù)量分成“1球對1球”和“n球對q球”兩類．為方便討論,可以先從一光滑水平桌面上沿直線排列的若干小球的碰撞入手,小球間的相互作用可完全應用于牛頓擺系統(tǒng)．牛頓擺小球在擺起以后的運動,還需額外討論重力及拉力對小球速度的影響．

2.2 “1球對1球”碰撞的動量解釋

圖4 “1球對1球”碰撞

假設光滑水平桌面上有一剛性小球A,質量為m1,速度為v1．另有一剛性小球B,質量為m2,具有入射速度v2從一側對心撞擊球A,如圖4所示．由于碰撞過程中系統(tǒng)機械能和動量均守恒,可以列出以下描述小球運動的方程組:

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′.

式中,v1′,v2′分別是A,B碰撞之后的速度．解得

若令m1=m2,則有v1′=v2,v2′=v1．換言之,A與B速度實現(xiàn)交換．若A球原先靜止,則碰撞后B球靜止,A球以B球的速度運動．

圖5 牛頓擺看成彈性碰撞銜接

牛頓擺系統(tǒng)可以等效為光滑水平面上沿直線排列的一系列等質量小球組成的球鏈．通常認為各小球之間有很小的縫隙,如圖5所示．因此,球鏈上的動量和能量傳遞過程中符合兩兩之間的碰撞規(guī)律,即認為小球間的碰撞有先后順序,總的來看碰撞可視為若干“1球對1球”的彈性碰撞的銜接．那么,一系列碰撞后必然是最后一個小球以入射小球撞擊時的速度飛出,而其他小球歸于靜止．利用該模型解釋,空氣阻力是造成牛頓擺運動衰減最終完全停止的原因．

圖6 牛頓擺的球鏈排列緊密

然而實際實驗中可以觀察到牛頓擺中小球彼此間是緊密排列的,如圖6所示,因此當?shù)谝粋€小球落下與其余小球發(fā)生的碰撞涉及整個系統(tǒng)而非僅僅下一個小球．這使得“碰撞有先后順序”的觀點不成立,因此上述球鏈彈性碰撞模型并不適用于相互間緊密接觸的球鏈．換言之,該模型只有在滿足“兩球最初不接觸”時才近似成立．

在3球牛頓擺碰撞實驗中我們看到,如圖7所示,當用一小球撞擊其他兩個原先靜止且緊靠的小球時,右端的小球的確飛開,但中間的小球并非完全不動,而是以一很小的速度運動．查相關文獻知,Herrmann等最先觀察到,一個剛性球撞擊一列相同球組成的球鏈時,球鏈將散開.[1]Herrmann在他的文章里認為,如果一個球與多個緊挨著的球碰撞,撞擊球將同時與球鏈整體發(fā)生作用,動量在球鏈中散開,導致球鏈將散開,[2]球鏈的完整性不復存在．小球各分得部分動能．

圖7 3球牛頓擺碰撞實驗

2.3 牛頓擺“彈簧-質點”碰撞模型的建立

通常采用剛體動力學方法研究球體之間的撞擊問題,由于不考慮物體的變形,因此只能通過動量與能量守恒關系得到碰撞系統(tǒng)的一般特性,無法解釋動量在球鏈中散開的現(xiàn)象．

圖8 “彈簧-質點”碰撞模型

為考慮球鏈整體水平上發(fā)生的作用,則不能忽略球與球碰撞過程中球的變形．我們可以用剛體碰撞分析方法研究： 將球體簡化為剛性質量塊,球之間的“碰撞力-局部變形” 關系用接觸彈簧來表征,[3]不能變形的質量塊中能量通過質量塊的運動存儲,彈簧中的能量通過其變形存儲．這時可以考慮在相鄰球間嵌入一彈簧,將小球看成一個質點和與之相連的彈簧,如圖8所示,進一步我們建立起“彈簧-質點模型”．在碰撞等效為彈簧的擠壓過程中,小球發(fā)生的形變與相互作用力的關系可以用該“彈簧-質點模型”來反映．球與球之間的相互作用可以用連接等效質量m的質點的接觸彈簧(勁度系數(shù)k)來描述．

圖9 Hertz接觸問題

對碰撞中的單一小球,其受力模式如圖9所示，圖中a為接觸面區(qū)域半徑,F為等效作用力．彈簧對小球作用力F與小球質心位置相對變化量δ(可等效為彈簧壓縮量)之間的關系滿足Hertz接觸理論[4],即

F=0，(δ<0)

F=kδα，(δ≥0)

式中,k為等效彈簧勁度系數(shù),α為常數(shù)．

對完全相同的兩個小球,在彈簧彈性限度內,有

式中,E為材料彈性模量,ν為材料泊松比,d為小球直徑．

2.4 利用“彈簧-質點”模型解釋“1球對2球”碰撞

如圖10所示,在光滑水平桌面上有3個完全相同,質量均為m的小球B1、B2、B3,小球的直徑為d．B1以入射速度v0向其余兩球運動,B2、B3彼此接觸且靜止．圖下半部分為“彈簧-質點”模型的簡化示意圖,其中B2、B3間的彈簧與B2固定連接,與B3接觸但不固定．假設在t=0時刻碰撞發(fā)生,以此時刻B1球心的位置為坐標原點,向右為正方向建立x坐標軸,在t時刻3球(作為質點)的坐標分別為x1(t)、x2(t)和x3(t),系統(tǒng)滿足以下動力學方程:

x1(0)=0，

其中小球所受力仍滿足

F=0, (δ<0)

F=kδα. (δ≥0)

圖10 “1球對2球”碰撞

圖11 “1球對2球”碰撞數(shù)值

碰撞后損失的動能為

由此可知,“1球對2球”單次碰撞后系統(tǒng)損失了約9.08‰的初始動能．且可以近似認為在3球牛頓擺系統(tǒng)中,第二次碰撞的初始動能即為所考慮B3球一次碰撞后具有的動能Ek1=0.980Ek0,即一次碰撞初始動能的98%．該方程未考慮空氣阻力等摩擦因素,因此實際操作中會發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能量損失得更快．

2.5 關于“n球對q球”球鏈系統(tǒng)碰撞的討論

與先前類似,如果“n球對q球”碰撞可以看做一系列有先后順序的“1球對1球”碰撞,那么根據(jù)動能和動量守恒,球鏈末尾會飛出速度均為入射小球速度的n個球,而球鏈中剩余q個球將歸于靜止．

實際上由于球均緊密接觸,可以觀察到小球撞擊右側球鏈時,最右側的n個小球飛出,其余小球有微小振動,球鏈些許散開．對于“n球對q球”碰撞,同樣可以看做光滑水平面上一列包含(n+q)個完全相同,質量均為m的沿直線排列的球組成的球鏈,小球的直徑為d．其中n個球以入射速度v0撞擊其余靜止的q個球,前后兩組球鏈中任兩個球均緊密接觸,如圖12所示．

圖12 “n球對q球”球鏈系統(tǒng)的碰撞

假設在t=0時刻碰撞發(fā)生,以此時刻最左側1號球的球心位置為坐標原點,向右為正方向建立x坐標軸,在t時刻各球(作為質點)的坐標分別為x1(t)、x2(t)、x3(t)、…,使用“彈簧-質點模型”,系統(tǒng)滿足以下動力學方程:

……

……

x1(0)=0，

從能量的角度看,牛頓擺小球之間的碰撞并非完全彈性碰撞,在這類連續(xù)球鏈中發(fā)生一輪單向碰撞便會衰減約1%的動能,而且在實際實驗中還需考慮阻力等因素的存在．在牛頓擺系統(tǒng)運動過程中,能量上主要發(fā)生的是動能和重力勢能的相互轉化．同時由于摩擦和碰撞發(fā)聲等情況的存在,牛頓擺系統(tǒng)的機械能在碰撞過程中還會轉變?yōu)椴粚儆谂ｎD擺系統(tǒng)的內能和聲能．

小球的數(shù)量會影響Hertz公式中的α值;小球的材質通過影響其彈性模量和泊松比,和小球尺寸(直徑)一起影響等效彈簧模型的k值;小球的入射速度也是動力學方程組的參數(shù)．另外,小球間的排列方式(如不正對球心擺放)會使等效彈簧應力在垂直于前進方向上產生分量,從而造成系統(tǒng)動能損耗．以上諸多因素使得用理論推導求解不太現(xiàn)實,我們可以通過實驗的方法來研究這些因素對牛頓擺振動速率衰減的影響．

3 牛頓擺振動衰減的實驗研究

實驗目的:探究各因素對牛頓擺振動衰減的影響．

實驗器材:不同直徑的金屬球，玻璃球，橡膠球若干,細線,牛頓擺支架,熱熔膠槍,量角器,計時工具,高速相機,數(shù)據(jù)連接線,計算機,Tracker軟件等．

實驗猜測:小球數(shù)量、小球材質、小球入射速度和排列方式等因素會對牛頓擺振動速率衰減有影響．

實驗設計:分別探究猜測中的因素對牛頓擺振動速率衰減的影響,進行分組實驗,實驗裝置如圖13所示．對整個振動過程錄像并使用Tracker軟件分析其振動衰減速率．每次實驗將球鏈中心位置定為坐標原點,向右、向上為正方向建立平面直角坐標系．x、y分別表示小球球心的橫坐標與縱坐標．時間均以釋放小球開始為時間t=0時刻．

圖13 牛頓擺實驗裝置

3.1 探究小球數(shù)量牛頓擺振動衰減的影響

分別在牛頓擺支架上懸掛7、5、3個直徑為20 mm金屬球,如圖14-16所示．用手拉起最左側金屬球,至懸線與豎直方向為45°時,由靜止釋放小球．表1-表3數(shù)據(jù)為牛頓擺左端的小球位置隨時間的變化,原點設為球鏈中心位置,追蹤的坐標為最左端小球到達最高點時,其球心坐標．

圖14 7球實驗

表1 7球實驗

圖15 5球實驗

表2 5球實驗

圖16 3球實驗

表3 3球實驗

更多的數(shù)據(jù)分析得到的結論與實驗預測相同．當小球數(shù)量較少時,由于中間小球分到的動能較少,因此整個牛頓擺振動的衰減速度慢．當小球數(shù)量較多時,中間較多小球分到的動能較多,因此兩端小球損失的動能較多,牛頓擺振動的衰減速度快．

3.2 探究球體材料對牛頓擺振動衰減的影響

圖17 球體材料對牛頓擺振動衰減的影響

如圖17所示,采用鋼球、玻璃球和橡膠球這3種不同材質的球體搭建3球牛頓擺,球體直徑都為20 mm,線長相同都為90 mm．實驗中拉起最右邊小球30°角然后釋放,采用高速攝像機記錄牛頓擺的運動狀態(tài),攝像機記錄頻度為60幀/s．定義“起始幀”為釋放小球的幀序號,“結束幀”為3個小球達到相同速度(共速)狀態(tài)的幀序號．定義小球釋放至牛頓擺共速的時間為衰減時長,實驗得到數(shù)據(jù)如表4所示.

表4 不同球體材料牛頓擺的衰減時長

從實驗結果明顯看出,鋼球牛頓擺衰減最慢,玻璃球其次,橡膠球牛頓擺衰減最快迅速進入小球共速狀態(tài)．根據(jù)本文理論部分的研究,分析其主要原因是與材料的不同性質有關,查相關文獻得3種常見材料的楊氏模量與泊松比如表5所示.

表5 不同球體材料的楊氏模量與泊松比

可見球體的楊氏模量越大,就越接近剛性球體,在碰撞過程中球體形變小且恢復好,能量損失小,衰減速率慢,反之亦然．

3.3 探究起始拉偏角度對牛頓擺振動衰減的影響

圖18 起始拉偏角度對牛頓擺振動衰減的影響

以5鋼球牛頓擺分別拉偏15°、30°、45°和60°這4種情況進行實驗,初始狀態(tài)如圖18所示．通過改變初始釋放偏角,從而改變碰撞初速度,實驗研究對衰減時長的影響．實驗得到數(shù)據(jù)如表6所示.

表6 不同起始拉偏角度的牛頓擺衰減時長

從實驗可看出,隨著起始拉偏角度的增大,衰減時間也逐漸變長．這很好理解,主要原因是拉偏角度變大后,小球的重力勢能增加,導致碰撞前的動能增加,在系統(tǒng)損耗相同的情況下,衰減時間變長．

3.4 探究球體排列對牛頓擺運動衰減的影響

圖19 球體排列對牛頓擺運動衰減的影響

如圖19所示,為了比較不同球體排列對衰減速率的影響,以3個玻璃球搭建的牛頓擺,分正常排列、中間突出和斜線排列3種情況分別進行實驗．實驗數(shù)據(jù)如表7所示.

表7 不同球體排列牛頓擺的衰減時長

從實驗看出,規(guī)則排列時衰減時長明顯比非規(guī)則排列的衰減時長要大,即非規(guī)則排列衰減快．究其原因,主要是非規(guī)則排列時碰撞引發(fā)球體的非規(guī)則運動導致能量迅速耗散,從而快速衰減．

4 實驗總結與誤差

通過實驗和分析,可以得到以下結論:

(1) 球體數(shù)量對衰減速率有影響.

隨著球數(shù)量越來越大,衰減時長也越來越短,這跟球數(shù)量多了以后多次碰撞能量損耗加大有關．

(2) 不同材料的楊氏模量和泊松比對衰減速率影響很大.

鋼球和玻璃球衰減速度較慢,持續(xù)時間長,而橡膠球衰減速度很快．球體的楊氏模量越大,就越接近剛性球體,在碰撞過程中能量損失小,衰減速率慢,反之亦然．

(3) 起始拉偏角度對牛頓擺振動衰減有明顯的影響.

隨著起始拉偏角度的增大,衰減時間也逐漸變長．拉偏角度變大后,小球的重力勢能增加,導致碰撞前的動能增加,在系統(tǒng)損耗相同的情況下,衰減時間變長．

(4) 不規(guī)則排列對衰減速率有顯著影響.

實驗發(fā)現(xiàn)當球體規(guī)則排列(系繩長度一致)時,碰撞持續(xù)時間最長,衰減速度最慢．而當球體排列不規(guī)則(系繩長度不一致)時,碰撞很快進入無規(guī)則的混亂狀態(tài),衰減速度快．非規(guī)則排列時碰撞引發(fā)球體的非規(guī)則運動導致能量迅速耗散,從而快速衰減．

實驗的誤差與不足主要有以下幾個方面:對于牛頓擺小球達到共速狀態(tài)的判定是由人工進行判讀的,會引入一定隨機誤差,后續(xù)研究可以通過相關軟件的計算機判讀進行優(yōu)化;拉偏小球到固定角度是通過連接到電腦上畫定的連線對齊來判定的,存在人為引入的隨機誤差;通過Tracker軟件對小球進行跟蹤時,軟件跟蹤匹配時可能出現(xiàn)質心識別誤差;對衰減速率的定量分析不夠,也需要在今后的研究中進一步深入．

5 結語與致謝

牛頓擺通常用作物理教具以演示動量和能量守恒．本文通過理論分析和實驗探究,對牛頓擺振動的衰減速率做了一定研究．理論上在對“1球對1球”彈性碰撞模型深入討論的基礎上,建立了“1球對2球”的“彈簧-質點”碰撞模型,再推廣應用到“n球對q球”的球鏈碰撞．通過理論推導和文獻查找,對牛頓擺振動體系做了動力學分析和功能關系分析．小球的材質、排列、數(shù)量以及入射速度等牛頓擺的其他性質可能影響振動的衰減的快慢,為確定各因素對牛頓擺運動狀態(tài)的影響,通過控制變量進行分組實驗．在實驗中對整個振動過程錄像并使用Tracker軟件分析其振動衰減速率,確定了牛頓擺運動的各項特點以及影響該特點的因素,從而得到了一般的結論．對研究中的誤差進行分析,對研究中不足之處進行了展望,在后續(xù)的探究中將會努力改善．希望我們研究能給中學生朋友們從事研究性學習和參加YPT類學術創(chuàng)新比賽活動提供一些幫助和思考,希望得到更多的批評與指正．

最后在此感謝南京邁塔光電Metalab創(chuàng)新實驗室提供實驗裝置和場地,感謝睢長城博士提供寶貴意見．