王小強(qiáng)，蘇建徽

(合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，合肥 230009)

0 引 言

永磁同步電機(jī)(以下簡稱PMSM)運(yùn)行可靠、控制靈活、效率高慣性低、輸出轉(zhuǎn)矩高，結(jié)構(gòu)也簡單，在電動汽車、航天等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

近年來，出現(xiàn)了電機(jī)模擬器[1]的概念，專門用于模擬電機(jī)及其負(fù)載特性，它能夠模擬與電機(jī)相同的端口電氣特性，等效電機(jī)驅(qū)動器功率負(fù)載。其中，為測試電機(jī)驅(qū)動器在故障狀態(tài)下的性能指標(biāo)，需要獲得能夠模擬出PMSM常見故障的電機(jī)模型。

PMSM的數(shù)學(xué)模型在三種坐標(biāo)系下各有優(yōu)缺點(diǎn)。自然(a,b,c)坐標(biāo)系下的模型適用性廣泛；而同步旋轉(zhuǎn)(d,q)坐標(biāo)系下的模型完成了解耦，從而較自然坐標(biāo)系下的模型容易不少[2]；靜止(α，β)坐標(biāo)系下，電機(jī)模型也實(shí)現(xiàn)了一定程度的解耦，且變換過程不需要坐標(biāo)變換角，這在實(shí)際運(yùn)用中也能節(jié)省一些DSP資源[1]。本文將分別在三種坐標(biāo)系下進(jìn)行了PMSM故障數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及對比研究，以適應(yīng)不同場合應(yīng)用。

研究PMSM故障一般的模擬方法主要有兩種[3]：一種是用有限元分析法(FEA)建立故障模型，另一種則是在PMSM數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上借助MATLAB/Simulink仿真平臺研究。文獻(xiàn)[4]對三相對稱短路穩(wěn)態(tài)特性進(jìn)行了數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，通過二維有限元法和實(shí)驗(yàn)分析了永磁磁鏈、極對數(shù)、直流電感等電機(jī)本體參數(shù)對三相短路特性的交叉影響，但尚未從第二種方法來研究三相對稱短路故障。PMSM定子匝間短路故障也可以采用有限元分析法建立模型，但通過采用有限元建模對PMSM故障進(jìn)行仿真，雖然精度高，但效率太低，計(jì)算速度慢，難以施加控制策略和工況[4]。為克服上述缺陷，采用集中參數(shù)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB/Simulink上仿真是一種有效的方法。在對自然(a,b,c)坐標(biāo)系下定子匝間短路故障建模時：文獻(xiàn)[5]對內(nèi)置式PMSM進(jìn)行了建模分析，由于表貼式PMSM電感較內(nèi)置式PMSM簡單，其模型可以進(jìn)一步簡化；文獻(xiàn)[4]研究表貼式PMSM，尋求將模型建得十分精確，在計(jì)算電機(jī)電感時引入泄露因子δbf而使得模型變得較為復(fù)雜，需要進(jìn)一步改進(jìn)。在對同步旋轉(zhuǎn)(d,q)坐標(biāo)系下定子匝間短路故障建模時：文獻(xiàn)[6]研究了五相PMSM，三相PMSM需進(jìn)一步推導(dǎo)；文獻(xiàn)[7]在對三相PMSM數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)時未包含故障特征變量-短路電流if；文獻(xiàn)[7]在計(jì)算if時需同時獲得正常電機(jī)和故障電機(jī)的三相電壓，使得電機(jī)模塊翻倍而變得龐雜，需要進(jìn)一步改進(jìn)。文獻(xiàn)[8]對自然(a,b,c)坐標(biāo)系下三相PMSM開路故障進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，但未進(jìn)行有限元或者Simulink建模仿真以驗(yàn)證模型的正確性。在靜止(α,β)坐標(biāo)系下對PMSM的匝間短路故障和開路故障的數(shù)學(xué)模型研究較少，還需要進(jìn)行進(jìn)一步的理論推導(dǎo)。

為彌補(bǔ)上述研究的不足，本文重新推導(dǎo)了在自然坐標(biāo)系、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和靜止坐標(biāo)系下三種故障狀態(tài)下PMSM的數(shù)學(xué)模型，并在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行了建模和對比仿真研究。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

三相PMSM由三相繞組及鐵心構(gòu)成，電樞繞組常以Y型連接，在轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)上，PMSM用永磁體取代電勵磁，省去了勵磁線圈、滑環(huán)和電樞。

為便于分析，作以下假設(shè)：

(1) 忽略電機(jī)鐵心的飽和影響；

(2) 永磁材料的電導(dǎo)率為零；

(3) 電機(jī)的電流為對稱的三相正弦波電流；

(4) 不計(jì)電機(jī)的渦流和磁滯損耗。

在自然(a，b，c)坐標(biāo)系下PMSM定子電壓方程：

(1)

電磁轉(zhuǎn)矩方程[9]：

(2)

式中:Uabc，Rabc，Iabc分別為三相繞組的相電壓、相電阻和相電流；ψabc為三相繞組的磁鏈；Te為電磁轉(zhuǎn)矩，p為極對數(shù)。在下面矩陣變量中，Ra=Rb=Rc=Rs為定子繞組電阻，ψf為永磁體磁鏈的值，L為電機(jī)自感，M為電機(jī)互感。

利用經(jīng)典Park變換，可得在同步旋轉(zhuǎn)(d,q)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，定子電壓方程：

(3)

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

(4)

式中:ud,uq為定子電壓；R為定子繞組電阻；id,iq為定子電流；p表示微分算子；Ld,Lq為d,q軸等效電感；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為極對數(shù)；ψf為永磁體磁鏈。

利用Clarke變換，可得PMSM靜止(α,β)坐標(biāo)系下定子電壓方程如下：

[(Ld-Lq)(ωeid-piq)+ωeψf]·

(5)

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

(6)

其中磁鏈方程：

式中:Uα，Uβ分別是PMSM在靜止坐標(biāo)系下定子電壓；iα，iβ為定子電流；p表示微分算子；Rs為定子繞組電阻；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為極對數(shù)；ωe為電角速度；ψα，ψβ為永磁體磁鏈。

另外，PMSM運(yùn)動方程：

(7)

轉(zhuǎn)速、機(jī)械角速度、電角速度、角度公式：

(8)

ωe=pωm

(9)

(10)

式中：n為電機(jī)轉(zhuǎn)速；ωm為電機(jī)的機(jī)械角速度；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；ωe為電角速度；θ為轉(zhuǎn)子位置角；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為阻尼系數(shù)。

2 PMSM三相短路故障下建模仿真

2.1 三相短路下數(shù)學(xué)模型

當(dāng)PMSM莫明地發(fā)生三相對稱短路時，產(chǎn)生的暫態(tài)沖擊電流可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸與繞組端部的嚴(yán)重機(jī)械應(yīng)力損傷，還有永磁體的不可逆去磁。但三相短路也可主動作為保護(hù)動作來應(yīng)用，比如運(yùn)行過程中其它故障原因?qū)е码姍C(jī)失控，可以主動采取三相對稱短路措施，隔離供電源保護(hù)電機(jī)，并且三相短路產(chǎn)生的制動轉(zhuǎn)矩也將迫使電機(jī)減速至穩(wěn)定。圖1為PMSM三相短路示意圖。

圖1 PMSM三相短路示意圖

三相對稱短路穩(wěn)態(tài)時，約束條件為定子三相電壓突降為零，故在自然(a,b,c)坐標(biāo)系下定子電壓方程：

(11)

在同步旋轉(zhuǎn)(d,q)坐標(biāo)系下定子電壓方程：

(12)

在靜止(α,β)坐標(biāo)系下定子電壓方程：

[(Ld-Lq)(ωeid-piq)+ωeψf]·

(13)

2.2 仿真驗(yàn)證

借助MATLAB/Simulink仿真平臺搭建PMSM在故障狀態(tài)下仿真模型，以驗(yàn)證以上參數(shù)模型的有效性和正確性，將之代入基于閉環(huán)速度和電流控制的簡單三相PMSM矢量控制系統(tǒng)中，其中轉(zhuǎn)速環(huán)是由PI調(diào)節(jié)器構(gòu)成，電流環(huán)由電流滯環(huán)控制器構(gòu)成，如圖2所示。

圖2 PMSM矢量控制框圖

用于仿真的電機(jī)主要參數(shù)如下：運(yùn)行速度1 000 r/min，母線直流電壓Udc=300 V，參考轉(zhuǎn)速n=1 000 r/ min，極對數(shù)p=3，定子電阻Rs=1.5Ω，相自感L=1.725 mH，相互感M=0.028 mH，轉(zhuǎn)動慣量J=0. 003 6 kg·m2，阻尼系數(shù)B=0.001 N·m·s。仿真條件設(shè)置：初始時刻負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=5 N·m，在t=0.05 s時設(shè)置三相對稱短路故障，獲得的仿真波形如圖3～圖5所示。

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

由圖3～圖5可以看出，PMSM正常和故障時三種坐標(biāo)下的電機(jī)三相電流、轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)速都十分接近。另外從波形可知，在0.05 s發(fā)生故障時，出現(xiàn)的瞬態(tài)三相電流及轉(zhuǎn)矩都比穩(wěn)態(tài)時大得多，此時出現(xiàn)的過電流是因?yàn)槎ㄗ与妷和唤禐榱?，?dǎo)致定子磁鏈空間矢量變化率也降為零，因?yàn)槎ㄗ哟沛湶荒芡蛔?，在系統(tǒng)中產(chǎn)生定子磁鏈直流分量，進(jìn)一步引起電機(jī)的過電流，之后電流回歸穩(wěn)態(tài)，轉(zhuǎn)速也因三相短路產(chǎn)生的制動轉(zhuǎn)矩在不斷下降至穩(wěn)定。

3 PMSM匝間短路故障下建模仿真

PMSM定子繞組匝間短路故障常常是因?yàn)榻^緣損壞導(dǎo)致，此后也許還會引起更嚴(yán)重的損壞。假設(shè)PMSM發(fā)生A相匝間短路故障，n為短路匝數(shù)，N為故障相總匝數(shù)，rf為短路電阻，Rf為短路匝內(nèi)電阻，R為相電阻，則故障示意圖如圖6所示。

圖6 PMSM A相匝間短路示意圖

3.1 匝間短路故障在a,b,c坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型

與正常PMSM相比，發(fā)生匝間短路故障時電路中增加了故障環(huán)，假定用k表征故障的嚴(yán)重程度，通過分析，可得定子電壓方程：

(14)

其中各變量的含義分別如下：

Rb=(1-k)Rs

Rf=k(Rs+rf)

ψabcf=LsfIabcf+ψfFabcf(θ)

3.2 匝間短路故障在d,q坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型

不考慮電機(jī)磁場飽和，當(dāng)PMSM發(fā)生A相匝間短路故障時，PMSM在匝間短路故障情況下的電壓方程式(1)可表示[10]：

(15)

當(dāng)永磁同步電機(jī)A相發(fā)生故障時：

自然(a,b,c)坐標(biāo)系變換到靜止(α,β)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換為Clarke 變換；Park變換則是將靜止(α,β)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換?？赏ㄟ^Clarke/Park變換實(shí)現(xiàn)電機(jī)定子電壓方程從自然(a,b,c)坐標(biāo)系到旋轉(zhuǎn)(d,q)坐標(biāo)下的坐標(biāo)變換：

Xdq=T(θ)Xabc

其中變換矩陣T(θ)：

定子電壓方程(15)經(jīng)過上述變換后：

(16)

(17)

短路電流部分[11]計(jì)算公式：

而由d,q坐標(biāo)系變換到a,b,c坐標(biāo)系變換有：

Ua=Udcosθ-Uqsinθ

故可得：

(18)

3.3 匝間短路故障在α,β坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型

可通過Clarke變換實(shí)現(xiàn)的電機(jī)從自然(a,b,c)坐標(biāo)系到靜止(α,β)坐標(biāo)下的坐標(biāo)變換，與在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)下變換相似，當(dāng)PMSM發(fā)生A相匝間短路故障時，可將式(15)由a,b,c坐標(biāo)系變換為α,β坐標(biāo)系：

Xαβ=X(θ)Xabc

其變換矩陣X(θ)：

(19)

對于表貼式PMSM，Ld=Lq，定子電壓方程式(15)經(jīng)過上述變換后：

(20)

(21)

短路電流部分等式：

而由反Clarke變換有：

Ua=Uα

故可得：

(22)

3.4 仿真驗(yàn)證

在上述同一PMSM的參數(shù)下，仿真條件設(shè)置：匝間短路故障系數(shù)k=0.3，初始時刻負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=5 N·m，獲得仿真波形，如圖7～圖9所示。

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

從以上仿真結(jié)果可以觀察到：發(fā)生匝間短路故障時PMSM在三種坐標(biāo)下的仿真波形很接近，不過通過PI調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)的電流閉環(huán)跟蹤控制，難以消除電流跟蹤誤差， 因此三種坐標(biāo)下的波形并不能完全一致[1]；在匝間短路故障時，故障A相電流幅值較其它兩相更大[12]，這是由于繞組不對稱，導(dǎo)致A相電流比其它兩相電流有更為明顯增大的高次諧波成分；電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速也產(chǎn)生了諧波成分，出現(xiàn)了小幅度波動。

4 PMSM開路故障下建模仿真

開路故障也是一種常見的電機(jī)故障。焊接不良，繞組短路，接地故障等都可以導(dǎo)致電機(jī)繞組開路。電機(jī)A相發(fā)生開路故障示意圖如圖10所示。

圖10 PMSM A相開路故障示意圖

4.1 開路故障在a,b,c坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型

假設(shè)定子繞組A相發(fā)生開路故障，則A相電壓Ua=0[13]，三相電流不再對稱[8,14]，A相電流由于電流傳感器出現(xiàn)輕微偏差,導(dǎo)致ia=iΔ不為0，但十分接近0，通常認(rèn)為ia=0，電流方程滿足如下表達(dá)式：

(23)

故障時可代入定子電壓方程：

(24)

式中:Ua，Ub與Uc分別為三相電壓；ia，ib與ic為三相電流；Ra=Rb=Rc=Rs為定子繞組電阻；ψf為永磁體磁鏈值。

4.2 開路故障在d,q坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型

假定定子繞組A相發(fā)生開路故障，則通常認(rèn)為ia=0。根據(jù)從同步旋轉(zhuǎn)d,q坐標(biāo)系到自然a,b,c坐標(biāo)系的變換：

可得:

ia=0=idcosθ-iqsinθ

(25)

根據(jù)Clarke 變換：

得：

Uβ=Udsinθ+Uqcosθ

(26)

將d,q坐標(biāo)系下的定子電壓方程式(3)代入式(26)，則有：

(27)

為了消除計(jì)算電流id，iq時出現(xiàn)在分母中的sinθ，cosθ引起的奇異點(diǎn)，引入兩個輔助變量ρ和ξ，并令：

(28)

(29)

由式(25)可得：ρ=ξ，再將式(28)、式(29)代入式(27)，此時Uβ可用ρ變量表示，求解輔助變量ρ得：

(30)

求出ρ后，根據(jù)式(28)可得定子電流id，iq有：

(31)

此后即可順利求出電機(jī)中角速度、轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速等其它變量，建立PMSM開路故障的電機(jī)模型。

4.3 開路故障在α,β坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)模型

為不失一般性和利于計(jì)算求解，假定PMSM定子繞組C相發(fā)生開路故障，其實(shí)對于單相開路而言假定C相或A相發(fā)生開路故障等效，則C相電壓Uc=0，且此時通常認(rèn)為ic=0。根據(jù)反Clarke變換：

可得：

化簡得：

(32)

根據(jù)Clarke變換：

PMSM靜止坐標(biāo)系下的定子電壓方程式如下，對于表貼式PMSM而言,Ld=Lq，可進(jìn)一步簡化：

[(Ld-Lq)(ωeid-piq)+ωeψf]·

簡化后代入可得：

(33)

在得到iβ后，利用式(32)可得iα，后可順利求出電機(jī)中其它變量，獲得α,β坐標(biāo)系下電機(jī)開路故障時電機(jī)模型。

4.4 仿真驗(yàn)證

在上述同一PMSM的參數(shù)下，仿真條件設(shè)置：負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=5 N·m，t=0.05 s時設(shè)置PMSM單相開路故障，獲得仿真波形,如圖11～圖13所示。

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

(a) a,b,c坐標(biāo)系

(b) d,q坐標(biāo)系

(c) α，β坐標(biāo)系

從以上仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)PMSM發(fā)生單相繞組開路故障時，三種坐標(biāo)系下的波形很接近。與正常運(yùn)行時的0～0.05 s時間段相比，故障時三相電流的幅值比正常時幅值要大，并且此時PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速都產(chǎn)生了較大脈動。這是由于當(dāng)某相電流突變?yōu)榱銜r，這相磁動勢同樣是零，而定子電流合成的磁勢將會由圓形變成橢圓形，由此生成的橢圓形磁鏈將會生成接近電機(jī)轉(zhuǎn)速頻率的轉(zhuǎn)矩脈動。

5 結(jié) 語

本文圍繞PMSM三種常見故障，在三種坐標(biāo)系下重新推導(dǎo)了數(shù)學(xué)參數(shù)模型，并采用MATLAB/Simulink建模仿真的方法來驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，三種坐標(biāo)系下的PMSM故障下的波形很接近；同時獲得了PMSM在三相對稱短路故障，匝間短路故障和開路故障的故障特征信息，可作為故障診斷、故障容錯和狀態(tài)監(jiān)測的研究基礎(chǔ)。

本文在三種坐標(biāo)系下都建立了PMSM的電機(jī)模型，能夠滿足在不同場合選擇合適的數(shù)學(xué)模型，也為PMSM模擬器系統(tǒng)提供了可供選擇的常見故障的電機(jī)模型，以此來測試電機(jī)驅(qū)動器在常見故障狀態(tài)下的性能指標(biāo)。