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        利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式參數(shù)取值范圍問題的策略

        2020-05-25 06:15:54廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)528454李文東
        關(guān)鍵詞:切線單調(diào)符號(hào)

        廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

        含參不等式恒成立問題,特別是利用導(dǎo)數(shù)解決含參關(guān)系式恒成立求參數(shù)的取值范圍這一問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中,是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn).解決這一類問題需要用到函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想,能夠很好的反映學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面結(jié)合例題具體談?wù)劥祟悊栴}的求解策略.

        策略一 不等式f(x,a)≥0恒成立?fmin(x,a)≥0,合理分類討論求最值.

        例1(2010年高考新課標(biāo)卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,a∈R.若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

        解因?yàn)閒′(x)=ex?1?2ax,它比較復(fù)雜,考慮進(jìn)一步求導(dǎo):f′′(x)=ex?2a,顯然f′′(x)遞增,故當(dāng)x≥0時(shí),f′′(x)min=1?2a.于是

        (1)當(dāng)2a≤ 1,即時(shí),f′′(x) ≥ 0,所以f′(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,所以f′(x) ≥f′(0)=0,即f′(x)≥ 0,所以f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0.

        (2)當(dāng)2a>1,即時(shí),令f′′(x)=ex?2a=0,解之得x=ln2a.

        當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),f′′(x)<0,f′(x)為單調(diào)遞減函數(shù);又因?yàn)閒′(0)=0,所以x∈(0,ln2a)時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在區(qū)間(0,ln2a)是單調(diào)遞減函數(shù).又f(0)=0,所以x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)<0不符合題意要求.

        綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為

        評(píng)注(1)分類討論的難點(diǎn)在于分類標(biāo)準(zhǔn)的確定,目標(biāo)就是確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),一般要結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的具體形式來確定.如果導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)能等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的符號(hào),則常見的討論標(biāo)準(zhǔn)如下:1.討論是否是二次函數(shù);2.討論零點(diǎn)的存在與否;3.討論零點(diǎn)是否在定義域之內(nèi);4.討論零點(diǎn)的大小關(guān)系;5.討論二次函數(shù)的開口方向.

        (2)本例中f′(x)=ex?1?2ax比較復(fù)雜,為了研究其符號(hào),關(guān)鍵還是弄清楚其單調(diào)性,故繼續(xù)對(duì)其求導(dǎo)后根據(jù)f′′(x)=ex?2a的符號(hào)來確定討論標(biāo)準(zhǔn).

        策略二分離參數(shù)避免分類討論,快速求解.

        例2(2013年高考全國(guó)新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

        (1)求a,b,c,d的值;

        (2)若x≥?2時(shí),f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

        解(1)a=4,b=c=d=2.

        綜上,k的取值范圍為1≤k≤e2.

        評(píng)注本題是一個(gè)典型的利用分離參數(shù)法求解參數(shù)取值范圍的例子,分離中需要注意分母函數(shù)g(x)的符號(hào),分離參數(shù)的目的就是避免復(fù)雜的分類討論而達(dá)到快速求解!

        策略三 利用必要條件或端點(diǎn)效應(yīng)縮小參數(shù)的范圍.

        例3(2014年高考全國(guó)新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=ex?e?x?2x.

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)設(shè)g(x)=f(2x)?4bf(x),當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,求b的最大值.

        解(1)略.

        (2)注意到g(0)=0,要使當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,則必存在x0>0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)遞增,也即有:當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g′(x)≥ 0,從而必有:g′(0)≥ 0.而

        于是g′′′(0)=8(2?b)≥ 0?b≤ 2.而當(dāng)b≤ 2時(shí),g(x)=f(2x)?4bf(x)≥f(2x)?8f(x)=h(x),

        故h(x)遞增,又h(0)=0,于是h(x)>0,也即有g(shù)(x)>0成立.

        綜上,b的最大值為2.

        評(píng)注端點(diǎn)效應(yīng)是指:對(duì)于?x∈[a,b],f(x)≥0,且f(a)=0.則必然?x0∈(a,b),當(dāng)x∈[a,x0]時(shí)f(x)遞增,從而有x∈[a,x0]時(shí),f′(x)≥0成立,特別有f′(a)≥0這一必要條件得出參數(shù)的范圍,然后說明這一范圍的充分性即可,這樣既避免了分類討論,也可避免了分離參數(shù)后函數(shù)很復(fù)雜且有時(shí)需要用到羅必塔法則的情形.實(shí)際操作中,若不滿足這一條件,我們也可以在自變量的范圍內(nèi)取一特定值,縮小參數(shù)的取值范圍,減少分類討論的種類!

        策略四分離函數(shù),數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的關(guān)系.

        例4若不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

        解方法一 因?yàn)椴坏仁絘x?lnx≥a(2x?x2)對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2?x)≥lnx對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立.當(dāng)x=1時(shí),不等式顯然成立,當(dāng)x>1時(shí),x2?x>0,lnx>0,故a>0.令g(x)=a(x2?x),f(x)=lnx作出兩函數(shù)的圖像,如圖1.

        圖1

        當(dāng)f(x)與g(x)在x=1處相切時(shí),g(x)(x>1)圖像恰好位于f(x)(x>1)圖像的上方,此時(shí)f′(1)=g′(1),即a=1,結(jié)合圖像可知,所求a的取值范圍為a≥1.

        評(píng)注本法是轉(zhuǎn)化為兩曲線的情況.順著這個(gè)思路,本題還有以下兩種解法.

        方法二 因?yàn)椴坏仁絘x?lnx≥a(2x?x2)對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2?x)≥lnx對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立,也即對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立.令,則可知f(x)在(1,e)上遞增,(e,+∞)上遞減.如圖2,故當(dāng)直線y=a(x?1)位于f(x)在x=1處的切線及其上方時(shí),不等式恒成立,從而a≥f′(1)=1.

        圖2

        圖3

        方法三 因?yàn)椴坏仁絘x?lnx≥a(2x?x2)對(duì)?x∈[1,+∞)恒成立,所以對(duì)?x∈(1,+∞)恒成立.

        例5已知函數(shù)f(x)=x?aln(x+1),若對(duì)任意的x∈[1,2],f(x)≥x2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解f(x)≥x2,即

        圖4

        對(duì)任意的x∈[1,2]恒成立.因?yàn)閤∈[1,2]時(shí),x?x2≤0,ln(x+1)>0,故a≤0,從而函數(shù)y=aln(x+1)和函數(shù)y=x?x2都在[1,2]上遞減,且它們的凹凸性相反.在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)的圖像,如圖4,可知當(dāng)函數(shù)y=aln(x+1)滿足在x=2時(shí),y≤?2即可,即

        評(píng)注分離函數(shù)可看作分離參數(shù)法的推廣,分離函數(shù)時(shí),可以盡量從多個(gè)角度嘗試不同的分離方式,只要分離后的函數(shù)比較簡(jiǎn)單即可.

        策略五等價(jià)變換,巧妙轉(zhuǎn)化.

        例 6(廣東省 2019屆高三六校聯(lián)考)已知函數(shù)

        (1)求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的值域;

        (2)若?x∈[1,+∞),lnx(lnx+4)≤ 2ax+4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        評(píng)注當(dāng)函數(shù)f(x)比較復(fù)雜時(shí),我們可以對(duì)其進(jìn)行等價(jià)變換,比如換元法,同構(gòu)法等,使得問題達(dá)到簡(jiǎn)化的目的!

        以上是導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍問題的一般策略.一般來說,從解題的復(fù)雜程度來說選擇的步驟是:數(shù)形結(jié)合,分離函數(shù)→分離參數(shù)→端點(diǎn)效應(yīng)→合理轉(zhuǎn)化→分類討論.當(dāng)然以上順序也不是一成不變的,還是要具體情況具體分析.

        最后結(jié)合分離函數(shù)法來簡(jiǎn)單談一下作為一個(gè)教師怎么編制出恒成立問題的試題.我們可以利用一些常見的曲線和直線來構(gòu)造恒成立問題,特別是直線過曲線上的定點(diǎn)或者直線就是曲線在某點(diǎn)處的切線時(shí).比如我們可以編制如下問題:

        (1)函數(shù)f(x)=lnx在x=1處的切線方程為y=x?1,于是我們可以這樣出題:當(dāng)x>1時(shí),lnx<a(x?1)恒成立,求a的取值范圍(答案:a≥1);

        (2)函數(shù)f(x)=(1?x)ln(x+1)在x=0處的切線方程為y=x,于是我們可以這樣出題:當(dāng)x>0時(shí),(1?x)ln(x+1)<ax恒成立,求a的取值范圍(答案:a≥1).

        我們還可以將本文中的例4稍加改編得到如下比較有趣的一道題:

        (3)若不等式ax?lnx≥a(2x?x2)對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

        結(jié)合文章中的解法,不難知道所求a的取值范圍為a=1,它只有一個(gè)值滿足要求!

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