江蘇揚(yáng)州市甘泉小學(xué) 劉付珍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要突出數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)，還應(yīng)符合兒童思維發(fā)展的規(guī)律。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)努力探尋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與兒童思維發(fā)展的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，筆者認(rèn)為“變式”正是連接二者的有效橋梁。所謂“變式”，是指通過(guò)變更對(duì)象的非本質(zhì)特征而形成的表現(xiàn)形式。然而變式不是盲目地變，而應(yīng)抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，遵循學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)展規(guī)律，根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行合理變式。到底該如何立足于常態(tài)化的課堂教學(xué)，巧借“變式”凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，使學(xué)生的智慧在“變式”中生長(zhǎng)呢？筆者結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)例，談一談自己的一些做法。

一、讀透教材意圖，找準(zhǔn)變式的“點(diǎn)”，點(diǎn)燃思維

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，其編寫(xiě)特別注重思想性與科學(xué)性、觀點(diǎn)與材料、理論與實(shí)際、知識(shí)和技能的廣度與深度、基礎(chǔ)知識(shí)與當(dāng)代科學(xué)新成就的關(guān)系。在教學(xué)前，教者應(yīng)讀透教材的編寫(xiě)意圖，由表及里，由此及彼，由近及遠(yuǎn)，用整體的觀點(diǎn)、聯(lián)系的思考、發(fā)展的眼光去分析數(shù)學(xué)知識(shí)背后的邏輯關(guān)系，豐富數(shù)學(xué)概念的意義內(nèi)涵，探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的源頭與脈絡(luò)。

例如，數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)梯形”一課，它是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了三角形、平行四邊形之后進(jìn)行的學(xué)習(xí)。教學(xué)前，教師就需要運(yùn)用整體的觀念去分析蘊(yùn)藏在該單元數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)知識(shí)間的脈絡(luò)及內(nèi)在的邏輯關(guān)系，建構(gòu)起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖（如圖1）。

基于以上對(duì)教學(xué)意圖的理解，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)梯形”一課時(shí)，筆者改變了直接出示例題圖的導(dǎo)入形式，而是將學(xué)生對(duì)梯形的認(rèn)識(shí)有效建立在對(duì)三角形、平行四邊形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，從而找準(zhǔn)變式的“點(diǎn)”，點(diǎn)燃思維的火花。

依次出示圖形（如圖2），學(xué)生將長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形分成一類(lèi)，并發(fā)現(xiàn)這三個(gè)圖形的共同特征是兩組對(duì)邊分別平行。

追問(wèn)：是不是所有的四邊形都是這樣呢？（如圖3）

……

師（電腦動(dòng)態(tài)演示）：這是我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)的三角形和平行四邊形，如果讓它們像這樣相遇、重疊，重疊部分的形狀是什么圖形？（如圖3）

師：如果旋轉(zhuǎn)平行四邊形，得到的還是梯形嗎？學(xué)生說(shuō)理由。依次旋轉(zhuǎn)，得到圖4。

追問(wèn)：通過(guò)旋轉(zhuǎn)，重疊部分發(fā)生了變化，為什么都是梯形呢？

師出示圖5：將兩個(gè)三角形像這樣重疊，兩個(gè)平行四邊形這樣重疊，重疊部分的圖形還是梯形嗎？為什么？

辨析后，學(xué)生將重疊部分的圖形分別添上一條線(xiàn)段，分割出梯形。觀察比較—?jiǎng)邮謬L試—展示交流，學(xué)生感悟到：圖4中的四邊形沒(méi)有互相平行的對(duì)邊，可以運(yùn)用畫(huà)平行線(xiàn)的方法，創(chuàng)造出一組，分割出梯形；右圖是平行四邊形，只要保留一組對(duì)邊平行，破壞一組就可以了。

這樣的認(rèn)知過(guò)程，充分借助了變式，使學(xué)生在觀察、對(duì)比、分析、交流中對(duì)梯形的定義有了透徹而清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)如何將一般四邊形及有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形分割出梯形的方法有了深刻的體驗(yàn)。在豐富學(xué)生對(duì)四邊形類(lèi)型的認(rèn)識(shí)的同時(shí)，自然回答了課始的質(zhì)疑“是不是所有的四邊形都是這樣呢？”不著痕跡地展示了圖形間的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生抽象、概括、歸納、類(lèi)比的能力，發(fā)展了空間觀念，培養(yǎng)了思維的敏捷性與批判性。

二、遵循邏輯規(guī)律，把準(zhǔn)變式的“脈”，發(fā)展思維

學(xué)生是教學(xué)的對(duì)象，更是學(xué)習(xí)的主體。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及組織教學(xué)時(shí)，要基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知需求，準(zhǔn)確把握學(xué)生已有知識(shí)的邏輯起點(diǎn)及現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)水平，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把準(zhǔn)變式的“脈”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展其思維品質(zhì)。

如蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體的體積”一課，學(xué)生選擇1 cm3的小正方體照樣子擺出長(zhǎng)3 cm寬2 cm高2 cm的長(zhǎng)方體后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)小正方體的個(gè)數(shù)是多少，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積就是多少立方厘米。教師緊接著提問(wèn)：“回過(guò)頭來(lái)看一看，你認(rèn)為長(zhǎng)方體的體積與什么有關(guān)？會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？” 指名回答后追問(wèn)：“但是只憑一個(gè)例子能說(shuō)明問(wèn)題嗎？”學(xué)生意識(shí)到需要舉更多的例子來(lái)驗(yàn)證。于是以小組合作的形式學(xué)生繼續(xù)借助1 cm3的小正方體進(jìn)行研究。出示活動(dòng)要求（如圖6）。學(xué)生活動(dòng)時(shí)教師借助相機(jī)拍攝學(xué)生擺出的長(zhǎng)方體，并上傳到電腦屏幕。反饋后追問(wèn)：“大家舉的例子真是太多了，但是不管怎么擺，都符合長(zhǎng)×寬×高嗎？”驗(yàn)證收集來(lái)的數(shù)據(jù)。師：“全班同學(xué)舉了這么多的例子都符合，那萬(wàn)一有一個(gè)例子不符合呢？還要再舉例子嗎？永遠(yuǎn)也舉不完，怎么辦？”

結(jié)合PPT演示進(jìn)行說(shuō)理：長(zhǎng)是多少厘米，一排就擺多少個(gè)1 cm3；寬是幾厘米，就可以擺這樣的幾排；高是幾厘米，就有這樣的幾層。剛剛我們是用1 cm3的小正方體來(lái)擺的。推想一下，如果用1 dm3，1m3……的正方體也是可以的。學(xué)生伸出手來(lái)跟著老師邊比畫(huà)邊想象：一排擺了多少個(gè)，長(zhǎng)就是多少；擺了幾排，寬就是多少；有幾層，高就是多少。因?yàn)樾≌襟w的個(gè)數(shù)=每排個(gè)數(shù)× 排數(shù)× 層數(shù)，所以長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。學(xué)生由實(shí)際操作的1 cm3的小正方體推想到1 dm3，1 m3……的正方體，借助合理的想象和推理，有力地證明了長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，這樣的過(guò)程使學(xué)生既經(jīng)歷了不完全歸納推理又感受了嚴(yán)密的邏輯推理。在對(duì)長(zhǎng)方體體積計(jì)算方法的深刻理解后，學(xué)生很自然地推理出了正方體的體積計(jì)算方法，因?yàn)檎襟w是特殊的長(zhǎng)方體，所以正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。

這樣的探究過(guò)程既有驗(yàn)證方式的改變，也有用于測(cè)量的體積單位的改變，既有深刻細(xì)致的研究，也有簡(jiǎn)明扼要的推理。外形與內(nèi)涵的有機(jī)變式基于學(xué)生在剛剛經(jīng)歷的自主探究過(guò)程中所積累的感性經(jīng)驗(yàn)，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既拓寬了學(xué)生的研究思路，幫助學(xué)生積累了研究的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，又發(fā)展了其思維的深刻性與批判性，在遷移中培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神與創(chuàng)新意識(shí)。

三、緊扣知識(shí)結(jié)構(gòu)，定準(zhǔn)變式的“本”，提升思維

周玉仁教授對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程曾這樣闡釋?zhuān)盒W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)激活、利用、調(diào)整、積累、提升的過(guò)程，是建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排必須依據(jù)于學(xué)生的年齡特征及心理發(fā)展規(guī)律，學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)也呈螺旋上升之勢(shì)，各領(lǐng)域的知識(shí)板塊看似獨(dú)立卻相互交融，有著不可分割的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生捕捉知識(shí)的建構(gòu)點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)及聯(lián)結(jié)點(diǎn)，確立變式的“本”，綜合學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生串起一條美麗的知識(shí)“項(xiàng)鏈”，抑或編織一幅靚麗的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，使學(xué)生在點(diǎn)—線(xiàn)—面—體的建構(gòu)過(guò)程中，豐富認(rèn)知，積累經(jīng)驗(yàn)，在一維—二維—三維的深化提升中發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

如上述所例舉的“長(zhǎng)方體和正方體的體積”一課，能夠一針見(jiàn)血地抓住長(zhǎng)方體的體積計(jì)算就是看長(zhǎng)方體里有幾個(gè)體積單位，緊緊立足于學(xué)生在認(rèn)識(shí)體積單位時(shí)所積累的經(jīng)驗(yàn)“用體積單位來(lái)測(cè)量物體的體積”，并且一次貫穿始終，在課尾回顧反思時(shí)，出示華羅庚的名言——量起源于量，將長(zhǎng)度、面積、體積之間的聯(lián)系打通。結(jié)合PPT的演示（如圖7），引導(dǎo)學(xué)生思考：要知道這條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，咱們用長(zhǎng)度單位去測(cè)量；要知道這個(gè)長(zhǎng)方形面積呢？咱們用面積單位測(cè)量，看每排擺幾個(gè)，擺了幾排，實(shí)際上就是看長(zhǎng)和寬里各有幾個(gè)長(zhǎng)度單位，用長(zhǎng)×寬計(jì)算面積。今天咱們研究長(zhǎng)方體體積，是用體積單位去測(cè)量，不僅要知道每排擺幾個(gè)，擺了這樣的幾排，還要知道擺了幾層，實(shí)際上就是看長(zhǎng)、寬、高里各有幾個(gè)長(zhǎng)度單位，然后用長(zhǎng)×寬×高計(jì)算體積。通過(guò)測(cè)量，不僅找出了計(jì)算公式，還溝通了長(zhǎng)度、面積和體積之間的聯(lián)系。這樣的探究，不僅豐盈了學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，還增強(qiáng)了學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力，提升了其思維的廣度與深度。

四、依據(jù)數(shù)學(xué)邏輯，摸準(zhǔn)變式的“理”，深化思維

皮亞杰說(shuō)：“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開(kāi)始?！睂W(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展需建立在學(xué)生切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的“過(guò)程”與“經(jīng)歷”之中。課堂上，教師應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)形式豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，把學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)注入于學(xué)生全員參與、自主探究、操作體驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，使學(xué)生在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)、豐富想象、積累經(jīng)驗(yàn)、深化思維。如蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”一課，課伊始，拋出問(wèn)題：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些平面圖形的面積計(jì)算方法？是怎樣研究的？從而使學(xué)生感悟到要研究圓的面積計(jì)算方法，就要將圓轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面圖形?；诖耍處熃o予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的圓片，將圓平均分成16份，嘗試拼擺出近似的平行四邊形、三角形和梯形（如圖8）， 并在觀察中發(fā)現(xiàn)各圖形與圓之間的關(guān)系，借助計(jì)算，推理出圓的面積計(jì)算方法。雖然轉(zhuǎn)化成的圖形不同，但是殊途同歸，都得到了圓的計(jì)算公式是πr2。

此環(huán)節(jié)，學(xué)生多形式的轉(zhuǎn)化，依據(jù)的是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)在邏輯，變更的是研究問(wèn)題的角度與方法，學(xué)生在對(duì)變與不變的分析思考中，感悟到了變式的“理”所在，既深化了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，又豐富了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而使思維向更深處漫溯。

數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式絕不是舊瓶裝新酒，更不是換湯不換藥，它基于對(duì)教材的深刻研讀，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)間的內(nèi)在邏輯。教師需從學(xué)生的已有知識(shí)基礎(chǔ)和實(shí)際學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，有依據(jù)地變，有方向地變，有價(jià)值地變，使學(xué)生的思維在“變式”中燃燒，智慧在“變式”中流淌。