王兆南，張元海

(蘭州交通大學 土木工程學院， 蘭州 730070)

1 引 言

垂向偏心荷載作用下，由于箱梁畸變的影響，準確計算箱梁的橫向彎矩是橋梁設計中需要關注的重點問題，國內(nèi)外學者對此作了不少研究。研究方法可分兩種，一種為框架分析法[1-6]，通過疊加施加了剛性支承和解除剛性支承且考慮了畸變影響的框架彎矩，得出箱梁的橫向彎矩；一種為能量變分法[3]，通過對取出的單位長度框架以施加剛性支承和解除剛性支承的方式計算箱梁的橫向彎矩，但基本計算模型和框架分析法不同，通過能量變分法解出箱梁頂板上的剪力差，最后得到箱梁的橫向彎矩。對于箱梁橫向內(nèi)力的研究，Chithra等[7]采用SFA(Simple Frame Analysis)法分析單箱雙室箱梁的橫向內(nèi)力，并對結果采用三維有限元程序進行了計算對比。Kurian等[8,9]分析了SFA法的不足，并分析了腹板和懸臂板厚度的比值變化及車輛荷載對橫向彎矩的影響。文獻[10，11]對彎箱梁橋的橫向內(nèi)力進行了研究。鐘新谷等[12]采用有限元對箱梁橫向內(nèi)力進行了計算和分析。由于箱梁畸變對橫向彎矩的影響不容忽視，無論采用類似于研究扭轉的方法[13]還是采用廣義坐標法[14]，或采用HSA(Hamiltonian Structural Analysis Method)法[15-18]都涉及到畸變微分方程的求解，得到箱梁畸變角或畸變位移。

采用框架分析法計算箱梁的橫向彎矩，公式簡單，但方程個數(shù)較多，求解較為繁瑣[1-6]；能量變分法目前僅用于矩形截面箱梁的分析。本文根據(jù)需要優(yōu)化框架分析法的方程，在剛性支承法的基礎上，考慮箱梁畸變角和橫向彎矩的關系，給出了更加簡單的求解橫向彎矩的方法；之后，用能量變分法分析了梯形截面箱梁的橫向彎矩；最后，結合算例對這幾種計算方法進行驗證。

2 基本假定

等高度梯形截面簡支箱梁，頂板上作用有垂向偏心均布荷載p(z)，記為p，單位為kN/m。從跨中截取單位長度的梁段，其頂板、底板和腹板等板件形成一個閉合框架如圖1所示，并假定

(1) 組成框架各板件的橫向變形忽略不計，箱形截面的周邊不可壓縮，橫向應變?yōu)?。

(2) 箱梁發(fā)生畸變翹曲時，組成箱形截面的各板件作為各縱向板梁的橫截面，分別滿足平截面假定。

(3) 忽略箱梁各板件厚度對翹曲的影響，剪應力和翹曲正應力沿壁厚均勻分布。

箱梁橫向彎矩分析模型，根據(jù)框架B點是否施加側向水平支承分為兩種，如圖2所示。橫向彎矩最簡化的方法為剛性支承法，一般取圖2(a)的分析模型，由于不考慮畸變，計算結果較為粗略。箱梁頂板上的垂向偏心荷載使箱梁產(chǎn)生畸變，因此通常采用框架分析法計算橫向彎矩。

3 框架分析法

用框架分析法進行箱梁橫向彎矩分析一般會有9個方程[1-6]。在圖2(a)虛設了剛性支承分析模型的計算基礎上，解除剛性支承，代之以反向支承力進行畸變橫向彎矩的計算，將求得的解除剛性支承的框架橫向彎矩和施加了剛性支承的橫向彎矩疊加可得箱梁的最終橫向彎矩。虛設剛性支承的框架橫向彎矩和支承力可采用結構力學的方法或有限元進行計算。將得到的支承力反向加在框架上，并分解為正對稱荷載和反對稱荷載qh=(R1-R2)/2和qs=-R3=R4，其中R1和R2為箱梁點D和C的豎向支承力，R3和R4為箱梁點D和B的水平支承力。正對稱荷載作用下框架的橫向彎矩較小，可忽略，反對稱荷載qh和qs作用下箱梁將發(fā)生畸變并產(chǎn)生畸變橫向彎矩。此時，箱梁頂板、底板和腹板上存在著扭轉剪力差ts，tx和th及畸變剪力差Ts，Tx和Th，剪力差和反對稱荷載分布如圖3所示。

圖1 箱梁橫截面

Fig.1 Cross section of box girder

圖2 橫向彎矩分析模型

Fig.2 Analysis model of transverse bending moment

圖3 框架剪力差及反對稱荷載

Fig.3 Shear increments and dissymmetric load

箱梁各角點彎矩的計算點和正負值的規(guī)定如圖4所示，各角點的畸變橫向彎矩值可采用各板件跨中的剪力Qs，Qh和Qx來表示，由此可得式(1，2)，其中ηm為腹板上畸變彎矩反彎點高度的比值。

Qh=Qs(1+ηm)a4/(2a1)

(1)

Qx=Qsηma4/a2

(2)

根據(jù)假定，箱梁發(fā)生畸變變形時，截面上的畸變正應力在各板件上的分布為線性，并合成各板件上的力矩，如圖5所示。頂板、腹板和底板上的力矩為Mo，Mc和Mu。其中σA和σD為框架A和D兩點的畸變正應力，令β=σD/σA，α0=1+2d/a4，β可根據(jù)各板件畸變力矩對y軸的平衡得出。

圖4 箱梁畸變橫向彎矩

Fig.4 Distortion transverse moment of box girder

圖5 畸變正應力及力矩

Fig.5 Distortion warping stress and moments

圖6 箱梁各板件板端位移

Fig.6 Displacement of plate of box girder

根據(jù)箱梁畸變位移協(xié)調(diào)原理，有γ01+γ02+2γh=2γ1-γ2，將γ01，γ02，γh，γ1和γ2代入得到，

(3)

(4)

式中Γ3=1+a4ηm/a2。通過式(4)可求得板件上的剪力Qs，并換算求得解除剛性支承的框架畸變橫向彎矩，將其和施加了剛性支承的橫向彎矩疊加可得箱梁的最終橫向彎矩。本文根據(jù)需要將方程優(yōu)化至4個，簡化了計算過程。

4 本文方法

框架分析法得出的方程形式簡單，適用于工程設計人員使用，但方程個數(shù)較多，推導過程較為復雜。事實上，考慮到箱梁畸變角和畸變橫向彎矩的直接關系，在剛性支承法計算的基礎上，通過求解畸變角，再換算得出箱梁的畸變橫向彎矩，經(jīng)疊加則可求得箱梁最終的橫向彎矩。以框架角點D的畸變角γ為未知量的箱梁四階畸變控制微分方程為

γ″″+4λ4γ=pΩ/(EIω d)

(5)

式中λ=[IR/(4Iω d)]1/4，EIω d為箱梁的抗畸變翹曲剛度，Iω d的單位為m6。

EIR為箱梁橫向框架剛度，IR的單位為m2，其中Ω=a1(a2+a4)/(2h)，E為各板件彈性模量。

圖7 箱梁頂板的側移

Fig.7 Lateral displacement of top slab of box girder

根據(jù)箱梁畸變微分方程和彈性地基梁撓曲微分方程的相似關系，可得箱梁跨中作用單位畸變荷載時箱梁畸變角的影響線。當箱梁跨中作用單位畸變荷載時，畸變微分方程的初參數(shù)解如式(6，7)。設梁長為L，若λL>2π，微分方程可用式(6)求解；若λL≤2π，可用式(7)求解，其中γ0，Bω d 0和Qω d 0分別為坐標原點的畸變角、畸變雙力矩及畸變矩，其值可由相應的邊界條件確定[13]。式中z為箱梁各截面距跨中坐標原點的距離。

(6)

[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

(7)

畸變角γ和各板元橫向板端彎矩之間的關系可采用圖乘法導出。如圖7的框架，當頂板點B作用單位水平力時，頂板的側移值為δh，頂板跨中剪力值為X，δh和X可采用圖乘法求出。由于γ2較小，可認為γ1為畸變角γ，所以角點D的夾角改變?yōu)棣脮r，頂板的水平位移為γa1sinθ，頂板點B作用的水平力為γa1sinθ/δh，有a1sinθ=h，頂板跨中剪力值為γhX/δh，對點A取矩有mA B=mA D=γa4hX/(2δh)，同理可得mD C=mD A=γ(2h2-a2hX)/(2δh)。

令k1=a4hX/(2δh)，k2=(2h2-a2hX)/(2δh)，

則有

mA B=k1γ,mD C=k2γ

(8,9)

畸變橫向彎矩關于y軸對稱，和剛性支承法計算的彎矩疊加就得到箱梁最終的橫向彎矩。該方法借助于成熟的以畸變角為未知量的畸變微分方程，求出畸變角，并通過式(8,9)得出畸變橫向彎矩，與框架分析法相比過程簡單，理論明確，能直接反映箱梁畸變對橫向彎矩的影響。

5 能量變分法

箱梁橫向彎矩的計算可采用能量變分法，以 圖2(b)的分析模型進行分析。將箱梁頂板上作用的垂向偏心荷載分解為正反對稱荷載，如圖8所示，a為荷載與頂板邊緣的距離，e為荷載作用在頂板上的間距。

框架在正對稱荷載作用下的橫向彎矩可采用先加支承，再解除支承，代之以反向支承力的方法計算，最后將二者疊加形成正對稱荷載作用下框架的橫向彎矩。正對稱荷載產(chǎn)生的橫向彎矩采用有限元或結構力學的方法就可簡單求得。

框架在反對稱荷載作用下的橫向彎矩也采用先加支承，后解除支承，代之以反向支承力的方法分析。加支承的框架上除了反對稱荷載外，各板件上還有未知的剪力差T(z)，記為T，如圖9所示?？蚣軓澗貙⒂煞磳ΨQ荷載p/2和剪力差T共同產(chǎn)生。其中Ts 2,Tx 2和Th 2分別為頂板、底板和腹板上的剪力差，在剪力差單獨作用下，導致框架側移并產(chǎn)生的內(nèi)力為Ts 2，所以本文的未知剪力差T指Ts 2。

剪力差T可采用能量變分原理構建一個以T為未知量的微分方程求出，再用結構力學的方法得出頂板剪力差引起的框架彎矩，反對稱荷載p/2引起的框架彎矩可用結構力學的方法或有限元法求出。

5.1 框架總勢能

反對稱荷載p/2引起圖9框架的水平位移為ΔP(z)=pKP，剪力差T引起的框架水平位移為ΔT(z)=TKT，則框架的總位移Δ(z)=pKP+TKT，微分兩次可得式(10)，其中KP和KT的表達式見附錄。

(10)

5.1.1 框架橫向彎曲應變能Πw

單位長梁段在反對稱荷載p/2和剪力差T共同作用下的橫向彎曲應變能為

圖8 框架上荷載的分解

Fig.8 Loads decomposition of frame

圖9 反對稱荷載作用下加支承的框架

Fig.9 Supported frame under dissymmetric loads

(11)

式中MP和MT分別為加支承框架在反對稱荷載p/2和剪力差T作用下框架的彎矩，I為各板件面外慣性矩，對s的積分路徑為箱形截面的周長。式(11)的運算可通過對圖9框架的彎矩圖乘得到，則框架的橫向彎曲應變能為

Πw=p2Km P+T2Km T+TpKm P T

(12)

式中Km P，Km T和Km P T的表達式見附錄。

5.1.2 框架上外部荷載勢能ΠP

反對稱荷載作用下箱梁截面將有轉角θ(z)，記為θ，則箱梁截面的轉角θ為

(13)

式中Mθ為框架頂板跨中作用單位力矩產(chǎn)生的框架彎矩，同理可通過相應彎矩圖的圖乘對式(13)進行運算，得到θ=pKθ P+TKθ T。其中，Kθ P和Kθ T的表達式見附錄，則框架上的外荷載勢能為

Πp=-(p2Kθ P+pTKθ T)e/2

(14)

5.1.3 框架縱向翹曲應變能Πq

Πq=Kq[Δ″(z)]2

(15)

式中Kq的表達式見附錄，將式(10)代入后得到Πq為

(16)

通過以上分析，計入框架橫向彎曲應變能、翹曲應變能和外荷載勢能的框架總勢能為

Π=Πw+Πq+ΠP

(17)

5.2 微分方程的建立及求解

代入相應的項并根據(jù)歐拉方程，運算可得微分方程為

T″″KqKT+TKm T+pKm P T/2-peKθ T/4=0

(18)

(19)

該微分方程和彈性地基梁撓曲微分方程相似，可采用比擬的彈性地基梁解法求解，當p(eKθ T-2Km P T)/(4KT)為單位荷載時，其彈性地基梁解為式(20)，其中k=Km T/KT。由式(20)可解得單位荷載作用下框架的剪力差，將結果乘以p(eKθ T-2Km P T)/(4KT)可得反對稱荷載作用下加支承框架的剪力差T。

(20)

箱梁在固定端、設置了剛性橫隔板的簡支端和自由端，有T(z)=0。求出剪力差T后，可得剪力差作用下的框架橫向彎矩，并和反對稱荷載p/2作用下的框架橫向彎矩疊加得到反對稱荷載作用下加支承框架的橫向彎矩。

在計算反對稱荷載作用下的框架橫向彎矩時，當支承力反向加在解除支承的框架上時，該部分的箱梁畸變橫向彎矩可通過求解畸變角γ后換算得出。求出框架的畸變橫向彎矩后與反對稱荷載作用下加支承的框架橫向彎矩以及正對稱荷載作用下加支承的框架橫向彎矩疊加，得到框架的最終橫向彎矩。

能量變分法分析過程較為復雜，但可用于變截面箱梁的橫向彎矩計算；框架分析法公式較為簡單，但方程個數(shù)較多；本文給出的方法在考慮畸變對橫向彎矩的影響時較為直觀，公式較少?，F(xiàn)給出數(shù)值算例說明各橫向彎矩計算方法結果的差異。

6 數(shù)值算例

算例1梯形截面簡支箱梁，其上作用有均布線荷載p=1 kN/m，計算跨徑L=1.2 m，材料彈性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37，截面尺寸如圖10所示，荷載p作用位置離點A為50 mm。通過本文箱梁橫向彎矩計算方法，計算各角點的橫向彎矩，列入表1。

圖10 算例1的箱梁截面尺寸(單位:mm)

Fig.10 Cross section of example 1 (unit:mm)

表1 不同方法求解算例1框架橫向彎矩對比

Tab.1 Transverse bending moment comparison of example 1 for different methods

角點ABCD剛性支承法彎矩①-26.120-9.5180.082-3.441框架分析法彎矩[5]②-22.897-12.741-7.7634.404能量變分法彎矩③-23.118-12.344-9.1155.710本文方法彎矩④-22.753-12.563-8.2584.935有限元法彎矩[5]⑤-22.068-12.108-8.7865.206誤差1/%3.765.23-11.64-15.41誤差2/%4.761.953.749.68誤差3/%3.103.76-6.01-5.21注:彎矩單位為10N·m/m,誤差1=(②-⑤)/⑤×100,誤差2=(③-⑤)/⑤×100,誤差3=(④-⑤)/⑤×100。

剛性支承法由于不考慮畸變產(chǎn)生的彎矩所以誤差較大；框架分析法考慮了畸變橫向彎矩，使計算精度有了很大的提高，但角點C和D的彎矩依然存在較大的誤差，其誤差分別為-11.64%和 -15.41%；能量變分法得出的結果將點C和D的彎矩誤差降到了3.74%和9.68%，相比框架分析法，雖角點A彎矩的誤差略微增大，但其余角點誤差較?。槐疚姆椒◤澗卣`差絕對值最大為6.01%。相比框架分析法，本文方法和能量變分法使點C和D的彎矩誤差有所減小，精度得到提高。

算例2鐵路雙線無砟軌道簡支箱梁，計算跨徑L=31.5 m，C50混凝土，彈性模量E= 34.5 GPa，泊松比μ=0.17，結構自重為25 kN/m3，活載換算為箱梁的橫向荷載p=27.28 kN/m2，其橫向分布寬度為2.8 m。箱梁截面及荷載分布如圖11所示,計算結果列入表2。

有限元采用殼單元計算，由表2可以看出，通過文中橫向彎矩計算結果的比較，框架分析法結果在角點D的誤差為8.26%，能量變分法的點D誤差為3.10%，本文方法得出的點D誤差為 4.56%。能量變分法和本文方法降低了箱梁底板的彎矩誤差。

圖11 算例2的箱梁截面尺寸(單位：cm)

Fig.11 Cross section of example 2(unit：cm)

表2 不同方法求解算例2框架橫向彎矩對比

Tab.2 Transverse bending moment comparison of example 2 for different methods

角點ABCD剛性支承法彎矩①-316.220-293.090-157.340-157.340框架分析法彎矩②-296.090-313.220-181.550-133.130能量變分法彎矩③-291.726-311.644-180.456-126.786本文方法彎矩④-293.457-312.254-180.874-128.578有限元法彎矩⑤-287.210-306.050-171.670-122.970誤差1/%3.092.345.768.26誤差2/%1.571.835.123.10誤差3/%2.182.035.364.56注:彎矩單位為kN·m/m,誤差1=(②-⑤)/⑤×100,誤差2=(③-⑤)/⑤×100,誤差3=(④-⑤)/⑤×100。

7 結 論

(1) 本文優(yōu)化了框架分析法計算箱梁橫向彎矩的方程，簡化了計算過程。在剛性支承法計算的基礎上，直接給出用畸變角計算畸變橫向彎矩的方程，簡化畸變橫向彎矩的計算過程，數(shù)值結果表明，本文方法結果和有限元結果誤差絕對值不超過 6.01%。

(2) 采用能量變分法給出了梯形截面箱梁橫向彎矩計算的以頂板剪力差為未知量的四階控制微分方程，能量變分法橫向彎矩計算結果和有限元結果誤差不超過9.68%。

(3) 相比框架分析法，采用本文方法和能量變分法計算箱梁橫向彎矩，能有效降低箱梁底板上的彎矩誤差，提高橫向彎矩的計算精度。

附 錄：

η2=[a1(a4-a2)(2a4+a2)/(a2I1)+

2a2a2η2(3a4-2a)+2a2(3a4-3a2-2a)+

4a2η3-4a4η3)+a1(a4-a2)(6a-a4+a2-