趙維濤，劉照琳，祁武超

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽 110136)

1 引 言

為合理考慮不確定性對結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響，學(xué)者們提出了基于可靠性設(shè)計優(yōu)化RBDO(Reliability-Based Design Optimization)的概念[1,2]。在過去的幾十年中，對RBDO問題提出了雙循環(huán)法、單循環(huán)法和解耦法。雖然這些算法在理論上可以較好地解決RBDO問題，但對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，特別是具有多失效模式的結(jié)構(gòu)，可靠度計算較耗時。為解決這一問題，學(xué)者們提出了代理模型。目前，高斯回歸過程模型[3-5]已成為最具代表性的代理模型之一。高斯回歸過程模型可分為單輸出高斯過程SOGP(Single Output Gaussian Process)[6]與多輸出高斯過程MOGP(Multiple Output Gaussian Process)模型[7,8]。SOGP僅對單個極限狀態(tài)函數(shù)進行建模，在模型構(gòu)建過程中未考慮各極限狀態(tài)函數(shù)之間可能存在的相關(guān)性；而MOGP引入了協(xié)方差矩陣，可模擬各失效模式之間可能存在的相關(guān)性。在實際工程中，具有共同輸入的多個極限狀態(tài)函數(shù)之間必然存在相關(guān)性。因此，在代理模型構(gòu)建過程中考慮極限狀態(tài)函數(shù)間的相關(guān)性是必要的。

通常MOGP模型與學(xué)習(xí)函數(shù)相結(jié)合，以平衡其精度和效率。常用的學(xué)習(xí)函數(shù)有期望可行性函數(shù)EFF(Expected Feasibility Function)[9]、U函數(shù)[10]、H函數(shù)[11]和最少改進功能[12]等。學(xué)習(xí)函數(shù)用于從訓(xùn)練樣本中篩選對提高MOGP模型預(yù)測精度有利的樣本點。MOGP模型主要用于結(jié)構(gòu)可靠度計算，初始樣本和訓(xùn)練樣本均以隨機變量均值點為中心，依據(jù)隨機變量的分布形式生成，樣本點主要集中在隨機變量均值點附近，導(dǎo)致MOGP模型全局近似精度不佳，在優(yōu)化過程中可能需要重新建模[9-12]。

本文首先利用Bucher方法生成初始樣本并構(gòu)建初始MOGP模型，其次在設(shè)計空間內(nèi)均勻布置訓(xùn)練樣本以保證訓(xùn)練樣本的均勻性，確保訓(xùn)練后的MOGP模型具有較好的全局近似精度，最后利用訓(xùn)練后的MOGP模型采用RIA(Reliability Index Approach)[1]、PMA(Performance Measure Approach)[2]與SORA(Sequential Optimization and Reliability Assessment)[13]求解RBDO問題。

2 代理模型

2.1 MOGP模型

MOGP模型的數(shù)學(xué)表達式為

y(·)～N(h(·)B,Σm × mR(·,·))

(1)

式中h(·)為基函數(shù)矢量，B為回歸模型的回歸系數(shù)矩陣，Σm × m為協(xié)方差矩陣，R(·,·)為相關(guān)函數(shù)，m為輸出矢量個數(shù)(即失效模式個數(shù))。

相關(guān)函數(shù)采用高斯指數(shù)模型，并采用最大似然估計相關(guān)參數(shù)。在估計出未知參數(shù)B和Σm × m與相關(guān)參數(shù)之后，任意輸入矢量x的預(yù)測值μy(x)與方差Σy(x)的表達式為

μy(x)=(h(x)B)T+(Σm × m?r(x))×

(Σm × m?R)-1vec(Y-HB)

(2)

Σy(x)=Σm × m-(Σm × m?r(x))×

(Σm × m?R)-1(Σm × m?r(x))T

(3)

式中H為樣本點所對應(yīng)的基函數(shù)矢量構(gòu)成的矩陣，r(x)為輸入矢量與樣本點構(gòu)成的相關(guān)函數(shù)矢量，R為相關(guān)函數(shù)矩陣，Y為樣本點輸出矩陣，?是克羅內(nèi)克積運算符。

MOGP與SOGP的主要區(qū)別在于，MOGP引入了協(xié)方差矩陣來表示各極限狀態(tài)函數(shù)之間可能存在的相關(guān)性。若各失效模式之間存在相關(guān)性，則協(xié)方差矩陣中各元素非零；若各失效模式之間不存在相關(guān)性，則協(xié)方差矩陣為對角矩陣。協(xié)方差矩陣可由構(gòu)建MOGP模型的樣本點確定，其表達式為

(4)

式中Nt為構(gòu)建MOGP模型的樣本點數(shù)量。

2.2 學(xué)習(xí)函數(shù)

基于MCS計算結(jié)構(gòu)失效概率的公式可知，在利用代理模型并結(jié)合MCS計算結(jié)構(gòu)失效概率時，對結(jié)構(gòu)失效概率起決定性影響的是極限狀態(tài)函數(shù)的符號。因而，如果MOGP模型能夠?qū)O限狀態(tài)極限函數(shù)的符號精準預(yù)測，則可得到較為準確的失效概率?；谶@種思想學(xué)者們開發(fā)了主動學(xué)習(xí)函數(shù)來提高MOGP模型的預(yù)測精度，目前已提出多個學(xué)習(xí)函數(shù)，其中Echard等[10]開發(fā)的U函數(shù)簡單可靠，其表達式為

(5)

(6)

式中r與mj為串并聯(lián)系統(tǒng)中串聯(lián)與并聯(lián)個數(shù)。

3 RBDO問題

3.1 可靠性指標法

在雙循環(huán)方法中，概率性約束描述為可靠性指標不小于目標可靠性指標，此種描述方法稱為可靠性指標法RIA[1]。其數(shù)學(xué)表達式為

min.C(d)

(7)

3.2 功能度量法

功能度量法PMA[2]是一種逆可靠度分析的方法，采用概率功能度量值衡量可靠性，具體表述為在目標可靠性指標條件下的概率功能度量值不小于0。其數(shù)學(xué)表達式如下，

min.C(d)

(8)

3.3 序列優(yōu)化與可靠性評估

序列優(yōu)化與可靠性評估方法SORA[13]是將設(shè)計變量優(yōu)化與可靠度計算依次循環(huán)的方法。在每次循環(huán)中包含兩個部分，一部分為基于設(shè)計變量的確定性優(yōu)化，另一部分為基于PMA的可靠性分析。其數(shù)學(xué)表達式為

min.C(dk)

(9)

4 本文方法

本文方法的具體流程如下。

(1) 采用Bucher方法生成初始樣本并計算與之對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)； (2) 基于初始樣本構(gòu)建初始MOGP模型； (3) 在整個設(shè)計空間內(nèi)均勻布置訓(xùn)練樣本105～106個； (4) 利用已構(gòu)建的MOGP模型計算訓(xùn)練樣本的預(yù)測值μy(x)與方差Σy(x)；(5) 利用預(yù)測值μy(x)與方差Σy(x)計算訓(xùn)練樣本點對應(yīng)的U函數(shù)值； (6) 尋找訓(xùn)練樣本中具有最小U函數(shù)值的樣本點x*。當U(x*)≥2時，跳轉(zhuǎn)至步驟(10)，否則計算x*對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)； (7) 將x*與其響應(yīng)值分別加入初始樣本輸入和輸出矩陣，并將該樣本點從訓(xùn)練樣本中刪除； (8) 基于更新后的初始樣本修正MOGP模型； (9) 跳轉(zhuǎn)至步驟(4)； (10) 利用已構(gòu)建的代理模型，分別采用RIA和PMA與SORA求解RBDO問題。

從以上流程可以看出，本文方法分為代理模型構(gòu)建和基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化兩部分，且這兩部分完全分離，即先構(gòu)建代理模型，然后利用已經(jīng)建立的代理模型開展基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，代理模型的構(gòu)建不受結(jié)構(gòu)可靠度以及優(yōu)化算法的限制。

5 數(shù)值算例

算例1具有三個串聯(lián)概率約束的RBDO問題[14,15]定義為

min.f(d)=μx1+μx2

(0.0≤μxi≤10.0，σxi=0.3 (i=1,2))

(10)

當初始樣本中心取為不同值時(對應(yīng)圖1～ 圖3 )，MOGP模型構(gòu)建所需調(diào)用真實模型次數(shù)分別為9+36,9+36和9+33，相差無幾，進一步說明本文方法對初始樣本中心不敏感。

圖1 算例1的MOGP模型(初始樣本點-1)

Fig.1 MOGP of example 1(initial sample point-1)

圖2 算例1的MOGP模型(初始樣本點-2)

Fig.2 MOGP of example 1(initial sample point-2)

圖3 算例1的MOGP模型(初始樣本點-3)

Fig.3 MOGP of example 1(initial sample point-3)

圖4 算例1的SOGP模型(訓(xùn)練樣本-1)

Fig.4 SOGP of example 1(training samples -1)

RBDO問題求解。利用訓(xùn)練后的MOGP模型進行RBDO問題求解，算例1的計算結(jié)果列入 表1?？梢钥闯?，當設(shè)計變量服從不同分布時，基于MOGP模型三種優(yōu)化算法的計算結(jié)果與文獻[14，15]的計算結(jié)果幾乎一致，說明本文方法具有較好的近似精度。在計算效率方面，本文方法需調(diào)用真實模型45次(初始樣本點為9個，后續(xù)訓(xùn)練模型共增加了36個樣本點)，而文獻方法需調(diào)用真實模型約130～200次，表明本文方法的計算效率較好。

算例2具有3個概率約束的RBDO問題，其中極限狀態(tài)1與2并聯(lián)，然后二者與極限狀態(tài)3串聯(lián)，定義為

圖5 算例1的SOGP模型(訓(xùn)練樣本-2)

Fig.5 SOGP of example 1(training samples-2)

表1 算例1的計算結(jié)果

Tab.1 Calculation results of example 1

分布本文RIAPMASORA文獻[14]文獻[15]x1,x2～Normald*3.4393.2873.4393.2873.4393.2873.4393.2873.4393.287β3.03.010.03.03.010.03.03.010.02.973.05 Inf3.03.010.0Nf9+369+369+36136 183 x1,x2～Lognormald*3.4003.1863.4013.1863.4013.186 -3.4013.186β3.03.07.93.03.07.93.03.07.9 -3.03.07.8Nf9+369+369+36 -178 x1～Normalx2～Lognormald*3.4713.2083.4713.2083.4713.208 -3.4713.208β3.03.08.83.03.08.83.03.08.8 -3.03.08.9Nf9+369+369+36 -188 x1,x2～Gumbeld*3.2803.0113.2803.0113.2803.011 -3.2803.010β3.03.05.33.03.05.33.03.05.3 -3.03.05.3Nf9+369+369+36 -183

min.f(d)=(μx1-3)2+(μx2+1)2

s.t.Pfj(g(x)<0)≤Φ(-βT),βT=3.0

g2(x)=2-x1-8x2

g3(x)=(x1+3)2+(x2+3)2-4

-5.0≤μxi≤5.0σxi=1 (i=1,2)

(11)

算例3具有7個相互獨立的正態(tài)設(shè)計變量和11個串聯(lián)概率約束的RBDO問題[14,16]定義為式(12)。

圖6 算例2的MOGP模型

Fig.6 MOGP of example 2

表2 算例2的計算結(jié)果

Tab.2 Calculation results of example 2

Distribution本文RIAPMASORA真實模型+RIAx1,x2～Normald*2.736-3.1152.736-3.1152.736-3.1152.736-3.115β3.0 3.0 3.0 3.0 Nf9+229+229+22496

g7(x)=x2x3-40,g8(x)=5-x1/x2

g9(x)=x1/x2-12

g10(x)=(1.56x6+1.9)/x4-1

g11(x)=(1.1x7+1.9)/x5-1

2.6≤μx1≤3.6, 0.7≤μx2≤0.8

17≤μx3≤28, 7.3≤μx4≤8.3

7.3≤μx5≤8.3, 2.9≤μx6≤3.9

5.0≤μx7≤5.5σxi=0.005 (i=1,2,…,11)

(12)

表3 算例3的計算結(jié)果

Tab.3 Calculation results of example 3

本文RIAPMASORAd*3.5765,0.7000,17.0000,7.3000,7.7537,3.3652,5.3017βInf,Inf,Inf,Inf,3.013,3.002,Inf,3.003,Inf,Inf,2.956Nf29+91d*3.5764,0.7000,17.0000,7.3000,7.7538,3.3652,5.3017βInf,Inf,Inf,Inf,2.993,3.015,Inf,2.986,Inf,Inf,2.956Nf29+91d*3.5765,0.7000,17.0000,7.3000,7.7538,3.3652,5.3017βInf,Inf,Inf,Inf,3.018,3.005,Inf,3.001,Inf,Inf,2.956Nf29+91文獻[14]d*3.5765,0.7000,17.0000,7.3000,7.7541,3.3652,5.3017βInf,Inf,Inf,Inf,3.000,3.000,Inf,3.001,Inf,Inf,3.000Nf514文獻[16]d*3.580,0.700,17.000,7.300,7.764,3.366,5.302βInf,Inf,Inf,Inf,3.14,3.08,Inf,3.14,Inf,Inf,4.23Nf627

6 結(jié) 論

(1) 本文方法首先利用Bucher方法生成初始樣本并構(gòu)建初始MOGP模型，然后采用均勻布點的方法生成訓(xùn)練樣本，并利用學(xué)習(xí)函數(shù)對初始MOGP模型進行不斷訓(xùn)練。由于訓(xùn)練樣本均勻遍布整個設(shè)計空間，利用學(xué)習(xí)函數(shù)能夠在大范圍內(nèi)篩選出較為滿意的訓(xùn)練樣本，從而使得MOGP模型具有較好的全局精度。

(2) MOGP模型本身考慮了輸出矢量可能存在的相關(guān)性，即針對多個極限狀態(tài)函數(shù)只需一次模型構(gòu)建，無需對每個極限狀態(tài)函數(shù)分別建立代理模型，對多輸入多輸出系統(tǒng)具有良好的預(yù)測性能。

(3) 本文方法先構(gòu)建MOGP模型，待MOGP模型構(gòu)建完成后，再利用構(gòu)建后MOGP模型進行基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。即在整個優(yōu)化過程中無需重新構(gòu)建MOGP模型，且代理模型的構(gòu)建不受結(jié)構(gòu)可靠度以及優(yōu)化算法的限制。數(shù)值算例表明，本文方法的計算結(jié)果與文獻方法幾乎一致，且本文方法的計算效率要明顯優(yōu)于文獻方法，尤其是設(shè)計變量數(shù)目與失效模式數(shù)目較多時效率提升明顯。