李 明，張小娟，余德啟，舒?zhèn)チ?，?凱

(1.大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024;2.上海汽輪機廠有限公司 上海電氣，上海 200240)

1 引 言

汽輪機作為重要的旋轉動力機械，廣泛應用于能源和運輸行業(yè)。隨著社會進步和技術發(fā)展，汽輪機面臨更加惡劣的工作環(huán)境和更高的工作性能要求，易在運行時發(fā)生失效和破壞，從而造成發(fā)電機組可靠性的喪失，產生重大經濟損失。葉根是汽輪機中將葉片受力傳遞至輪槽轉子的關鍵部件，其幾何尺寸一般較小。超高轉速產生的巨大離心力作用于葉根部位，會引起較高的應力水平和葉根的失效破壞，從而影響發(fā)電汽輪機的可靠性和經濟效益。通過選用高強度材料來提升葉根強度的空間有限，并會帶來成本的上升，通過優(yōu)化葉根結構以降低應力分布水平，提高疲勞壽命，具有重要的意義。

張明輝等[1-3]使用圓弧-直線法(圓弧曲線與直線結合)參數(shù)化建模表征樅樹型葉根與輪槽型線，以幾何參數(shù)為優(yōu)化變量，通過最小化峰值等效應力給出優(yōu)化構型。Song等[4]基于圓弧和直線參數(shù)化表征樅樹形葉根，以最小化輪槽峰值應力和最大化前緣面積為優(yōu)化目標。Rao等[5-7]使用圓弧表征葉根齒型，用直線表征葉根接觸面，以最小化峰值應力為目標函數(shù)，開展葉根型線形狀優(yōu)化。邢譽峰等[8]將樅樹型榫槽看作圓弧和直線的組合體，以半徑和定位尺寸等幾何特征參數(shù)為設計變量，考慮幾何連續(xù)和尺寸約束，以輪緣峰值應力最小化為優(yōu)化目標，達到了提高使用壽命和降低成本的目的。Yu等[9]開發(fā)優(yōu)化設計平臺，基于圓弧-直線法和加權峰值應力最小化策略，自動生成和優(yōu)化葉根輪槽型線。

已有汽輪機葉根輪槽優(yōu)化設計的工作系統(tǒng)理性考慮結構設計對應力分布的影響，與費力耗時的經驗試錯法相比，具有高效和經濟的優(yōu)點，促進了汽輪機的設計與發(fā)展，但也存在著一定的不足。(1) 葉根輪槽構型的數(shù)學描述。針對樅樹型葉根，基于圓弧直線組合的方法受限于圓弧特征假設和連續(xù)性條件，無法描述超橢圓[10]等復雜曲線，限制了葉根輪槽優(yōu)化空間。(2) 優(yōu)化目標的選取。已有工作多定義最小化峰值應力為優(yōu)化目標，構建典型的min-max優(yōu)化問題。但這種優(yōu)化目標定義具備高度非線性，優(yōu)化過程中易出現(xiàn)峰值應力位置波動，造成優(yōu)化迭代震蕩和不收斂問題，使得優(yōu)化代價較高[11]。

本文以工程三齒樅樹型葉根輪槽為例，采用具有描述復雜幾何形狀能力的傅里葉級數(shù)與直線相結合的方法來表征樅樹型葉根輪槽型線，拓寬結構優(yōu)化的搜索空間。利用KS函數(shù)凝聚應力值，有利于降低目標函數(shù)的非線性程度，確保優(yōu)化快速收斂。與圓弧-直線法和最小化峰值應力的優(yōu)化結果進行比較，驗證了傅里葉級數(shù)-直線法和KS凝聚應力法的有效性。

2 樅樹型葉根輪槽的構型描述

傅里葉級數(shù)具有光滑性、對稱性和周期性[12]，在表征復雜曲線方面，具有高保真度、完備性和復雜構型描述能力?；诟道锶~級數(shù)-直線法的樅樹型葉根輪槽構型描述如圖1所示。整個型線由一個傅里葉級數(shù)構成，在相鄰拐點之間三點近似共線部分用直線代替以表征摩擦接觸。為了契合工程實際，不同接觸段直線的斜率保持一致。

圖1 基于傅里葉級數(shù)-直線法的樅樹型葉根描述

Fig.1 Illustration of fir-tree root characterization through Fourier series -line method

傅里葉級數(shù)的數(shù)學表達為

(1)

式中M，αn，βn，l和α0分別為傅里葉級數(shù)的階次、余弦項系數(shù)、正弦項系數(shù)、周期和常數(shù)項。傅里葉級數(shù)-直線法描述構型的保真度可用決定系數(shù)R2表征。決定系數(shù)表達式為

(2)

基于圓弧-直線法的樅樹型葉根輪槽構型描述如圖3所示，每個齒均由四個圓弧和兩條直線組成。圓弧間的相切條件是xj=xi+(Rj-Ri)cosθb和yj=yi+(Rj-Ri)sinθb。直線與圓弧相切條件為xi=xk-Risinθa和yi=yk+Ricosθa，其中，(xi,yi)和(xj,yj)分別是半徑Ri和Rj的圓心坐標，(xk,yk)是圓弧與直線的切點，θa和θb分別是斜線和直線段傾角。為減少設計變量數(shù)目，假設接觸段的中心點位于一條直線上，圓弧的半徑、圓心和型線上的切點均可由設計變量計算確定。

3 樅樹型葉根輪槽的優(yōu)化設計

汽輪機樅樹型葉根輪槽優(yōu)化設計調用有限元應力分析來評估設計構型的優(yōu)劣。本文基于Python語言，調用商業(yè)軟件ABAQUS進行應力有限元分析。出于計算效率考量，忽略沿深度方向的偏心扭轉效應，將三維樅樹型葉根輪槽簡化為二維平面應變結構。邊界條件為，(1) 輪槽兩側為循環(huán)對稱邊界條件；(2) 接觸面摩擦系數(shù)為0.15；(3) 固定輪槽底端表征轉子與輪槽間嵌套效果。汽輪機運行中產生的離心力作用于葉根平臺。為保證網格精度，在葉根輪槽表面指定有限厚度的緩沖層設置四邊形高階網格，每個齒對應的單元數(shù)目均不少于20，其他非敏感區(qū)域采用粗糙網格。采用CPE4I單元避免剪切自鎖現(xiàn)象。

圖2 不同階次傅里葉級數(shù)擬合的決定系數(shù)

Fig.2 Coefficient of determination for numerically fitting with Fourier series of different orders

圖3 基于圓弧-直線法的樅樹型葉根描述

Fig.3 Illustration of fir-tree root characterization through arc-line method

優(yōu)化設計中，為避免最小化峰值應力引起的收斂震蕩迭代，引入KS凝聚函數(shù)

(3)

以工程三齒樅樹型葉根輪槽為例，使用傅里葉級數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應力值開展優(yōu)化設計。為了驗證方法的有效性，同時也使用圓弧-直線法和最小化峰值應力策略進行三齒樅樹型葉根輪槽的結構設計。

(4)

圓弧-直線法葉根輪槽構型描述對應的設計變量為傾斜角θi、接觸面傾斜角θc、非接觸面傾斜角θn c、位置高度Hi、葉根高度H、接觸面寬度wi、齒間距TPi、第一齒接觸面位置高度Hp和齒面厚度ti和圓弧半徑R1。因此，基于圓弧-直線法和最小化峰值應力值的優(yōu)化列式為

(5)

優(yōu)化設計基于商業(yè)軟件Isight，采用多島遺傳算法[14,15]。優(yōu)化參數(shù)設置種群數(shù)、島嶼數(shù)、代數(shù)、交叉率、突變率、遷移率和遷移間隔分別為10,5,200,1.0,0.01,0.01和5。

4 結果與討論

4.1 確定傅里葉級數(shù)階次

如圖2所示，決定系數(shù)變化趨勢表明，為準確擬合葉根輪槽型線，傅里葉級數(shù)階次M應不小于4，但過大的M值易引起過擬合現(xiàn)象。本文基于不同M值進行優(yōu)化迭代，以40代為例，如圖4所示，當M小于6時，葉根輪槽峰值應力變化平緩；當M值大于6時，產生過擬合現(xiàn)象，峰值應力急劇上升，優(yōu)化效果差。因此，綜合考慮精度和效率、過擬合與欠擬合問題，本文選定傅里葉級數(shù)階次M=4。

圖4 基于不同階次傅里葉級數(shù)-直線法的優(yōu)化峰值應力

Fig.4 Optimized peak stresses of based on Fourier series -line method with different orders

4.2 優(yōu)化結果

本文比較基于傅里葉級數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應力值優(yōu)化策略與基于圓弧-直線法和最小化峰值應力優(yōu)化策略的優(yōu)化結果，分析兩種方法的優(yōu)劣。由圖5和圖7對比可知，最小化KS凝聚應力值的優(yōu)化策略在第80代開始收斂， 而最小化峰值應力的優(yōu)化策略在第150代開始收斂，證明KS函數(shù)可以減少迭代震蕩，加快迭代收斂速度；對比圖6(a)和圖8(a)可知，與初始構型相比，傅里葉級數(shù)-直線法以較小的構型改變即可找到最優(yōu)解，而圓弧-直線法則需要較大的構型改變方可得到優(yōu)化構型，表明在相同條件下，傅里葉級數(shù)-直線法能描述更多的構型，保證優(yōu)化可行解的完備性；對比圖6(b)和圖8(b)可知，與圓弧-直線法相比，傅里葉級數(shù)-直線法給出的優(yōu)化構型對應的峰值應力值較小，優(yōu)化效果較好。

圖5 傅里葉級數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應力值的優(yōu)化迭代歷史

Fig.5 Iteration history for Fourier series -line method and minimization of KS aggregation for stress values based optimization

圖6 基于傅里葉級數(shù)-直線法和最小化KS凝聚應力值的優(yōu)化結果

Fig.6 Optimal results of the Fourier series -line method and mini-mization of KS aggregation for stress values based optimization

圖7 基于圓弧-直線法和最小化峰值應力的優(yōu)化迭代歷史

Fig.7 Iteration history for arc-line method and minimization of peak stress based optimization

圖8 基于圓弧-直線法和最小化峰值應力的優(yōu)化結果

Fig.8 Optimal results of the arc-line method and minimization of peak stress based optimization

5 結 論

針對樅樹型葉根輪槽的優(yōu)化設計，本文基于傅里葉級數(shù)-直線法表征葉根輪槽構型，以最小化KS凝聚應力值為優(yōu)化目標，與基于圓弧-直線法和最小化峰值應力優(yōu)化策略相比較，得出的結論如下。

(1) 與基于圓弧-直線法相比，基于傅里葉級數(shù)-直線法具有更寬廣的優(yōu)化搜索空間和更精準描述構型的能力。

(2) 與最小化峰值應力優(yōu)化策略相比，最小化KS凝聚應力值可以有效地保證優(yōu)化快速收斂。

(3) 與初始構型相比，基于傅里葉級數(shù)-直線法優(yōu)化的葉根與輪槽峰值應力分別下降17.12%和35.21%，基于圓弧-直線法優(yōu)化的葉根與輪槽峰值應力分別下降11.84%和30.22%?；诟道锶~級數(shù)-直線法的優(yōu)化效果較明顯。