在中學(xué)數(shù)學(xué)中考查平面幾何的綜合運(yùn)用試題,常以三角形或四邊形為載體,考查角度或線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算、線(xiàn)段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的最值、特殊三角形的存在性等。下面將一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題改編為中等難度的幾何綜合運(yùn)用題,來(lái)談?wù)剬?duì)平面幾何題目命制的感悟。

圖1

競(jìng)賽原題：如圖1 所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在射線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng),連接ED,作∠EDF=∠BAC,且點(diǎn)F滿(mǎn)足DE=DF,G是AB的中點(diǎn),直線(xiàn)FG,AC交于點(diǎn)H,證明：BH⊥AC。

圖2

改編題：如圖2 所示,在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在射線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng),連接ED,作∠EDF= ∠BAC,且點(diǎn)F滿(mǎn)足DE=DF,BH垂直AC于點(diǎn)H,直線(xiàn)FH,AB交于點(diǎn)G。

(1)證明：BC·EF=2CH·DF。

(2)若AH=3,CH=1,求線(xiàn)段AG的長(zhǎng)度。

圖3

(3)如圖3所示,在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)C作GH的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)J,求的最大值。

命制過(guò)程：改編題雖然來(lái)源于競(jìng)賽題,但也只采用了競(jìng)賽題中兩個(gè)等腰三角形的位置,即把等腰三角形EDF的頂角放在等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn)。經(jīng)過(guò)研究我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在射線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)F的軌跡在腰AB的中點(diǎn)與腰AC邊上的垂足所連成的直線(xiàn)上,在這個(gè)基礎(chǔ)上設(shè)置了三小問(wèn)。其中(1)問(wèn)是為了讓考生不那么容易地猜到哪兩個(gè)三角形相似,利用中點(diǎn)考查了四條線(xiàn)段的2 倍關(guān)系。(2)問(wèn)由AH=3,CH=1,就能求等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng),當(dāng)一個(gè)等腰三角形的腰和底的比值定了,這個(gè)三角形的形狀就確定了,利用(1)問(wèn)的結(jié)果,考生比較容易想到旋轉(zhuǎn)全等,可以得到較多相等的角,進(jìn)而慢慢推導(dǎo),找到解題思路。(3)問(wèn)考查最值,過(guò)點(diǎn)C作GH的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)J,易知EJ-DE有最大值?；?3)問(wèn)命題目的是拉開(kāi)分差,命題者設(shè)置了門(mén)檻,要求考生的最大值,因?yàn)镋F,所以最終呈現(xiàn)出的是求的最大值。

解題思路：

(1)證明△CDH相似于△EDF。

(2)先證明△EDC≌△FDH,得到∠DCE=∠DHF,所以∠DCE-∠DHC=∠DHF-∠DHC,即∠CDH=∠CHF,由于△ABC～△DEF～△DCH,得∠CDH=∠BAC。利用對(duì)頂角相等轉(zhuǎn)化,證得∠GAH=∠AHG,所以AG=GH。又由BH⊥AC,得到AG=BG=GH,因?yàn)锳B=4,所以AG=2。

(3)用勾股定理算出AB=4,BC=2 2,得到AB∶BC= 2,由△ABC～△DEF～△DCH,得到DE∶EF= 2,因此,由三角形兩邊之差小于第三邊,得到EJ-DE＜DJ。當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到直線(xiàn)DJ與射線(xiàn)AC的交點(diǎn)時(shí),EJ-DE=DJ,因此由CJ平行GH,求出過(guò)點(diǎn)J作JM垂直BC于點(diǎn)M,用相似或三角函數(shù)算出JM=放在Rt△DJM,用勾股定理求出DJ,則