姚 國(guó)， 于永恒， 張義民， 武志花

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110819； 2.沈陽(yáng)化工大學(xué) 裝備可靠性研究所， 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

在許多工程領(lǐng)域中，非線性隔振通常是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.非線性隔振分為主動(dòng)式和被動(dòng)式，被動(dòng)隔振器[1]由于具有可靠性高、外部能量零輸入、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，如車輛[2]、航天器[3]和精密儀器[4]等.近幾年，準(zhǔn)零剛度(quasi-zero stiffness，QZS)非線性隔振器以其優(yōu)異的綜合性能吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[5].典型的非線性QZS隔振器在設(shè)計(jì)載荷質(zhì)量m下，在其平衡位置處將正剛度kv和負(fù)剛度kh單元組合起來(lái).QZS隔振器在靜平衡位置具有高靜低動(dòng)的剛度特性，QZS隔振器具有較低的主共振頻率和較小的靜撓度，從而實(shí)現(xiàn)了高承載能力的低頻隔振.

QZS隔振器可由多種方式實(shí)現(xiàn)，近些年，學(xué)者們提出了多種具有QZS特性的隔振系統(tǒng)模型.Cheng等[5]提出了一種幾何非線性阻尼器，并將其應(yīng)用于QZS隔振器中，以提高其低頻隔振性能.Zhou等[6]提出了一種具有準(zhǔn)零剛度特性的扭轉(zhuǎn)隔振器，用于衰減軸系中扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的傳遞，同時(shí)也起到了軸系間的耦合作用.Sun等[7]提出了一種多方向QZS剪刀形結(jié)構(gòu)，并與已有的QZS隔振器進(jìn)行了隔振效果對(duì)比.

為了提高QZS隔振器的低頻隔振性能，本文采用了一種X型結(jié)構(gòu)并將其應(yīng)用于QZS型隔振器的設(shè)計(jì)中.首先，應(yīng)用靜力學(xué)和泰勒公式得到了彈簧的剛度特性曲線，得出了準(zhǔn)零剛度產(chǎn)生的條件.其次，通過(guò)對(duì)X型結(jié)構(gòu)的受力分析建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，利用增量諧波平衡法(incremental harmonic balance method，IHBM)對(duì)非線性常微分方程進(jìn)行半解析求解，并通過(guò)Runge-Kutta法對(duì)比驗(yàn)證了解的一致性.最后，對(duì)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)、力傳遞率及位移傳遞率特性進(jìn)行了分析及參數(shù)討論.結(jié)果表明：本系統(tǒng)具有良好的隔振性能，可為結(jié)構(gòu)振動(dòng)的被動(dòng)控制提供一種新的解決方案.

1 QZS系統(tǒng)及建模

如圖1所示，QZS隔振器主要由兩個(gè)豎直彈簧和兩個(gè)X型結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)器組成.X型結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)器由支架、連桿、鉸鏈軸和水平彈簧組成.所有連桿的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，水平彈簧的兩端與鉸鏈軸連接，豎直彈簧兩端經(jīng)支架與加載支架和基座連接，在垂直導(dǎo)桿的作用下，加載支架只能沿垂直方向移動(dòng).水平彈簧的彈性系數(shù)為Kh，豎直彈簧的彈性系數(shù)為Kv/2，線性阻尼器的阻尼系數(shù)為C.加載支架上放置質(zhì)量為m的質(zhì)量塊.

在質(zhì)量塊重力作用下，整個(gè)系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)，所有連桿重疊并且是處于水平狀態(tài)，質(zhì)量塊的位移為

Δx=mg/Kv.

(1)

為了提供負(fù)剛度，兩個(gè)剛度系數(shù)都為Kh的水平彈簧預(yù)先壓縮的長(zhǎng)度為d，水平彈簧的彈性恢復(fù)力經(jīng)連桿和支架傳遞到加載支架上，與豎直彈簧所產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力方向相反.因此隔振器處于靜平衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)負(fù)剛度與正剛度相等時(shí)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)零剛度特性.

首先分析彈性恢復(fù)力，當(dāng)上支架受到外力f作用時(shí)，加載支架會(huì)偏離靜平衡位置并產(chǎn)生位移x，此時(shí)，QZS系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.

如圖2所示，所施加的力與位移的關(guān)系為

f(x)=fv+mg-ft.

(2)

(3)

對(duì)式(3)無(wú)量綱化處理，得到

(4)

其中:h=f/(KvL);u=x/L；β=Kh/Kv;δ=d/L.

QZS系統(tǒng)的無(wú)量綱剛度為式(4)對(duì)u的微分

(5)

令k(u=0)=0，則準(zhǔn)零剛度產(chǎn)生的條件為

(6)

將式(6)代入式(4)得到

(7)

(8)

對(duì)于不同無(wú)量綱預(yù)壓縮長(zhǎng)度δqzs，隨著加載支架位移的變化，無(wú)量綱剛度曲線見(jiàn)圖3.

從圖3可以觀察到，當(dāng)δqzs<2，QZS系統(tǒng)的剛度都為正剛度，并且隨著δqzs的增大，剛度曲線趨于平緩.當(dāng)δqzs=2時(shí)，QZS系統(tǒng)的剛度恒為零，這表明隔振系統(tǒng)失去承載能力.如果δqzs>2，剛度為負(fù)值，在實(shí)際工程中是不允許發(fā)生的.因此，δqzs的合理區(qū)間是(0, 2).

將式(4)在u=0處展開(kāi)為四階泰勒級(jí)數(shù)，即

(9)

將準(zhǔn)零剛度條件即式(6)代入到式(9)中，得到hqzs(u)=γu3，其中定義γ為等同約化剛度，其值可以通過(guò)改變水平彈簧與豎直彈簧的剛度比來(lái)進(jìn)行調(diào)節(jié)，γ的具體表達(dá)式為

(10)

原始剛度表達(dá)式(7)和其泰勒展開(kāi)式(9)的對(duì)比如圖4所示.可以觀察到泰勒展開(kāi)式結(jié)果與原始表達(dá)式結(jié)果吻合良好，因此，本文采用四階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)是合理的.

典型QZS隔振器和本文設(shè)計(jì)的X型隔振器都具有準(zhǔn)零剛度特性，圖5為這兩種隔振器的無(wú)量綱剛度對(duì)比情況，圖中兩條曲線都是在水平彈簧與豎直彈簧的剛度系數(shù)之比為1的情況下計(jì)算得到的.可以看出本文設(shè)計(jì)的X型QZS隔振器相比于典型QZS隔振器具有更小的無(wú)量綱剛度k，特別是當(dāng)u在區(qū)間(-1,-0.5)和(0.5,1)時(shí)，兩者的k值差異更為明顯.較小的系統(tǒng)剛度意味著系統(tǒng)的共振頻率較低[1]，因此本文設(shè)計(jì)的X型隔振器可以有效地提高其低頻隔振性能.

2 力傳遞率

2.1 幅頻響應(yīng)

簡(jiǎn)諧力作用下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(11)

其中，F(xiàn)e和ω分別表示外部激勵(lì)的幅值和頻率，引入無(wú)量綱參數(shù)，并將已知表達(dá)式代入式(11)得到

(12)

增量諧波平衡法(IHB)具有移植性強(qiáng)、改變參數(shù)靈活的許多優(yōu)點(diǎn)，下面將應(yīng)用IHB法求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

首先，對(duì)方程(12)進(jìn)行時(shí)間尺度變換，即令t*=Ωτ，式(12)關(guān)于新的時(shí)間變量t*的微分方程為

(13)

其次為Newton-Raphson增量步驟，設(shè)u0和Ω0是方程(12)的解，則其相鄰位置的解可以用增量表示為

u=u0+Δu，Ω=Ω0+ΔΩ.

(14)

將式(14)代入式(13)并省略去高階小量，整理增量方程為

(15)

式中，Re表示不平衡力，

(16)

當(dāng)Re=0時(shí)，求得u0和Ω0的精確解.

最后為諧波平衡過(guò)程，設(shè)方程(13)的周期解u為

u=UA0.

(17)

式中,U=[1,cost*,…,cosit*,sint*,…,sinit*];

A0=[a0,a1,…,ai,b1,…,bi]T;

(18)

Δu=UΔA;

(19)

ΔA=[Δa0,Δa1,…,Δai,Δb1,…,Δbi]T.

(20)

將式(17)～式(20)代入式(15)，并對(duì)式(15)在一個(gè)周期2π內(nèi)進(jìn)行Galerkin積分：

(21)

由式(21)可以得到以ΔA和ΔΩ為未知量的線性迭代方程為

KΔA=R+RmΔΩ.

(22)

式中：

為了驗(yàn)證增量諧波平衡法的有效性，進(jìn)行了基于Runge-Kutta的數(shù)值模擬，兩種方法得到的結(jié)果如圖6所示.可以看出，解析解與數(shù)值解吻合較好，這表明IHB法對(duì)于本文所研究的問(wèn)題是有效且可靠的.需要注意的是，Runge-Kutta法無(wú)法得到不穩(wěn)定解.此外，本文在求解系統(tǒng)的幅頻曲線時(shí)還進(jìn)一步結(jié)合了弧長(zhǎng)法[8]，由此可以獲得復(fù)雜完整的響應(yīng)曲線，從幅頻曲線中還可以觀察到系統(tǒng)鞍點(diǎn)分岔引起的跳躍現(xiàn)象[9].

2.2 力傳遞率

力的傳遞率[10]是評(píng)估隔振器好壞的一個(gè)重要指標(biāo).本系統(tǒng)的傳遞力表達(dá)式為

(23)

傳遞力的幅值可通過(guò)IHB求得的解(即u)代入式(23)求出

(24)

因此，本系統(tǒng)的力傳遞率可寫(xiě)成為

Tf=10lg(Ft/fe) .

(25)

對(duì)于不同γ值，系統(tǒng)的力傳遞率如圖7所示.從圖中可以觀察到，在主共振區(qū)時(shí)，等同約化剛度γ值的增大可以有效地減小力傳遞率，而在較高的激勵(lì)頻率下，等同約化剛度γ值的變化對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響不大.

3 位移傳遞率

3.1 幅頻響應(yīng)

在分析系統(tǒng)的位移傳遞率時(shí)，應(yīng)去掉加載支架的外激勵(lì)，這時(shí)應(yīng)施加位移激勵(lì)z=Zecos(ωt)并且加載到基座上，見(jiàn)圖1，加載支架的位移是x，加載支架的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(26)

其中:y=x-z;Ze表示基座激勵(lì)的幅值.

對(duì)式(26)進(jìn)行無(wú)量綱化，并且采用前述的無(wú)量綱參數(shù)，得到

(27)

其中：η=y/L;ze=Ze/L.

應(yīng)用與2.1小節(jié)相同的分析過(guò)程，得到加載支架的幅頻曲線，如圖8所示，所采用的參數(shù)為γ=0.065，ζ=0.022 5，ze=0.2.從圖中可以看出，由于非線性剛度的存在，使得曲線有向右彎的現(xiàn)象，這也說(shuō)明本系統(tǒng)具有硬式非線性特性.

3.2 位移傳遞率

位移傳遞率的定義為傳遞到加載支架的位移與基座位移幅值的比率，即

Td=10lg(A/ze).

(28)

對(duì)于不同的γ值，本系統(tǒng)的位移傳遞率Td如圖8所示.從圖中可以觀察到：隨著等同約化剛度γ值減小，在共振區(qū)，系統(tǒng)的位移傳遞率急劇減小，而在較高的激勵(lì)頻率下位移傳遞率不受影響.此外，等同約化剛度γ值的減小可以引起共振頻率的減小，并且使得跳躍現(xiàn)象(不穩(wěn)定解)消失.

4 結(jié) 論

1) 通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的整體剛度分析，得出了準(zhǔn)零剛度產(chǎn)生的條件，即無(wú)量綱預(yù)壓縮長(zhǎng)度與無(wú)量綱剛度比的乘積為1.結(jié)果表明：無(wú)量綱預(yù)壓縮長(zhǎng)度δqzs的合理區(qū)間為(0，2)，并定義了一個(gè)可以有效反映系統(tǒng)低頻隔振效果的重要參數(shù)，即等同約化剛度γ.與典型QZS隔振器相比，本文設(shè)計(jì)的X型QZS隔振器具有更好的低頻隔振性能.

2) 討論了不同γ值對(duì)力傳遞率的影響，等同約化剛度γ值的增大可以顯著地減小力傳遞率，而在較高的激勵(lì)頻率下，等同約化剛度γ值的變化對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響較弱.

3) 討論了不同γ值對(duì)位移傳遞率的影響.隨著等同約化剛度γ值的減小，共振區(qū)的位移傳遞率急劇減小，而在較高的激勵(lì)頻率下的位移傳遞率不受其影響.此外，等同約化剛度γ值的減小可以引起共振頻率的減小，并且使得跳躍現(xiàn)象(不穩(wěn)定解)消失.