王成強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130)

0 引言

數(shù)列的極限理論是大學(xué)數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容之一。對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域自身而言，數(shù)列的極限理論是微積分理論的基礎(chǔ)。在諸如生物數(shù)學(xué)、金融數(shù)學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域，它往往用以建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的數(shù)量表征[1-2]。為學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)，大量的數(shù)列極限相關(guān)的問(wèn)題練習(xí)必不可少[3-6]。本文旨在進(jìn)一步研究2018年全國(guó)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)(一)第19題，其內(nèi)容完整表述如下：

1 問(wèn)題1的解法探究

1.1 證明an > an+1

探究1證明不等式的常用方法是“先作差，再判斷符號(hào)”。先作差，有

探究3因函數(shù)x是嚴(yán)格增函數(shù)，由第二型積分中值定理，故存在ξn∈(0,1)，使得

注4前三種思路的共同特點(diǎn)是它們都依賴于Riemann積分的性質(zhì)。事實(shí)上，在大學(xué)數(shù)學(xué)中，眾所周知的結(jié)論是“非負(fù)函數(shù)的Riemann積分非負(fù)”，對(duì)“某Riemann積分大于零”這樣的論斷還是需要簡(jiǎn)單說(shuō)明的。本文在引言部分給出了an基于Euler函數(shù)的表達(dá)式，這里還可嘗試?yán)么吮磉_(dá)式判斷an與an+1之間的大小關(guān)系。

注5在探究方法4中，用到了Euler函數(shù)Γ(s)的“l(fā)n Γ(s)是嚴(yán)格凸函數(shù)”的這一性質(zhì)：假設(shè)s1，s2>0滿足s1≠s2，則對(duì)任何嚴(yán)格介于s1與s2之間的s，有Γ(s)<(Γ(s1))(s2-s)/(s2-s1)(Γ(s2))(s-s1)/(s2-s1)。

1.2 證明

探究6受探究5的啟發(fā)，還可通過(guò)利用分部積分推導(dǎo)數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式。

探究7借助于分部積分法，有

注7探究5、6、7的思路都是先利用分部積分法對(duì)an作處理，再?gòu)奶幚碇蟮谋磉_(dá)式中尋找思路。探究5的思路最為自然，但計(jì)算量稍大；探究6、7思路較“隱蔽”，但計(jì)算量較少。

探究9探究5、6、7、8都基于積分的運(yùn)算。Euler函數(shù)具有豐富的性質(zhì)，可嘗試用來(lái)得到{an}的遞推關(guān)系式。

1.3 計(jì)算極限

但

且

于是

探究12探究11實(shí)際上用到了Euler函數(shù)的性質(zhì)。事實(shí)上，借助于Euler函數(shù)，還有下述推導(dǎo)過(guò)程

探究13借助于H?lder不等式，并利用數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式，有

探究14對(duì)?ε>0，有

從而有

2 結(jié)論與思考

該結(jié)論具有推廣價(jià)值。

證明利用H?lder不等式[7]可得

綜上可知，命題1得證。