陳玉松， 李 晨

(商丘工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 商丘 476000)

1 預(yù)備知識(shí)和主要定理

考慮四階橢圓方程

其中Δ2:=Δ(Δ)是雙調(diào)和算子。

由于四階橢圓方程在物理學(xué)和工程學(xué)的許多實(shí)際問(wèn)題中,有著重要的意義,很多學(xué)者對(duì)這類(lèi)方程的解的存在情況產(chǎn)生了濃厚的興趣。起初，很多作者主要研究的是在有界光滑區(qū)域上該系統(tǒng)的解的存在情況,類(lèi)似的文章可見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]。許多學(xué)者把有界光滑區(qū)域擴(kuò)展到了空間RN,陸續(xù)得到了很多好的結(jié)果[4-6]。對(duì)于整個(gè)空間RN的情景,索伯列夫緊嵌入的丟失導(dǎo)致問(wèn)題變得困難。為了克服這個(gè)困難,很多學(xué)者對(duì)勢(shì)能V做了適當(dāng)?shù)募僭O(shè)[4-5]。特別地，文獻(xiàn)[6]在勢(shì)能泛函滿足局部緊的條件下,利用變分原理得到了超線性四階橢圓方程的非平凡解的存在性和多重性。對(duì)于次線性的情況,文獻(xiàn)[5]利用臨界點(diǎn)理論中的對(duì)稱山路定理得到了無(wú)窮多個(gè)非平凡解的存在性。受前人的啟發(fā),本文主要考慮的是一類(lèi)次線性四階橢圓方程的無(wú)窮多個(gè)非平凡解的存在性。為了簡(jiǎn)化討論，作如下假設(shè)：

(V1)V(x)在RN中是連續(xù)的，且V(x)≥0。

(V2) 至少存在正常數(shù)b,滿足集合Vb:={x∈RN|V(x)

定理1假設(shè)條件(V1,V2)和(F1,F2)都成立,則至少存在一個(gè)非平凡解。則在H2(RN)中該方程至少存在一個(gè)非零周期解。

定理2假設(shè)條件(V1,V2)和(F1,F2)都成立,且泛函f滿足下列條件：

(F3) 對(duì)于任意的(x,u)∈RN×R,有f(x,-u)=-f(x,u)，

則方程存在無(wú)窮多個(gè)非平凡解。

更多地,

設(shè)泛函

(1)

通過(guò)一般的討論，很容易驗(yàn)證I(u)∈C1(E,R)，且

(2)

更多地，泛函I在E上的臨界點(diǎn)恰是該系統(tǒng)的解。為了得到我們的結(jié)論，給出以下引理。

為了得到泛函I的非平凡臨界點(diǎn)的多重性,在下面的證明中將用到臨界點(diǎn)理論中的“屬”屬性。設(shè)X是一個(gè)巴拿赫空間,I∈C′(X,R),C∈R。集合∑={A?X-{0}:A是閉集且關(guān)于0對(duì)稱}，Kc={u∈X:I(u)=c,I′(u)=0},Ic={u∈X:I(u)≤c}。

定義[8]對(duì)任意的A∈∑,若在C(A,Rn{0})上存在一個(gè)奇函數(shù)，且n是這個(gè)屬性中的最小整數(shù)。

2 定理1的證明

第一步：驗(yàn)證I是下方有界的。由(2),(F1)以及H?lder不等式,可得

(3)

由于1

第二步：驗(yàn)證I滿足(PS)條件。

(4)

(5)

由(5)式可知,存在n0∈N，滿足

(6)

因此，由(F1)、(3)式、(6)式以及H?lder不等式，可得

(7)

另外,由條件(3)、(4)以及(F1),可得

(8)

由于ε是任意的，結(jié)合(7)和(8)，當(dāng)n→∞時(shí)可得

(9)

由(4)和(9)可知,當(dāng)n→∞時(shí)有

成立,從而在空間E中有un→u0成立。因此驗(yàn)證了泛函I滿足(PS)條件。

其中，1

3 定理2的證明

由定理1的證明可知，I∈C1(E,R)是下方有界且滿足(PS)條件的。另外由條件(F3)和(3),可驗(yàn)證I是偶函數(shù)，且I(0)=0。為了利用引理2, 下面證明對(duì)于任意的n∈N，存在ε>0，滿足

γ(I-ε)≥n。

(10)

(11)

因此

(12)

且

(13)

故存在一常數(shù)C2>0，對(duì)于任意的u∈En滿足

C2‖u‖E≤‖u‖r3。

(14)

由(3),(11)～(14)和(F3)對(duì)于u∈Sn，有

(15)

由10和σ>0，滿足

I(σu)<-ε。

(16)

(17)