馬茂杰 周廷明 張 君

(四川省成都市溫江中學 四川 成都 611130)

趙蕓赫

(首都師范大學附屬中學 北京 100048)

當一個音叉在一張紙上振動時(圖1)(其間的接觸很弱)，所發(fā)出的聲音頻率可以低于音叉發(fā)聲的基本頻率.在進行實驗的過程中，我們的確能夠采集到低于音叉基頻的穩(wěn)定聲音頻率，與此同時的是在整個系統(tǒng)的聲音中還存在著更高的聲音頻率 .其頻率接近于音叉基頻的整數(shù)倍.通過查閱文獻，我們了解到高次頻率的出現(xiàn)可能正是泛音現(xiàn)象，即駐波原理.但是在相應的文獻中卻并未提及低音現(xiàn)象的成因.因此，我們將在本研究中探究低音現(xiàn)象的成因，提出理論模型，并在實驗上給予其定性的驗證.

圖1 音叉和紙張

1 理論模型

1.1 系統(tǒng)振動模型

在探究的問題中，由于并未對紙張的固定方式進行限制，因此存在多種可能.在預實驗中，我們嘗試了對紙張的3種固定方式，即單邊固定、對邊固定以及懸掛固定.在此3種方式中，單邊固定時能出現(xiàn)較為穩(wěn)定低音現(xiàn)象，對邊固定則難以出現(xiàn)低音現(xiàn)象，而懸掛固定則由于紙張的彈飛，無法得到較為穩(wěn)定的低音頻率.因此將在本研究后續(xù)過程中，皆采用對紙張采用單邊固定的方式.

當紙采用圖2所示的單邊固定方式,即紙張滿足一邊固定、三邊自由的振動方式，則在音叉與固定紙張所組成的系統(tǒng)中，可將紙張及其固定支架視作“懸臂梁”，而音叉則對“懸臂梁”提供外界的周期性簡諧激勵.于是可以將整個系統(tǒng)的振動模式建立模型為“懸臂梁的受迫振動”.

圖2 采用單邊固定方式的紙張

1.2 紙張的自由振動模型

考慮紙張在振動時，正面截面在彎曲變形的過程中始終保持為平面，即忽略截面繞中心軸轉(zhuǎn)動(過形心使截面上下對稱的軸)的慣性效應和截面的剪切形變.則可使用梁的簡化模型——歐拉-伯努利梁模型來進行紙張的振動分析.

對于一張密度為ρ，長為l，厚度為b，高為h，彈性模量為EI的紙張(其中長寬高的定義如圖3所示)，通過查閱文獻[1]知應滿足如下的振動方程

(1)

其中w(x,t)是位移(即撓度)，f(x,t)是沿彎曲方向的負載.

圖3 紙張的長寬高

討論紙張自由振動時所滿足的方程，給出懸臂梁的邊界條件后進行求解，根據(jù)文獻[1]中的求解知，得到對應各階的固有頻率為

(2)

(3)

對于一般紙張的振動形式應滿足圖4所示的一階振動，并且由于本實驗主要在于對基頻的探究，取i=1,則式(3)可進一步化為

(4)

圖4 前三階振動圖示

1.3 音叉的簡諧激勵下系統(tǒng)的振動

接下來考慮音叉所帶來的簡諧激勵影響.

通過查閱文獻[2]知，系統(tǒng)在簡諧力作用下的受迫振動，在初始階段的系統(tǒng)響應是暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應的疊加.在暫態(tài)響應中，整個系統(tǒng)響應是由3部分所疊加而成，即初始條件引起的自由衰減振動、簡諧激勵引起的伴隨自由振動以及簡諧激勵引起的純粹強迫振動.引用文獻[2]中的圖示(即圖5)可知，系統(tǒng)的響應會由一段時間的疊加頻率過渡到激振頻率，在此期間若激振頻率高于系統(tǒng)的固有頻率時，則可在暫態(tài)響應中出現(xiàn)中明顯的低音現(xiàn)象.

圖5 暫態(tài)響應中的頻率疊加

因此，低音產(chǎn)生的主要是源于紙張初始的自由振動.其頻率取決于紙張初始自由振動的頻率.

根據(jù)所求得的公式，在其他條件不變時，下面幾種情況都會使紙張固有頻率降低，進而導致系統(tǒng)的低音頻率降低，即：

(1)當紙張彈性模量減小時；

(2)紙張長度增加時；

(3)紙張側(cè)面的高減小時；

(4)紙張側(cè)面的寬減小時.

值得注意的是，由于在具體的實驗中很難對初始條件即簡諧力的施加時機進行控制，故每次實驗得出的頻譜圖具有不唯一性.正是由于這個緣故，在此后的實驗中只能從整體趨勢上來對理論進行定性的驗證.

2 實驗探究

2.1 實驗裝置及設計

實驗裝置(圖6)包括鐵架臺、音叉、海綿(固定且避免帶動裝置振動)、限制裝置(控制紙與音叉的接觸程度)、手機(采集音頻)、固定支架、固定夾.

圖6 實驗裝置

在實驗過程中，先用敲擊器敲打音叉，然后再轉(zhuǎn)動支架使得音叉與紙張接觸，等待聲音頻率趨于穩(wěn)定時，對音頻進行采集，最后再導入軟件Adobe Audition對其進行頻譜分析.

因材料所限，暫且無法對紙張的密度ρ，紙張的彈性模量E進行實驗探究.因此接下來的探究包括4個部分：紙張厚度、紙張高度、紙張的長度以及紙張的褶皺程度.

2.2 探究紙張厚度對低音頻率的影響

選取同種厚度不同的素描紙(長×寬=10.00 cm×5.00 cm)，其厚度分別為0.32 mm，0.22 mm，0.15 mm.

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作出紙張厚度對低音頻率的影響圖像，如圖7所示，由圖可知，在其他條件一定的情況下，隨著紙張厚度的增加，低音頻率呈上升趨勢.符合理論預測.

圖7 紙張厚度對低音頻率的影響

2.3 探究紙張高度對低音頻率的影響

選取3張同種紙張，其長度皆為6.00 cm，高度依次為6.00 cm，4.00 cm，2.00 cm.作出紙張高度對低音頻率的影響圖像，如圖8所示.

圖8 紙張高度對低音頻率的影響

由上圖知，在其他條件一定時，隨著紙張高度的增加，低音頻率的值也隨之增高.符合理論的預測.

2.4 探究紙張長度對低音頻率的影響

對于紙張長度的討論，我們認為其中存在有兩種不同的情況.一種是對于擊打位置不同所引起的紙張有效長度的改變.另一種則是由紙張本身長度不同所引起的.

在第一種情況中，對于同一張紙，將其劃分為9個區(qū)域,如圖9所示，分別記錄每個區(qū)域產(chǎn)生的低音頻率.(擊打位置皆為每個區(qū)域的中軸，圖中數(shù)值代表每個邊界分別到右邊界的距離)

圖9 紙張分區(qū)圖示

根據(jù)所得數(shù)據(jù)，作出單張紙的長度分區(qū)對低音頻率的影響圖像，如圖10所示.

圖10 探究單張紙的長度分區(qū)對低音頻率的影響

由上圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù)知，對于同一張紙，距離固定邊界越遠的區(qū)域，產(chǎn)生聲音的頻率會更低.

在第二種情況中，選取等寬(6.00 cm)的3張同種水彩中紋紙，其長度依次為6.00 cm,11.00 cm,16.00 cm(固定紙張所消耗的長度為1.00 cm，即實際有效長度分別為5.00 cm,10.00 cm,15.00 cm，如圖11所示).

圖11 3種紙張示意圖

對于數(shù)據(jù)采集，我們依然分區(qū)討論的方式來比較在該種情況下紙張長度對低音現(xiàn)象出現(xiàn)的影響.得到的數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 多張紙的不同長度分區(qū)對低音頻率的影響

續(xù)表1

由上表的統(tǒng)計分析可得，在其他條件一定時，根據(jù)紙張的長度比例1∶2∶3，在相應的比例分區(qū)中，低音頻率值呈現(xiàn)隨紙張長度增加而降低的趨勢.

若以短紙的一區(qū)、間紙二區(qū)和長紙三區(qū)為一組，短紙二區(qū)，間紙四區(qū)和長紙六區(qū)為二組，以此類推，可得到如圖12每組中3種紙的頻率對比.

圖12 每組頻率對比

同時我們也注意到，在實驗過程中這3種紙中都存在這樣的現(xiàn)象：開始時，頻率隨分區(qū)增大而穩(wěn)步下降，而后在兩個相近的分區(qū)頻率急劇下降的現(xiàn)象，此后頻率的下降再次趨于穩(wěn)定.

由以上兩種對紙張長度的討論，可知在兩種情況下都有隨著紙張長度的增加，所產(chǎn)生的低音頻率會呈現(xiàn)下降趨勢，符合理論的預測.

2.5 探究紙張褶皺程度對低音頻率的影響

選取兩組不同(素描紙與打印紙)的紙張(紙張大?。洪L×寬=8.00 cm×8.00 cm).每組紙張均為同種等大的紙張.在每組中存在經(jīng)過褶皺處理的紙張和未經(jīng)處理的原紙張.實驗得到的圖像如圖13和圖14所示.

圖13 褶皺對低音頻率的影響(一組)

圖14 褶皺對低音頻率的影響(二組)

在兩組數(shù)據(jù)中，原紙張的低音頻率均高于變形紙張的低音頻率.即有如下的結(jié)論：在其他條件不變時，紙張的褶皺程度越大，則在低音現(xiàn)象中，其頻率更低.

另外，我們認為經(jīng)過褶皺處理的紙張的低音頻率降低的可能原因是其彈性模量發(fā)生了改變(減小)，繼而導致其固有頻率減小.

3 結(jié)論

本研究針對音叉接觸紙張的低音現(xiàn)象進行了研究，通過觀察實驗現(xiàn)象，得到在同一音叉的相同激勵下，低音現(xiàn)象與紙張的固有性質(zhì)有關的結(jié)論,基于此建立了懸臂梁的受迫振動理論模型對該現(xiàn)象中低音現(xiàn)象的產(chǎn)生進行了解釋，得到紙張的長度、寬度、厚度、彈性模量和密度對低音頻率的影響關系，據(jù)此，設計了實驗分別驗證了紙張的長度、寬度、厚度和褶皺程度這4個變量對低音的影響，得到低音頻率隨紙張的長度增加、厚度減小、寬度減小、彈性模量減小而降低的結(jié)論.