徐遠(yuǎn)飛

(南京市南化第二中學(xué) 江蘇 南京 210048)

1 存在問(wèn)題

均勻帶電半球殼問(wèn)題可以看作是均勻帶電球殼的電場(chǎng)特性的應(yīng)用，對(duì)于一些特殊的位置可以采用填補(bǔ)法、等效法、對(duì)稱(chēng)性分析等方法，在理解均勻帶電球殼的基礎(chǔ)上，利用技巧解決半球殼的問(wèn)題．

【例1】已知均勻帶電球殼內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，電勢(shì)處處相等．如圖1所示，正電荷均勻分布在半球面上，Ox通過(guò)半球頂點(diǎn)與球心O的軸線．A和B為軸上的點(diǎn)，且OA=OB，C和D為直徑上的兩點(diǎn)，且OC=OD，則下列判斷正確的是( )

A.A點(diǎn)的電勢(shì)與B點(diǎn)的電勢(shì)相等

B.C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度不相等

C.A點(diǎn)的電強(qiáng)度與B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相同

D.在A點(diǎn)由靜止釋放重力不計(jì)的帶正電的粒子，該粒子將沿AB做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

圖1

例1是一個(gè)較為典型的均勻半球殼軸線上的電場(chǎng)問(wèn)題．C，D兩點(diǎn)的電勢(shì)是否相等，可以用對(duì)稱(chēng)性來(lái)分析．對(duì)稱(chēng)性又叫不變性，外爾對(duì)此所作的定義是，如果我們對(duì)一件東西可以進(jìn)行操作，使得操作后這件東西仍舊和以前一樣，我們就叫這件東西是對(duì)稱(chēng)的[1]．按照不變性定義分析，半球殼以x軸由C周旋轉(zhuǎn)到D前后沒(méi)有發(fā)生變化，可見(jiàn)C和D的位置具有對(duì)稱(chēng)性，C，D點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等．

A，B位置顯然對(duì)于球殼而言沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性，A，B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小該如何判斷，可以使用填補(bǔ)法．將題中半球殼補(bǔ)成一個(gè)完整的球殼，且?guī)щ娋鶆颍O(shè)左、右半球在A點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E1和E2，根據(jù)均勻帶電球殼內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零的特性，可知E1=E2．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，左、右半球在B點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E2和E1，且E1=E2．可以得出A的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1，方向向右，B的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2，方向向右，所以A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相同．

由例1可以發(fā)現(xiàn)，我們可以通過(guò)技巧來(lái)解決一些半球殼電場(chǎng)相關(guān)問(wèn)題，方法比較巧妙，但從另外一個(gè)角度來(lái)看，技巧偏重于解題，但是對(duì)于深刻理解均勻帶電半球殼軸線上的電場(chǎng)的確切情況提供不了太多幫助，技巧可以解決部分特殊位置的定性判斷，但是定性判斷的準(zhǔn)確性還是有必要從理論研究上得以保證．對(duì)于選項(xiàng)D的判斷， 用分析很難得出帶電粒子準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)情況．

筆者查閱了一些資料[2]，發(fā)現(xiàn)有一些文章對(duì)于均勻帶電半球殼軸線上的電場(chǎng)也進(jìn)行了深入研究，但得出的結(jié)果仍然是限定在特定范圍，結(jié)論不夠完善．

2 均勻帶電半球殼軸線上的電場(chǎng)的推導(dǎo)

2.1 均勻帶電半球殼軸線上電場(chǎng)計(jì)算的基本方法

點(diǎn)電荷組所產(chǎn)生的電場(chǎng)在某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的電場(chǎng)在該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的矢量疊加[3]，計(jì)算均勻帶電球殼軸線上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，基本思路是應(yīng)用靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理．均勻帶電半球殼具有軸對(duì)稱(chēng)性，由此可以推斷半球殼的軸線上的電場(chǎng)在y軸上的分量相互抵消，場(chǎng)強(qiáng)方向必定沿著x軸的方向，如圖2(a)所示．

設(shè)均勻帶電半球殼的帶電荷量為q，電荷面密度為σ，半徑為R，在半球上取微元dS，dS在微元環(huán)L上，如圖2(b)所示，可得出

dS=sinθR2dθdφ

dq=σsinθR2dθdφ

根據(jù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公式可得

圖2 x>0時(shí)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分析

設(shè)P點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離為x，根據(jù)圖2(a)幾何關(guān)系可得

r2=(x+Rcosθ)2+(Rsinθ)2=

x2+R2+2xRcosθ

微元dS對(duì)P的場(chǎng)強(qiáng)在x軸的分量為

(1)

對(duì)dEx積分可得

對(duì)此積分采用換元積分法，令

x2+R2+2xRcosθ=t2

球殼電荷量q與電荷面密度的關(guān)系

代入上式可得

2.2 均勻帶電半球殼軸線上電場(chǎng)分段考慮及特殊點(diǎn)的計(jì)算

根據(jù)以上推導(dǎo)可得出軸線上離O點(diǎn)距離為x的點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，分析式(1)可以看出，場(chǎng)強(qiáng)dEx的表達(dá)式與△BPD的幾何形狀有關(guān)系，P點(diǎn)的位置不同，得出來(lái)的dEx可能不同，積分上下限也有區(qū)別，導(dǎo)致積分所得的結(jié)果不同，因此要對(duì)P點(diǎn)的位置討論，進(jìn)行分段運(yùn)算．

(1)x>0的位置已經(jīng)推導(dǎo)．

(2)x=0時(shí)，有

kσcosθsinθdθdφ

(3)當(dāng)-R

圖3 -R

由上式可以看出，在-R0的位置產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)形式相同．

(4)當(dāng)x=-R時(shí)，有

(5)當(dāng)x<-R時(shí)，如圖4所示，有

圖4 x<-R時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分析

可得

同時(shí)，旅游者行為研究對(duì)象多以旅游活動(dòng)類(lèi)型為劃分依據(jù)，涵蓋廣泛，涉及鄉(xiāng)村旅游者、生態(tài)旅游者、出境旅游者、養(yǎng)老旅游者、女性旅游者、高鐵旅游者、黑色旅游者、民族旅游者、自駕車(chē)旅游者、體育旅游者、智慧旅游者等諸多大類(lèi)，呈現(xiàn)聚焦式、微觀化的研究特征。其中，對(duì)于鄉(xiāng)村旅游者、生態(tài)旅游者、女性旅游者的研究關(guān)注度最為集中，對(duì)于出境旅游者、高鐵旅游者的研究則具有濃郁的新時(shí)代中國(guó)發(fā)展特色。此外，隨著中國(guó)老齡化時(shí)代、智慧旅游時(shí)代的到來(lái)，未來(lái)國(guó)內(nèi)旅游者行為研究的案例對(duì)象選擇會(huì)向養(yǎng)老旅游者、智慧旅游者等新型旅游者拓展，深化對(duì)獨(dú)特旅游者個(gè)體的微觀專(zhuān)題化研究。

設(shè)沿著x軸的方向?yàn)檎?/p>

綜上得出均勻帶電半球殼軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為

用Geogebra軟件生成函數(shù)圖像，如圖5所示，可以直觀地了解軸線上場(chǎng)強(qiáng)的分布情況．

圖5 用Geogebra軟件生成的場(chǎng)強(qiáng)分布圖像

3 均勻帶電半球殼軸線上電場(chǎng)分布的總結(jié)及應(yīng)用

通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，均勻帶電半球殼軸線上的電場(chǎng)是比較復(fù)雜的，但是可以總結(jié)出一些結(jié)論：

(1)以x軸方向?yàn)檎梢园l(fā)現(xiàn)在x>-R的范圍內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向都為正，在x<-R的范圍，電場(chǎng)方向?yàn)樨?fù)．

(3)在-R

(4)電場(chǎng)強(qiáng)度在A點(diǎn)的(x=-R)位置出現(xiàn)突變，電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸負(fù)方向，大小

【例2】均勻帶電球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)．如圖6所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)與球心O的軸線，在軸線上有M，N兩點(diǎn)，OM=ON=2R，已知M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為( )

圖6 例2題圖

解析：

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知左半球?qū)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小等于右半球?qū)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，此題選項(xiàng)A正確．

方法二：將x=-2R和x=2R的情況分別代入推導(dǎo)出的公式進(jìn)行計(jì)算

負(fù)號(hào)表示方向.根據(jù)題意可知

【例3】(競(jìng)賽)如圖7所示，半徑為R的均勻帶電球面,電荷的面密度為σ,試求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度．

圖7 例3題圖

方法一：面元△S在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)在z軸的分量為

式中ΔScosθ為面元在xOy平面的投影，由此可得

方法二：應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理直接積分得

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)均勻帶電半球殼的軸線上電場(chǎng)的深入研究，對(duì)軸線上的電場(chǎng)分布情況的理解更加全面，而不是停留在基于技巧的對(duì)特殊位置的片面理解，對(duì)相關(guān)問(wèn)題的解釋、教學(xué)、命題都有所幫助．