四川省成都市武侯實驗中學(xué)附屬小學(xué) 唐 斌 付興容

所謂“高階思維”，是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力；高階思維具有發(fā)散性、結(jié)構(gòu)性、主動性、批判性等特質(zhì)。思維的“結(jié)構(gòu)性”是高階思維的一個重要方面，主要是指有序的、系統(tǒng)的立體化思維方式，具有系統(tǒng)性、遷移性、本質(zhì)性、創(chuàng)造性等特點。結(jié)構(gòu)性思維，能使方法簡潔、分析深邃、決策高效，問題解決能力強。數(shù)學(xué)教學(xué)中，以結(jié)構(gòu)化教學(xué)統(tǒng)整數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化知識，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維。教學(xué)中滲透模型思想，以“建模”“用?！薄白兡！薄俺！睘榫唧w路徑，發(fā)展學(xué)生思維系統(tǒng)性、遷移性、本質(zhì)性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生 結(jié)構(gòu)性思維，進而發(fā)展學(xué)生高階思維能力。

一、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從“無形到有形”，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展系統(tǒng)性思維

例如：暑假到了，瑞瑞一家三口自駕從成都到西昌旅游，距離約是450 千米。他們早上9：30 從家出發(fā)，上午11：30 到達名山服務(wù)區(qū)，汽車行駛了150 千米。休息半小時后按原速繼續(xù)行駛，中午吃飯花了一小時，下午6：00 能到達西昌嗎？自駕游已成為現(xiàn)在家庭旅游的交通方式之一，學(xué)生在生活情境中會經(jīng)常遇到此類問題，解決生活中的實際問題更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性、主動性。學(xué)生根據(jù)問題及信息梳理問題結(jié)構(gòu)：求結(jié)束時間，必須先求經(jīng)過時間；算經(jīng)過時間需要路程與速度；但由于題中沒有明確告知汽車行駛的速度，因此需要借助“早上9：30從家出發(fā)”“上午11：30 到達名山服務(wù)區(qū)”這兩條信息先求出經(jīng)過時間，再用已學(xué)習(xí)的“路程÷時間=速度”運算模型，算出汽車行駛的速度。接著算出剩下路程所用時間，再算出總共所花的經(jīng)過時間，最后算出結(jié)束時間，與下午6：00 進行比較。學(xué)生在解決此問題過程中，構(gòu)建了新的認知體系，抓速度不變，構(gòu)建“路程÷時間=速度”關(guān)系模型，系統(tǒng)化思考“余下路程所用時間”的新問題。

二、巧用數(shù)學(xué)模型，由點及面，深化模型內(nèi)涵，發(fā)展遷移性思維

結(jié)構(gòu)化思維，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)構(gòu)建，而且表現(xiàn)在模型的靈活運用上，運用已有的模型解決新問題，深化對模型內(nèi)涵的理解，發(fā)展遷移性思維。模型應(yīng)用，串式思考，縱向延伸，深入分析問題的本質(zhì)，如倒數(shù)在分數(shù)除法算法中的應(yīng)用，進一步探究“倒數(shù)”概念的作用，深入體會“倒數(shù)”的本質(zhì)意義；橫向聯(lián)系，網(wǎng)狀思考，建立不同問題間的聯(lián)系，立體挖掘模型意義，如分數(shù)與整數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)、比等之間的必然聯(lián)系。從“縱”“橫”角度，從點到面，將知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化為思維結(jié)構(gòu)，提高模型的應(yīng)用能力。

“以一定的邏輯順序整合、內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)化思維的真諦所在?！崩纾缎⊥谜埧汀罚ū睅煷蟀嬉荒昙壪聝裕?，學(xué)生觀察情境圖收集數(shù)學(xué)信息“左邊擺了2 盤果子，右邊擺了3 盤果子，每盤有10 個果子”，提出數(shù)學(xué)問題：“一共有多少個果子呢？”這是學(xué)生第一次接觸超過20 的加法計算。用小棒代替果子，借助學(xué)具進行操作，讓學(xué)生擺一擺，說一說有多少根小棒。部分學(xué)生借助小棒，將“一盤10個”與“一捆10 根”對應(yīng)，進行“10個10 個地數(shù)”，體現(xiàn)了數(shù)數(shù)模型的運用與遷移：“1 捆有1 個10，左邊的2捆就有2 個10，右邊的3 捆就有3 個10，合起來就有5 個10，也就是50?！睌?shù)數(shù)模型進一步發(fā)展到加法計算模型：“因為2+3=5，所以2 個10+3 個10=5個10 也就是50?！苯柚鷶?shù)的意義“2個10 加3 個10 等于5 個10”，運用“10以內(nèi)加法”模型，拓展到“10 以上加法”模型，縱向聯(lián)系，進一步體現(xiàn)了加法計算法則的內(nèi)涵“相同的計數(shù)單位相加”。由整數(shù)加減法，到小數(shù)、分數(shù)加減法，橫向勾連，都是應(yīng)用“相同的計數(shù)單位相加減”模型進行計算。學(xué)生掌握了計算模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生舊知識解決新問題的思維遷移能力。

學(xué)習(xí)整十數(shù)的加法計算，就是學(xué)生學(xué)習(xí)加法運算的意義，及經(jīng)歷整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減法計算算理建模的過程。由一個知識點“2 個10 加3 個10”延伸至一類知識“小數(shù)、分數(shù)的加減計算”，凸顯出數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化，便于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型——相同的計數(shù)單位才能相加減，這便是將一個問題的解決拓展為一類問題的解決，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)有了全面、深刻的理解，培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力。

三、變換數(shù)學(xué)模型，由表及里，拓展模型外延，發(fā)展本質(zhì)性思維

遵循知識間的邏輯關(guān)系，把握知識點在知識結(jié)構(gòu)鏈中的具體位置，以“刨根問底”的態(tài)度，以問題串形式，由表及里，追尋知識的本質(zhì)，進而發(fā)展本質(zhì)性思維。立體多向思考，突破模型化的思維定式，破解“套?！?，變換模型的不同式樣，建立模型間關(guān)系；從不同角度拓展模型外延，進一步理解數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。

在建立牢固的知識結(jié)構(gòu)的同時，建立良好的思維結(jié)構(gòu)。如“雞兔同籠”問題，學(xué)生學(xué)會列表法后，再探討多種方法，拓展問題解決模型，進一步提出問題，以“問”促進思考，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。如“還有哪些方法？你覺得哪種方法更簡單？這些方法分別適用于哪些情況？……”學(xué)生嘗試其他方法如極端假設(shè)法、任意假設(shè)法、除減法、盈虧法、比例分配法、布列方程法等，在多種方法的對比中，“以一帶多”，明白此類問題的內(nèi)涵。改變模型條件，擴大模型外延，運用聯(lián)系的思想，由表及里，認識模型本質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題的多種表現(xiàn)形式，明確問題的本質(zhì)都是“猜想”“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，抓住了本質(zhì)，方可舉一反三。如三輪與四輪車并存、運貨運費中賠償問題、晴天雨天摘果子問題等，都可以用“同籠”方法解決。由“雞兔同籠”問題基本模型“已知雞兔頭之和與足之和，求雞兔各有多少只”，到變換條件“已知雞兔頭之和與足之差”“已知雞兔頭之差與足之和”“已知雞兔頭倍數(shù)與足之差”“已知雞兔頭倍數(shù)與足之和”“已知雞兔頭之和與足倍數(shù)”等，求“雞兔各有多少只”；如此拓展了“雞兔同籠”的問題解決基本模型，進一步鞏固“假設(shè)”“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，靈活運用列表法或方程法解決問題，在建立知識結(jié)構(gòu)的同時，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展解決問題的高階思維 能力。

四、超越數(shù)學(xué)模型，從有形到無形，深化數(shù)學(xué)思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維

再如，一個長方體，如果長增加2 厘米，則體積增加80 立方厘米；如果寬增加3 厘米，則體積增加150 立方厘米，如果高增加4 厘米，則體積增加320 立方厘米。那么原來長方體的表面積是（ ）平方厘米。學(xué)生發(fā)現(xiàn)以“長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2”計算模型無法解決此問題，需要運用原始模型——表面積概念“長方體各面面積之和”，部分學(xué)生借助畫圖，突破原有的認知結(jié)構(gòu)，借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，超越與突破了基本計算模型，找到新的計算方法。根據(jù)題目信息間的關(guān)系，重新建立“體積÷長=左（右）面面積”“體積÷寬=前（后）面面積” “體積÷高=上（下）面面積”“（左面積+前面積+上面積）×2=表面積”計算結(jié)構(gòu)。雖建立了長方體表面積公式的數(shù)學(xué)模型，但由于此問題比較抽象，學(xué)生的空間觀念不強，因此僅靠讀題無法找到數(shù)學(xué)信息與問題之間的聯(lián)系。畫圖中運用轉(zhuǎn)化思想把抽象的數(shù)學(xué)問題用具體、形象、直觀的圖示表示出來，引領(lǐng)學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵，讓學(xué)生感受到“柳暗花明又一村”。運用轉(zhuǎn)化思想不僅提高了學(xué)生解決問題的能力，提高了學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)模型舉一反三的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造性思維，促進高階思維能力發(fā)展。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從混亂中找到順序，從零散中找到關(guān)系，從發(fā)散中找到核心，從現(xiàn)象中抽象出本質(zhì)，從變化中學(xué)會創(chuàng)造的思維能力，促進學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維能力的提升，從而發(fā)展學(xué)生高階思維能力。方法是路徑，思想是靈魂。沒有思想的方法僅是呆板工具；蘊含思想的方法，才有強大生命力！