江蘇省無(wú)錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 余金榮

數(shù)學(xué)教材不僅是“數(shù)學(xué)”材料，同時(shí)，它也是“教學(xué)”材料，是經(jīng)過(guò)“教學(xué)法”加工的“數(shù)學(xué)”。在教學(xué)法的完善下，教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)術(shù)形態(tài)有所區(qū)別，在教學(xué)內(nèi)容的選擇、內(nèi)容的呈現(xiàn)形式、概念的形成過(guò)程、規(guī)律方法的揭示過(guò)程方面都進(jìn)行了精心的設(shè)計(jì)。受學(xué)校教學(xué)課時(shí)、教材表現(xiàn)形式、學(xué)生認(rèn)知水平及認(rèn)知結(jié)構(gòu)等諸多因素的影響，教材編寫(xiě)者相應(yīng)地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行取舍，轉(zhuǎn)變形式，變換表達(dá)方式，以更適用于教師教學(xué)和學(xué)生閱讀。當(dāng)然，這種做法有時(shí)不可避免會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程、數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等與數(shù)學(xué)本質(zhì)密切相關(guān)的內(nèi)容。

教師如果照本宣科，簡(jiǎn)單地將教材上的內(nèi)容重復(fù)一遍，“抄”在黑板上，課堂教學(xué)就會(huì)脫離數(shù)學(xué)本質(zhì)，失去知識(shí)在培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的價(jià)值。因此，教師在處理教材時(shí)，應(yīng)思考數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，研究課堂上數(shù)學(xué)規(guī)律演變的表現(xiàn)形式，體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法和理性精神，藝術(shù)地組織課堂教學(xué)，以明確學(xué)生應(yīng)該“學(xué)什么”“怎么學(xué)”，讓學(xué)生了解“有什么用”。

一、立足教材內(nèi)容，明確知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)重點(diǎn)的高效突破

我們非常清楚，課堂教學(xué)首先應(yīng)該認(rèn)真研讀教材，明確內(nèi)容的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上切實(shí)把握教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵和外延，這有利于學(xué)生構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。另一方面，通過(guò)教材呈現(xiàn)的文本卻掩蓋了課堂教學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，教學(xué)任務(wù)和重難點(diǎn)沒(méi)有明確地寫(xiě)在教材中。吳大任教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：觀點(diǎn)越高，事情越顯得簡(jiǎn)單。學(xué)生學(xué)習(xí)的每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立存在的，而是一個(gè)有機(jī)的整體。因此，教師在處理教材時(shí)，應(yīng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)性的角度，明確構(gòu)建新知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)及學(xué)生新獲取的知識(shí)，以把握數(shù)學(xué)起點(diǎn)的高低。

以“直線的方程（一般式）”一課教學(xué)片段作為案例：

問(wèn)題：請(qǐng)復(fù)述直線方程的四種特殊形式，并說(shuō)明它們各有什么限制。

教師：如果能夠把方程y=kx+b 與x=x1形式上統(tǒng)一就好了。前面在求出直線方程的特殊形式之后，做了方程的變形（此處通過(guò)教材閱讀進(jìn)行復(fù)習(xí)）。你能寫(xiě)出它們的一般形式嗎？

學(xué)生：Ax+By+C=0。

教師：關(guān)于Ax+By+C=0 的方程都表示直線嗎？

學(xué)生：不是！A，B 都是0 的時(shí)候行不通（舉例說(shuō)明A，B 中有一個(gè)為0 的情況）。

問(wèn)題：關(guān)于x，y 的方程Ax+By+ C=0（A，B 不全為0）都表示直線嗎？請(qǐng)你利用所學(xué)的知識(shí)加以說(shuō)明。

學(xué)生分組進(jìn)行討論交流。

問(wèn)題：平面內(nèi)任意一條直線是否都可以用形如Ax+By+C=0（A，B 不全為0）的方程來(lái)表示？（你能否把平面的直線用方程來(lái)表示呢？）

學(xué)生分組進(jìn)行討論交流。（完善圖1）

從課題及教材內(nèi)容上來(lái)說(shuō)，本課題的主要任務(wù)是思考直線與一元二次方程Ax+By+C=0（A，B 不全為0）的聯(lián)系，應(yīng)該包含兩方面：直線的方程、方程的直線，即圖1 中的虛線所示，兩者直接關(guān)聯(lián)。需要注意的是，直線作為未定義的原始概念，無(wú)法像研究譬如曲線這種具有明確概念定義那樣去驗(yàn)證。由此，本節(jié)課看上去是嚴(yán)格論證，實(shí)際上推理被分成了兩個(gè)階段，一段是不嚴(yán)格的，作為原有知識(shí)（直線與方程y=kx+b 及x=x1的關(guān)系）；一段是嚴(yán)格的，建立方程y=kx+b 或x=x1（數(shù)）與一元二次方程Ax+By+C=0（A，B 不全為0）的關(guān)系，其中嚴(yán)格證明的后一段才是本節(jié)課的重點(diǎn)。透過(guò)教材字面上的含意，本節(jié)課的知識(shí)涉及初中的幾何與代數(shù)、高中的解析幾何與代數(shù)。分析整個(gè)知識(shí)框架，我們便能清楚地知道教材將此部分內(nèi)容歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的推導(dǎo)之用意，從而才能讓學(xué)生得以明確，這一點(diǎn)對(duì)高中階段曲線方程的研究非常重要，能幫助學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的邏輯，體會(huì)數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性。

圖1

二、理解教材數(shù)學(xué)，還原知識(shí)的演繹過(guò)程，完成知識(shí)的有效建構(gòu)

德國(guó)數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因指出：“科學(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)人去科學(xué)地思考，并不是一開(kāi)頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過(guò)科學(xué)洗練的系統(tǒng)?！?/p>

數(shù)學(xué)有三種形態(tài)：第一種，原始形態(tài)，即數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理、證明數(shù)學(xué)命題時(shí)進(jìn)行的曲折的數(shù)學(xué)思考；第二種，學(xué)術(shù)形態(tài)，是數(shù)學(xué)家發(fā)表論文所采用的形態(tài)；第三種，教育形態(tài)，是通過(guò)教師的努力，啟發(fā)學(xué)生高效地進(jìn)行思考，使數(shù)學(xué)知識(shí)體系更容易被學(xué)生所接受。

專家采用教學(xué)法的加工方式，將高深的數(shù)學(xué)知識(shí)、復(fù)雜的邏輯演繹、深刻的數(shù)學(xué)思想通過(guò)教材的形式展現(xiàn)給學(xué)生，知識(shí)本質(zhì)在教材表現(xiàn)形式的影響下則會(huì)趨于隱蔽。教學(xué)過(guò)程中，教師在考慮學(xué)生接受能力的前提下，應(yīng)該盡可能挖掘顯性知識(shí)背后的隱性知識(shí)，保證數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程與數(shù)學(xué)的原始演變保持一致或者相似。這樣同步的思維，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。

以“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”一課的教學(xué)片段作為案例：

問(wèn)題：對(duì)任意連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I 上f′(x)＞0 恒成立幾何意義是什么？

學(xué)生：函數(shù)圖像在區(qū)間I 上任一點(diǎn)處切線斜率大于零。

問(wèn)題：要證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I 上單調(diào)遞增，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，我們研究什么？

學(xué)生：（1）任取x1，x2∈I，且x1＜ x2，有f(x1)＜f(x2)成立；

（3）函數(shù)圖像在區(qū)間I 上連接任意兩點(diǎn)割線的斜率都大于零。

教師：原來(lái)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)也具有類似的幾何意義。

問(wèn)題：如果函數(shù)y=f(x)的圖像連續(xù)且在區(qū)間I 上f′(x)＞0 恒成立，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I 上單調(diào)遞增（見(jiàn)圖2），你能說(shuō)明原因嗎？

圖2

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相關(guān)，但主要是扮演工具的角色。從教材編寫(xiě)的角度來(lái)看，通過(guò)大量的實(shí)例由淺入深逐層展示導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法；從整個(gè)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程來(lái)看，其與學(xué)術(shù)形態(tài)的導(dǎo)數(shù)有非常大的區(qū)別。教材在闡述導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系時(shí)，將單調(diào)性與平均變化率建立聯(lián)系，然后借助圖形進(jìn)行直觀理解。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明需借助拉格朗日定理來(lái)完成，將嚴(yán)格證明思路圖形化，讓學(xué)生直觀感受導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，不僅減少了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，也有利于學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度理解問(wèn)題。

三、優(yōu)化課堂教學(xué)，體驗(yàn)知識(shí)的數(shù)學(xué)價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生的深化理解

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得的成果，還要關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)過(guò)程是否與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程相一致，從而保證學(xué)生數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展。教師經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)的訓(xùn)練，能夠從學(xué)術(shù)角度審視教學(xué)內(nèi)容，并統(tǒng)一知識(shí)的表達(dá)形式，明晰研究對(duì)象的本質(zhì)。而學(xué)生的思維過(guò)程則與知識(shí)應(yīng)有的發(fā)展過(guò)程有著比較明顯的差異。因此，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，增強(qiáng)課堂活動(dòng)的開(kāi)放程度，引領(lǐng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓思維成為“可見(jiàn)”的存在形態(tài)。在思維的展現(xiàn)過(guò)程中，讓學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)與知識(shí)的生成過(guò)程一致或者相似，這種一致或者相似的結(jié)構(gòu)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常重要。

以蘇教版選修2-2“空間向量的坐標(biāo)表示”一課的教學(xué)片段作為案例：

通過(guò)“平面解析幾何初步”這一章中的學(xué)習(xí)，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系，并能用坐標(biāo)表示空間任意一點(diǎn)的位置的基礎(chǔ)上，教師對(duì)學(xué)生提出兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：你能類比平面向量的坐標(biāo)表示，用坐標(biāo)表示空間向量嗎？

問(wèn)題2：空間向量可以用坐標(biāo)表示，空間中點(diǎn)的坐標(biāo)是否與向量的坐標(biāo)有聯(lián)系呢？

在問(wèn)題的引導(dǎo)下，教師圍繞空間向量的坐標(biāo)表示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，針對(duì)學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)的思維缺陷暴露出的問(wèn)題本質(zhì)，組織學(xué)生進(jìn)行交流、對(duì)話，及時(shí)捕捉他們存在的困惑及障礙點(diǎn)。同時(shí)，針對(duì)學(xué)生暴露出來(lái)的思維障礙點(diǎn)，利用更高層次的思維引領(lǐng)學(xué)生思考。另外，教師也要站在學(xué)術(shù)思維的立場(chǎng)上理解教材中的內(nèi)容，從學(xué)生的思維出發(fā)，抓住教材突出的基底在向量研究中的重要地位與學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生思維偏差的問(wèn)題根源，問(wèn)題越探越明，思維越探越清，本質(zhì)越探越透，把學(xué)生思維缺陷的本質(zhì)完全暴露出來(lái)，在向更高層次的思維發(fā)展的同時(shí)加深對(duì)基底與坐標(biāo)關(guān)系的理解。

教材是數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)載體，我們要利用數(shù)學(xué)的專業(yè)修養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映的理性精神有較深入的體會(huì)和理解，弄清數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，區(qū)分體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心本質(zhì)的本源性問(wèn)題與無(wú)關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的“細(xì)枝末節(jié)”，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)本身的育人價(jià)值，伴隨著學(xué)生的思考，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到訓(xùn)練與發(fā)展，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。