王睦深，譚湘霞

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

飛行空域是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的一個(gè)重要作戰(zhàn)綜合性能指標(biāo)[1]。高界、低界、遠(yuǎn)界和近界是垂直平面內(nèi)飛行空域參數(shù)中的幾個(gè)主要參數(shù)，其中命中點(diǎn)位于低界和遠(yuǎn)界交點(diǎn)的彈道稱為低遠(yuǎn)彈道，是導(dǎo)彈所有工作狀態(tài)中對(duì)大氣層內(nèi)穩(wěn)定控制性能要求最高的一種情況。以往的方法是將飛行過(guò)程按時(shí)序分割成幾個(gè)階段，然后分段設(shè)計(jì)優(yōu)化，忽略了各階段之間的相互影響。本文以某第三級(jí)包含2個(gè)脈沖的三級(jí)導(dǎo)彈為例，采用自適應(yīng)遺傳算法，將常溫低遠(yuǎn)彈道作為一個(gè)典型工況，對(duì)其性能進(jìn)行整體優(yōu)化。

1 動(dòng)力學(xué)模型

本文將導(dǎo)彈視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系，地球模型使用旋轉(zhuǎn)總地球橢球體模型，大氣模型采用標(biāo)準(zhǔn)大氣模型，在彈體系和發(fā)射慣性坐標(biāo)系下，進(jìn)行質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型的建立和求解。

變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系在慣性坐標(biāo)系下的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)矢量方程為[2]

(1)

附加哥氏力矢量的表達(dá)式為

(2)

導(dǎo)彈的受力分析在彈體系下進(jìn)行[3]，通過(guò)坐標(biāo)變換，將作用在導(dǎo)彈上的力變換至發(fā)射慣性坐標(biāo)系進(jìn)行積分運(yùn)算。

本文還對(duì)導(dǎo)彈所受突風(fēng)進(jìn)行了建模[4-7]，仿真過(guò)程中考慮了風(fēng)場(chǎng)附加攻角對(duì)導(dǎo)彈飛行的影響。

2 優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化變量

本文的優(yōu)化問(wèn)題為不引入目標(biāo)模型的開(kāi)環(huán)彈道參數(shù)優(yōu)化模型，因此為了對(duì)飛行空域進(jìn)行優(yōu)化，需要對(duì)飛行過(guò)程中各級(jí)飛行程序和飛行時(shí)序進(jìn)行設(shè)計(jì)。

(1) 一級(jí)飛行程序

一級(jí)飛行程序以攻角作為控制變量，采用解析的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式生成飛行程序，飛行程序如下：

(3)

(4)

(5)

式中：t11為亞聲速段開(kāi)始攻角轉(zhuǎn)彎時(shí)刻;t12為亞聲速段結(jié)束攻角轉(zhuǎn)彎時(shí)刻;αm為亞聲速段上攻角絕對(duì)值的最大值;tm為攻角達(dá)到最大值的時(shí)間，π為圓周率。

假設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射后，進(jìn)行幾秒的垂直上升穩(wěn)定飛行后開(kāi)始攻角轉(zhuǎn)彎。

理論上，當(dāng)導(dǎo)彈達(dá)到跨聲速段時(shí)，導(dǎo)彈的飛行穩(wěn)定性較差，攻角越小越好[8]。

綜上，一級(jí)飛行程序中的t11時(shí)刻前，導(dǎo)彈完成垂直上升穩(wěn)定飛行，t12時(shí)刻后，導(dǎo)彈進(jìn)入跨聲速段(Ma>0.8)，此時(shí)攻角必須減小接近于0，因此攻角必然在t11,t12之間達(dá)到極大值，即：

tm∈[t11,t12].

由彈道初步仿真結(jié)果，導(dǎo)彈的可用攻角有很大余量，但由于受到一級(jí)分離點(diǎn)高度等條件的限制，導(dǎo)彈不能在一級(jí)飛行過(guò)程中進(jìn)行較大攻角的轉(zhuǎn)彎，需用攻角事實(shí)上遠(yuǎn)小于可用攻角，因此人為設(shè)定αm的上界αup以縮小優(yōu)化變量范圍，提升優(yōu)化算法求解速度：

αm∈[0,αup].

(2) 二級(jí)飛行程序

二級(jí)飛行程序采用俯仰角程序，在二級(jí)飛行穩(wěn)定后，使俯仰角線性下降一定時(shí)間，然后保持常值，直至二級(jí)飛行結(jié)束。

假設(shè)t21時(shí)二級(jí)飛行達(dá)到穩(wěn)定，開(kāi)始進(jìn)行轉(zhuǎn)彎，俯仰角指令線性下降，于t22時(shí)刻停止下降，保持常值，二級(jí)飛行程序表達(dá)式為

(6)

ak為俯仰角直線下降斜率，設(shè)其最大不超過(guò)aup，則取值范圍為

ak∈[0,aup].

(3) 三級(jí)飛行程序

三級(jí)程序采用俯仰角程序，設(shè)一脈沖和二脈沖的俯仰角程序均保持常值，分別為φ31和φ32，即

(7)

式中：φ31為一脈沖作用時(shí)的俯仰角；φ32為二脈沖作用時(shí)的俯仰角，無(wú)量綱取值范圍均設(shè)為0～1。

(4) 飛行時(shí)序

導(dǎo)彈的飛行空域與其飛行時(shí)序有關(guān)，其中，設(shè)一級(jí)關(guān)機(jī)后、一級(jí)分離前的滑行時(shí)間為Tc1；一級(jí)分離后、二級(jí)開(kāi)機(jī)前的滑行時(shí)間為Tc2；二級(jí)分離后，三級(jí)一脈沖開(kāi)機(jī)前的滑行時(shí)間為Tc30；三級(jí)一脈沖關(guān)機(jī)后，三級(jí)二脈沖開(kāi)機(jī)前的滑行時(shí)間為Tc31。

由于一級(jí)關(guān)機(jī)后，二級(jí)開(kāi)機(jī)前，導(dǎo)彈處于大氣層內(nèi)且無(wú)姿態(tài)控制能力，因此不進(jìn)行滑行，三級(jí)處于大氣層外，可以滑行。

時(shí)序變量的表達(dá)式為

(8)

綜上，全部?jī)?yōu)化變量如下：

式中：t3=1.187；f4=1；t5=0.396；f6=1。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

本文對(duì)低和遠(yuǎn)2個(gè)矛盾的指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，因此使用加權(quán)法對(duì)二者進(jìn)行結(jié)合，得到其優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

maxJ=λR+(1-λ)(15 000 000-H)，

(9)

式中：高度指標(biāo)H通過(guò)構(gòu)造減法的形式，得到與航程指標(biāo)R數(shù)量級(jí)一致的極大值指標(biāo);λ為權(quán)重系數(shù)，二者加權(quán)結(jié)合后形成極大值指標(biāo)J。

2.3 約束條件

本文考慮的約束條件包括可用攻角約束、可用過(guò)載約束、分離點(diǎn)動(dòng)壓約束、最終點(diǎn)彈道傾角約束[9-10]，其表達(dá)式為

(10)

式中：α(t)為t時(shí)刻需用攻角;n(t)為t時(shí)刻需用過(guò)載;αmax(t)為t時(shí)刻可用攻角;nmax(t)為t時(shí)刻可用過(guò)載;qsep12為一、二級(jí)分離點(diǎn)動(dòng)壓;Q為一、二級(jí)分離點(diǎn)動(dòng)壓值上限;θf(wàn)為最終點(diǎn)的彈道傾角;ω為導(dǎo)引頭視場(chǎng)角。

2.4 優(yōu)化方法

優(yōu)化方法使用自適應(yīng)遺傳算法[11-13]，約束條件使用罰函數(shù)法處理。

優(yōu)化變量由于個(gè)數(shù)較多，采用二進(jìn)制編碼時(shí)，若要保證結(jié)果的計(jì)算精度，需要很長(zhǎng)的基因長(zhǎng)度，因此本文對(duì)優(yōu)化變量直接采用實(shí)數(shù)編碼的方式[14-15]。

交叉概率Pc和變異概率Pm的自適應(yīng)方法如下：

(11)

(12)

式中：[Pc2,Pc1]為交叉概率取值范圍;[Pm2,Pm1]為變異概率取值范圍;fc為交叉的2個(gè)個(gè)體適應(yīng)度中較大的適應(yīng)度;fm為要變異個(gè)體的適應(yīng)度值;favg為每代群體的平均適應(yīng)度值；fmax為每代群體中最大適應(yīng)度值。

由于本文所求極值為極大值，且所有適應(yīng)度值均為正值，直接對(duì)不符合約束條件的適應(yīng)度值進(jìn)行一定程度的縮小即可有效排除不符合約束條件的個(gè)體，處理約束條件的罰函數(shù)法表達(dá)式為

Jcost=c·J，

(13)

式中：J為適應(yīng)度值；Jcost為考慮了懲罰的適應(yīng)度值；c為對(duì)適應(yīng)度值進(jìn)行放縮時(shí)的比例系數(shù)。

3 仿真計(jì)算結(jié)果分析

仿真計(jì)算基于自適應(yīng)遺傳算法對(duì)彈道進(jìn)行整體優(yōu)化，并與已有的分段優(yōu)化結(jié)果相比較，已有分段優(yōu)化的三級(jí)雙脈沖采用數(shù)值相等的俯仰角指令設(shè)計(jì)。

對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行整體優(yōu)化的遺傳算法設(shè)置為種群規(guī)模100，進(jìn)化代數(shù)200，目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)設(shè)為0.5，適應(yīng)度放縮比例系數(shù)符合約束條件時(shí)取為1，不符合約束條件時(shí)取為0.001，交叉概率取值范圍設(shè)為[0.4,0.9],變異概率的取值范圍設(shè)為[0.001,0.4]。進(jìn)行無(wú)量綱化處理后，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

整體優(yōu)化結(jié)果與分段優(yōu)化結(jié)果在特征點(diǎn)處的無(wú)量綱參數(shù)對(duì)比如表2所示。表2中，t1代表一級(jí)分離點(diǎn)，t2代表二級(jí)分離點(diǎn)，t9代表三級(jí)分離點(diǎn)。

優(yōu)化后彈道的無(wú)量綱航程-海拔曲線如圖1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization Results

注：表1中各量均為相對(duì)量

表2 優(yōu)化前后參數(shù)對(duì)比表Table 2 Parameter comparison before and after optimization

注：表2中各量均為相對(duì)量

圖1 優(yōu)化結(jié)果曲線Fig.1 Image of optimization result

由表2和圖1可以看出優(yōu)化后的結(jié)果在保證最后處于上升段命中的條件下，比優(yōu)化前海拔低4.7%、地面航程遠(yuǎn)14.42%，導(dǎo)彈的低遠(yuǎn)射界得到了進(jìn)一步擴(kuò)大。

整體優(yōu)化后，導(dǎo)彈在一級(jí)和二級(jí)的下壓程度比分段優(yōu)化得到結(jié)果的下壓程度小，彈道的拋物線部分更高，并通過(guò)三級(jí)滑行時(shí)間的增長(zhǎng)和三級(jí)俯仰角程序的重新設(shè)計(jì)及優(yōu)化，得到了性能更好的彈道，而且優(yōu)化后一級(jí)分離時(shí)的動(dòng)壓減小9.73%，有利于導(dǎo)彈分離時(shí)的穩(wěn)定，優(yōu)化后t9時(shí)刻的導(dǎo)彈速度提高了1.2%，有利于提高殺傷效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，對(duì)導(dǎo)彈的飛行程序和時(shí)序進(jìn)行了設(shè)計(jì)，對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行了設(shè)計(jì)，最終使用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)常溫低遠(yuǎn)彈道參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了求解，得到的優(yōu)化結(jié)果相對(duì)于以往優(yōu)化方法得到的結(jié)果海拔更低、航程更遠(yuǎn)，性能更好。