王福謙

（西南交通大學(xué)希望學(xué)院，成都610400）

0 引 言

文獻(xiàn)［1-8］中分別運(yùn)用鏡像法和保角變換分析了接地薄圓筒內(nèi)線電荷的電場(chǎng)，而線電荷與帶有低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場(chǎng)的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見(jiàn)報(bào)道。為此，本文擬通過(guò)保角變換討論線電荷與帶有低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場(chǎng)，給出其電勢(shì)分布函數(shù)，并利用數(shù)學(xué)軟件Matlab對(duì)場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬，繪制出電場(chǎng)線和等勢(shì)線（面）圖。

1 電勢(shì)分布

圖1 帶有低脊的薄圓筒與線電荷的橫截面

圖2 變換后的薄圓筒與線電荷的橫截面

為計(jì)算簡(jiǎn)便計(jì)，本文具體計(jì)算線電荷與帶有一條低脊接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場(chǎng)（圖略），即低脊的數(shù)目n＝1，與此相應(yīng)的變換函數(shù)式（1）可寫(xiě)為：

上式將z平面上線電荷的位置的z0＝x0＋jy0，變換為w平面上的w0位置，該位置由式（2）給出：

再作將單位圓變換為單位圓并把荷電線所在位置變換在圓心的分式線性變換［10］

經(jīng)此變換后，帶有一條低脊接地導(dǎo)體薄圓筒的橫截面在ζ平面上的形狀映射為圓形，且荷電線位于圓心上，如圖3所示。

圖3 再變換后的薄圓筒與線電荷的橫截面

對(duì)與圖3對(duì)應(yīng)的無(wú)限長(zhǎng)的圓柱形區(qū)域，電場(chǎng)的分布具有軸對(duì)稱性，而在ζ平面上r＝1的圓周上各點(diǎn)的電勢(shì)均為零（因在z平面上圓筒接地）。由此可得該區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布為：

式中，r為觀察點(diǎn)到ζ平面原點(diǎn)的距離。由ln（ρeiφ）＝ln ρ＋ iφ 知，ln＝ln r，則可知ζ 平面上靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)為：

設(shè)復(fù)函數(shù)z＝x＋iy，則ζ（z）＝ ξ（x，y）＋ iη（x，y），由式（2）、（3）得

由式（7），該靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)式（6）可表示為：

式（9）為線電荷與帶有一條低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成電場(chǎng)的電勢(shì)分布解析式。

2 場(chǎng)分布的數(shù)值模擬

為了給出線電荷與帶有一條或多條低脊的接地薄圓筒導(dǎo)體所形成電場(chǎng)的電場(chǎng)分布直觀圖像，并檢驗(yàn)本文研究結(jié)果的正確性，下面通過(guò)式（1）、（3）及（8），利用數(shù)學(xué)軟件Matlab［12-16］繪制出的線電荷與帶有低脊的接地薄圓筒導(dǎo)體所形成電場(chǎng)的電場(chǎng)線等勢(shì)線（面）圖。

圖4～7為接地導(dǎo)體薄圓筒內(nèi)低脊的數(shù)目分別為1、3、4和5時(shí)，線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)的電場(chǎng)線等勢(shì)線（面）圖。由圖可見(jiàn)，圓筒內(nèi)表面上的低脊的數(shù)目越多，高度越大，對(duì)電場(chǎng)的影響越大；電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面和等勢(shì)線；以上的場(chǎng)線分布特征均科學(xué)合理［12］，為預(yù)期結(jié)果，這說(shuō)明本文的研究方法正確，結(jié)論可靠。應(yīng)該注意的是，變換函數(shù)式（1）僅適用于低脊的間距較大且其高度很小的情形，當(dāng)?shù)图沟臄?shù)目過(guò)多，以至于相鄰低脊間的距離很小，或低脊的高度較大時(shí)，均不能應(yīng)用本文給出的方法進(jìn)行研究，也即，本文的研究方法僅適合于低脊的間距較大且高度很小的情形。特別的是，當(dāng)?shù)图瓜r(shí)，其內(nèi)部的電場(chǎng)分布又回到線電荷與接地薄圓筒所形成電場(chǎng)的情形［3］（見(jiàn)圖8）。

圖4 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)（λ＝2.6 C／m，x0＝0.2 m，y0＝0.5 m，a ＝0.1 m）

圖5 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)（λ＝2.5 C／m，x0＝0.2 m，y0＝ -0.15 m，a＝0.1 m）

圖6 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)（λ ＝ 1.5 C／m，x0＝ -0.1 m，y0＝0.2 m，a＝0.08 m）

圖7 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)（λ ＝2.5 C／m，x0＝0.2 m，y0＝0.25 m，a＝0.085 m）

圖8 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)（λ ＝2.5 C／m，x0＝ -0.3 m，y0＝ -0.4 m，a ＝0）

3 結(jié) 語(yǔ)

本文將理論分析與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場(chǎng)，給出其電勢(shì)及場(chǎng)強(qiáng)分布的解析解，并利用Matlab軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬，實(shí)現(xiàn)了場(chǎng)分布的可視化，為邊界復(fù)雜的靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解提供了一種思路與方法，可供電線電纜中相關(guān)問(wèn)題的研究借鑒和參考。