劉曉婉，李曉然，周 芳

(皖西學院 金融與數(shù)學學院，安徽 六安 237012)

種群動力學是理論生態(tài)學研究的主要內容之一, 它以人類、昆蟲和動物為主要研究對象，應用微分方程和動力學方法建立數(shù)學模型來研究種群的發(fā)展變化規(guī)律。近年來，階段結構種群模型的動力學行為研究引起了學者們的極大關注，見文[1]-[9]以及所引文獻。

1 研究進展

Chen，Xie等學者在研究階段結構捕食-食餌種群模型的持久性和絕滅性時[1]，發(fā)現(xiàn)針對他們所考慮的系統(tǒng)，食餌種群的絕滅并不意味著捕食者種群的絕滅，這似乎有違常識，其后他們經(jīng)過分析認為，可能所構建的模型中，隱含了捕食者有其他食物來源的假設，從而哪怕食餌種群絕滅了，捕食者種群照樣可能持續(xù)生存；Chen，Xie等學者提出了具有階段結構的May合作種群模型[2]，他們研究表明隨著引入階段結構，系統(tǒng)可以絕滅，殘存或者兩個種群穩(wěn)定共存的，而眾所周知的，對階段結構的May合作種群模型而言，兩個種群是恒穩(wěn)定共存的，這表明階段結構是引起生態(tài)系統(tǒng)動力學行為復雜的本質原因之一，是使得種群滅絕的關鍵性因素之一。

我們關注到這樣一個事實，所有文獻[1]-[9]的作者對具有階段結構的種群均假設其幼年的出生率是成比例于成年種群的數(shù)量的，這種線性化的假設能使得系統(tǒng)動力學行為容易分析，但這種假設經(jīng)常情況下不一定會客觀反映現(xiàn)實情形。文獻[3]-[5]的作者認為一個更為符合實際的模型應該要考慮到非線性出生率，事實上，文獻[3]提出了具有非線性生育率的單種群捕獲模型，作者討論了平衡點的局部穩(wěn)定性，其后借助Dulac判別法，得到了正平衡點全局穩(wěn)定的充分性條件；文獻[5]提出了具有非線性生育率的三階段單種群模型，討論了模型的穩(wěn)定性態(tài)；文獻[4]認為現(xiàn)實生活中，單獨生存的種群是非常少的，更為符合實際的模型應該要考慮到種間作用，因此，他們在文獻[3]的基礎上，提出如下食餌具有階段結構和非線性出生率的捕食者-食餌模型：

(1)

其中x1(t),x2(t)分別為食餌種群的幼年種群和成年種群在t時刻的種群密度，y(t)表示捕食者種群在t時刻的種群密度，這里假設捕食者僅捕食幼年食餌種群。記b=d+δ，δ=c，則系統(tǒng)(1)可以改寫為

有關系統(tǒng)(2)各個平衡點的穩(wěn)定性，作者得到如下兩個結果。

定理1

這里一些有趣的問題被提出：1)作者討論了正平衡點的全局穩(wěn)定性，但是作者未對系統(tǒng)的邊界平衡點的全局穩(wěn)定性進行探討。人類對自然界的過度開發(fā)，越來越多的物種變成瀕危物種，探討物種的絕滅性成了非常重要的課題；2)作者在證明定理2時，借助了Dulac判別法，眾所周知，Dulac判別法只能應用于二維平面系統(tǒng)，而對三維的系統(tǒng)，是不能直接應用的，因此，作者的證明是不嚴謹?shù)模ɡ?的結論是否成立還有待探討。

本文將對上述這兩個問題給出肯定回答。我們主要是借助微分方程比較原理和通過構造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，給出保證系統(tǒng)的3個平衡點全局漸近穩(wěn)定性的充分條件并給予證明，我們的方法具有一般性，可用于探討相似的生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

2 主要結果

下面敘述本文的主要結果。

定理2.1考慮系統(tǒng)(2)

在給出定理的證明之前,我們需要如下引理,這是文獻[3]中定理2的特例。

引理2.1考慮系統(tǒng)

(3)

下面給出定理2.1的證明。

(a) 由系統(tǒng)(2)的前兩個方程和解的非負性，可得

今考慮系統(tǒng)

(4)

沿著系統(tǒng)(4)的正解計算V1(t)的導數(shù)，有

對系統(tǒng)(2)的任一正解(x1(t),x2(t),y(t))，不妨設其初值為

且令(u1(t),u2(t))是系統(tǒng)(4)的滿足初值(u1(0),u2(0))=(x10,x20)的解，則由微分方程比較原理知當t≥0時，有xi(t)≤ui(t). 由系統(tǒng)(2)的解的正性，有

也就是有

(5)

由此知當t→+∞時，有

(6)

(5)和(6)表明系統(tǒng)(2)的邊界平衡點O(0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的。定理第一部分證明完畢。

(b) 由系統(tǒng)(2)的前兩個方程和解的非負性，可得

今考慮系統(tǒng)

(7)

(8)

對系統(tǒng)(2)的任一正解(x1(t),x2(t),y(t))，不妨設其初值為

且令(u1(t),u2(t))是系統(tǒng)(7)的滿足初值(u1(0),u2(0))=(x10,x20)的解，則由微分方程比較原理知當t≥0時，有

(9)

由系統(tǒng)(2)的解的正性及(8)和(9)可知有

(10)

(11)

由(11)可知對足夠小的正數(shù)ε1>0，有不等式

成立。也就是

(12)

成立。

由(10)可知存在足夠大的T1>0使得對所有的t>T1有

從而當t>T1時，由系統(tǒng)(2)的第三個方程有

由此以及(13)可知：當t→+∞時，有

(13)

(14)

成立。對此ε2，由(13)知道存在足夠大的T2>T1，使得當t>T2時

(15)

由(15)和系統(tǒng)(2)的前兩個方程可知：當t>T2時，有

考慮系統(tǒng)

(16)

(17)

也即對系統(tǒng)(16)的任一正解(v1(t),v2(t))，有

(18)

對系統(tǒng)(2)的任一正解(x1(t),x2(t),y(t))，不妨設其初值為

且令(v1(t),v2(t))是系統(tǒng)(16)的滿足初值(v1(0),v2(0))=(x10,x20)的解,則由微分方程比較原理知當t≥T2時，有

(19)

由系統(tǒng)(2)的解的正性及(18)和(19)可知有

(20)

由(10)和(20)可知有

(21)

(22)

(c) 我們將通過構造適當?shù)腖yapunov函數(shù)來證明這一結論。今構造Lyapunov函數(shù)

(23)

沿著系統(tǒng)(2)的正解計算導數(shù)，借助(23)有

今取

則有

3 結論

黃任培提出了食餌具有非線性出生率的捕食者-食餌模型(1)[4]，在將系數(shù)合并后，變成了系統(tǒng)(2)，作者探討了系統(tǒng)的各個平衡點的存在型，局部穩(wěn)定性和正平衡點的全局穩(wěn)定性。我們注意到作者有關正平衡點的全局穩(wěn)定性的證明是不夠嚴格的，Dulac定理并不能直接應用于三維系統(tǒng)，本文中，我們重新探討系統(tǒng)(2)的3個平衡點的全局穩(wěn)定性態(tài)。借助微分方程比較原理和通過構造適當?shù)腖yapunov函數(shù)，我們獲得了保證系統(tǒng)各個平衡點全局穩(wěn)定性的充分性條件，對比定理1、定理2和定理2.1可知，保證系統(tǒng)(2)的各個平衡點局部穩(wěn)定的條件就足以保證它們是全局穩(wěn)定的。這樣，我們就極大的改進和推廣了文獻[4]的主要結果。我們的方法具有一般性，可用于探討類似的階段結構生態(tài)系統(tǒng)。