胡訓美，張 波

(皖西學院 基礎(chǔ)實驗中心，安徽 六安 237012)

在靜態(tài)拉伸法測量金屬絲楊氏模量實驗中，為了提高光杠桿的放大倍數(shù)，通常要求尺讀望遠鏡與光杠桿的鏡面水平相距距離在1米以上[1]。這導致楊氏模量測量儀在實際使用過程中需要占用較大空間。此外，外加砝碼時由于人為因素會導致金屬絲抖動，從而產(chǎn)生讀數(shù)誤差。針對這些問題，本文利用近距二次反射法測定金屬絲楊氏模量，把橫向水平鏡尺距離轉(zhuǎn)化為縱向垂直距離，利用光杠桿與平面鏡間的二次反射增加光程，從而完成對金屬絲微小變化量的測量。這不僅節(jié)省了儀器占用空間，而且通過數(shù)字式施力計代替外加砝碼改變金屬絲拉力，減小了外在人為因素導致的實驗誤差。

1 靜態(tài)拉伸法測量金屬絲楊氏模量的實驗原理

設(shè)一根粗細均勻的金屬絲，在受到沿長度方向的外力F的作用下產(chǎn)生形變，其形變量為ΔL，根據(jù)胡克定律：

(1)

式中L為線性長度，S為橫截面積，比例系數(shù)Y即為金屬絲的楊氏模量(單位：N/m2)。對于直徑為d的金屬絲，其楊氏模量為：

(2)

在L、d和F相同的情況下楊氏模量Y越大的金屬絲，其伸長量ΔL越小，常用的測量工具難以對ΔL進行測量，實驗中需要用光杠桿進行放大測量[2]。

1.1 傳統(tǒng)光杠桿放大原理

如圖1所示，將光杠桿的前足尖固定在平臺上的凹槽中，后足尖放置于金屬絲活動夾表面，當外加砝碼時，金屬絲在外力作用下改變了ΔL微小長度，此時光杠桿鏡面偏轉(zhuǎn)θ角度，反射光線改變2θ角度，從望遠鏡里觀察到的標尺刻度從初始位置由R0變化到R1的位置。由圖中的幾何關(guān)系可知

圖1 光杠桿原理圖

(3)

(4)

式中b為光杠桿的臂長，D為鏡尺距離，ΔR為加上外力以后望遠鏡里標尺刻度的改變量。由于角θ很小，tanθ≈θ，tan2θ≈2θ，所以

(5)

(6)

由(5)式和(6)式可消去θ，得

(7)

將(7)式代入(2)式得

(8)

光杠桿系統(tǒng)的放大倍數(shù)為：

(9)

從(9)式中可以得出，D越大光杠桿系統(tǒng)放大倍數(shù)β越大。但在具體實驗過程中由于場地、儀器等因素影響了鏡尺距離D的大小，從而直接限制了光杠桿放大倍數(shù)，影響了實驗中的測量精度。因此需要對傳統(tǒng)實驗中所用到的楊氏模量測量儀器進行改進。

2 近距二次反射法測量金屬絲楊氏模量

2.1 楊氏模量測量儀器的改進

圖2 近距二次反射法楊氏模量測量儀示意圖

如圖2所示，將待測金屬絲一端固定在楊氏模量測量儀的頂部夾具上，金屬絲另一端穿過活動夾頭與施力計相連。頂部夾具上裝置一平面反射鏡，標尺和光杠桿平臺處于同一平面上，且標尺位于光杠桿平臺的一側(cè)。光杠桿平臺上的刻度尺發(fā)出的光通過頂部夾具上平面反射鏡反射至光杠桿鏡面，經(jīng)光杠桿鏡面反射到達望遠鏡視場中[3](P11)。這種改進將傳統(tǒng)儀器中橫向水平鏡尺距離轉(zhuǎn)化為縱向垂直距離，打破了水平空間對測量精度的限制。

2.2 近距二次反射法測量微小位移原理

如圖3所示，調(diào)節(jié)光杠桿鏡面使得鏡面法線與水平方向成一夾角(45°)，再調(diào)節(jié)望遠鏡直至在望遠鏡視場中看到清晰的標尺示數(shù)x1的像。通過施力計對金屬絲施加外力，待測金屬絲在施力計的作用下產(chǎn)生的微小位移為ΔL[4]，此時光杠桿動足尖下降從而帶動光杠桿鏡面轉(zhuǎn)動角度為θ，根據(jù)光的反射定律可知，在出射光線(即進入望遠鏡的光線)不變的情況下，入射光線相應轉(zhuǎn)動了2θ角度，此時在望遠鏡中觀察到標尺示數(shù)變?yōu)闉閤2，標尺示數(shù)的改變量為Δx。

圖3 近距二次反射法光杠桿放大原理

從圖3的幾何關(guān)系中我們可以看出，

(10)

(11)

式中H是上夾具上固定的反射鏡轉(zhuǎn)軸到光杠桿平臺上標尺間縱向垂直距離，實驗中H?ΔL，且在外力作用下金屬絲的微小變化量所導致的光杠桿轉(zhuǎn)動θ角很小[5]，所以有：tanθ≈θ,tan2θ≈2θ

(12)

(13)

故有：

ΔL=b·θ

(14)

Δx=2θ·2H

(15)

聯(lián)立(14)和(15)式消去θ,得

(16)

儀器中4H?b，這樣一來，便能把一微小位移ΔL放大成較大的容易測量的位移Δx。將(16)式帶入(2)式得到：

(17)

如此，可以通過測量(17)式右邊的各參量得到被測金屬絲的楊氏模量，式中各物理量的單位取國際單位(SI制)。

2.3 改進后的光杠桿及放大倍數(shù)

改進后的光杠桿其反射鏡轉(zhuǎn)動軸線在光杠桿鏡面內(nèi)，動足尖自由放置在活動夾頭表面。光杠桿的臂長為反射鏡轉(zhuǎn)軸中心點到動足尖的距離，可自由調(diào)節(jié)[6]。光杠桿鏡尺系統(tǒng)的放大倍數(shù)為：

(18)

由(18)式可知，改進后的近距二次反射法測量楊氏模量裝置中其光杠桿鏡尺系統(tǒng)的放大倍數(shù)僅與縱向垂直距離H和光杠桿的臂長b有關(guān)，與望遠鏡和楊氏模量測量儀的水平距離D無關(guān)。

3 實驗測量結(jié)果及分析

3.1 碳鋼絲直徑測量數(shù)據(jù)

表1 金屬絲直徑的測量

3.2 光杠桿常數(shù)及金屬絲長度的測量

用鋼卷尺測量碳鋼絲的原長L，即金屬絲的上夾頭下表面到平臺活動夾的距離。用鋼卷尺測量鏡尺距離，即反射鏡轉(zhuǎn)軸鏡面到標尺的垂直距離H。用游標卡尺測量光杠桿臂長b，即水平卡座長度。用鋼卷尺測量出望遠鏡與光杠桿鏡面距離D，見表2。

表2 光杠桿常數(shù)及碳鋼絲長度的測量

3.3 測量標尺示數(shù)x的值

1)按實驗裝置示意圖裝置好儀器，調(diào)節(jié)望遠鏡直至在望遠鏡視場中看到清晰的標尺刻度像；

3)緩慢旋轉(zhuǎn)施力螺母，逐漸增加碳鋼絲的拉力，每隔0.50 kg記錄一次標尺示數(shù)，直至設(shè)定值；

5)求出標尺示數(shù)改變量Δx值，見表3。

表3 標尺示數(shù)x的值

3.4 測量結(jié)果

將表1—表3的測量數(shù)據(jù)帶入(17)式中，則利用本裝置測得的碳鋼絲楊氏模量結(jié)果為：

Y=2.02×1011(N/m2)

對標準不確定度U(Y)進行評定，U(Y)=1.854×109(N/m2),寫出金屬絲楊氏模量的結(jié)果表達式為：

Y=(2.02±0.02)×1011(N/m2)

碳鋼絲在20 ℃時楊氏模量的理論值為(2.0×1011—2.1×1011)N/m2，測量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)，由此可見測量結(jié)果準確。

4 結(jié)語

本文利用近距二次反射式楊氏模量測量儀器，把橫向水平鏡尺距離轉(zhuǎn)化為縱向垂直距離，在測量過程中不僅縮短望遠鏡與實驗儀器之間的距離，節(jié)省儀器占的用空間，而且有效地提高了光杠桿的放大倍數(shù)。實際測量所得到的實驗數(shù)據(jù)準確、誤差小，提高了實驗精確度。