陸 冬，丁 強

(南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南京 210023)

0 引 言

與傳統(tǒng)電機相比，無軸承電機由于轉(zhuǎn)子磁懸浮的特點，在許多應(yīng)用場合具備特殊的優(yōu)勢[1-3]。例如，在超潔凈液體的傳輸驅(qū)動領(lǐng)域，無軸承電機轉(zhuǎn)子由于和定子完全分離，很容易封裝后置入容器中，實現(xiàn)對液體的離心驅(qū)動。此外，無軸承電機不存在機械軸承磨損，在飛輪儲能等高速領(lǐng)域同樣具備天然的優(yōu)勢。因此無軸承電機作為一種特種電機，在國內(nèi)外學(xué)者間引起了廣泛關(guān)注[4-5]。

然而也正因為轉(zhuǎn)子的懸浮運行，無軸承電機對轉(zhuǎn)子的裝配、傳感器的安裝精度以及位移檢測誤差等原因引起的氣隙磁密不均勻格外敏感。當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生偏心時，不平衡的磁拉力趨向于將轉(zhuǎn)子拉向遠離平衡位置。另一方面，氣隙磁密不平衡會導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩的波動，進一步惡化控制效果，產(chǎn)生振動以及噪音，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性。因此徑向位移控制的魯棒性對無軸承電機系統(tǒng)尤為關(guān)鍵，是電機產(chǎn)生穩(wěn)定轉(zhuǎn)矩的基礎(chǔ)[6-8]。這就對位移控制器的性能提出了較高的要求，無軸承電機系統(tǒng)必須要對作用在轉(zhuǎn)子徑向上的擾動力具備足夠強的抗擾能力。

針對無軸承電機徑向擾動導(dǎo)致的穩(wěn)定性問題，傳統(tǒng)控制方案中可通過加強PID參數(shù)來加強位移環(huán)路的帶寬以提高系統(tǒng)的抗擾動能力，但受限于數(shù)字控制器的控制周期以及電流環(huán)的響應(yīng)速度，位移環(huán)的帶寬無法進一步提升，參數(shù)過強時反而會帶來轉(zhuǎn)子震蕩風(fēng)險。文獻[6]通過推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子偏心下的數(shù)學(xué)模型，對懸浮力實現(xiàn)更精確的建模來實現(xiàn)轉(zhuǎn)子位置更平穩(wěn)的控制，然而，該模型解決了由于模型偏差導(dǎo)致的脈動，但并不能改善外界擾動引起的轉(zhuǎn)子抖動問題。

針對轉(zhuǎn)子徑向擾動問題，本文借鑒了傳統(tǒng)電機中負載觀測方法[7-9]，將轉(zhuǎn)矩負載的觀測方法應(yīng)用于徑向擾動的觀測中，通過對控制器懸浮力進行補償，實現(xiàn)無軸承電機徑向位移的抗擾動控制。本文首先推導(dǎo)驗證了徑向擾動觀測的可行性，隨后通過仿真和理論分析驗證了觀測器對位移控制的改善效果。最后通過實驗驗證了該算法的有效性。

1 拓撲結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

集中式繞組的表貼式無軸承永磁電機典型拓撲如圖1所示，該結(jié)構(gòu)電機由六個定子齒和一對極的表貼式轉(zhuǎn)子組成，六個線圈繞制在各自的定子齒上。

根據(jù)無軸承電機懸浮的理論[10]，六個繞組內(nèi)的電流需要由轉(zhuǎn)矩電流和懸浮電流兩種分量疊加組成，其形式可以寫為

(1)

圖1 表貼式無軸承永磁電機拓撲結(jié)構(gòu)

式中，Al為懸浮電流幅值，θl為懸浮電流相位，At為轉(zhuǎn)矩電流幅值，θt為轉(zhuǎn)矩電流相位。推導(dǎo)該結(jié)構(gòu)電機的徑向懸浮力的數(shù)學(xué)模型的表達式為

(2)

其中的系數(shù)為

(3)

(4)

式中，μ0為空氣磁導(dǎo)率，r為轉(zhuǎn)子半徑，h為轉(zhuǎn)子軸向長度，leg為氣隙長度，α為齒寬弧度。θr轉(zhuǎn)矩電流相位。APM為永磁磁勢幅值，θr為轉(zhuǎn)子機械轉(zhuǎn)角，lpx、lpy分別為轉(zhuǎn)子在x和y方向上的偏心距離。

式(2)可以看出，轉(zhuǎn)子徑向力由兩部分組成。第一項是由繞組電流產(chǎn)生，由于永磁磁勢的幅值遠大于轉(zhuǎn)矩電流產(chǎn)生的磁勢，即APM?At，因此懸浮電流的幅值和相位對懸浮力的產(chǎn)生起主要作用，轉(zhuǎn)矩電流對懸浮力可看作是擾動。第二項為不平衡磁拉力，由轉(zhuǎn)子偏心產(chǎn)生。一般情況下，由于轉(zhuǎn)子偏心量較小，線性化后可以近似認為不平衡磁拉力正比于轉(zhuǎn)子的偏心位移，即系數(shù)kxx和kyy近似為常數(shù)。

2 擾動觀測器模型

從上節(jié)的懸浮力數(shù)學(xué)模型中可以注意到，轉(zhuǎn)矩電流和懸浮電流的作用效果并非完全解耦的，當(dāng)電機旋轉(zhuǎn)維度施加重載時，繞組內(nèi)的轉(zhuǎn)矩電流會在徑向上產(chǎn)生擾動作用，給電機的徑向穩(wěn)定造成一定的影響。除此之外，模型的非線性、負載振動等因素都會在轉(zhuǎn)子徑向產(chǎn)生不確定的擾動，影響轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。針對此問題，本文引入了擾動觀測器以降低徑向擾動的影響，提高懸浮性能。

觀測器的核心思想為在控制系統(tǒng)中重構(gòu)一個與真實被控對象等價的系統(tǒng)，并將控制量作用于該系統(tǒng)，當(dāng)該系統(tǒng)的輸出與真實系統(tǒng)相同時，便可將觀測的狀態(tài)量當(dāng)做是真實系統(tǒng)的狀態(tài)量實現(xiàn)狀態(tài)反饋。

無軸承電機轉(zhuǎn)子的機械運動方程可寫為

(5)

選取轉(zhuǎn)子位移 、轉(zhuǎn)子速度 和擾動力 作為系統(tǒng)的狀態(tài)量x:

(6)

可將式(5)的運動方程寫為如下所示的狀態(tài)形式:

(7)

式中各矩陣的表達式如下:

(8)

(9)

(10)

式(7)所示的狀態(tài)方程形式展開后如下:

(11)

系統(tǒng)的輸出方程為

y=Cx

(12)

(13)

式中,“^”表示估計量，將觀測器的輸出與系統(tǒng)的實際輸出作差后，通過矩陣H反饋至估計量的微分狀態(tài)，可使觀測器的輸出與實際系統(tǒng)輸出間的誤差收斂至零。反饋矩陣H的形式為H=[h1h2h3]T，h1、h2、h3為待定系數(shù)。引入了狀態(tài)觀測器后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)框圖

由此可以得到引入了狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(14)

根據(jù)式(14)可以設(shè)計出擾動觀測器的結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 擾動觀測器框圖

觀測器的特征方程為

(15)

若狀態(tài)觀測器的目標(biāo)極點為p1，p2，p3。

det[sI-(A-HC)]=(s-p1)(s-p2)(s-p3)

(16)

通過待定系數(shù)法可以求得

(17)

狀態(tài)觀測器的誤差收斂的條件是全部期望極點具有負實部，即極點應(yīng)該位于s平面的左半平面部分。通過合理設(shè)置觀測器的極點，可以實現(xiàn)其輸出對系統(tǒng)真實狀態(tài)量的跟蹤。

實現(xiàn)擾動觀測后，需要將觀測器輸出的擾動量作為補償量提供給PID控制器，以抵消真實擾動給位移環(huán)帶來的擾動。優(yōu)化后的抗擾動控制框圖如圖4所示。

圖4 無軸承電機抗擾動控制框圖

3 仿真及帶寬分析

為驗證擾動觀測器的性能，在Matlab/Simulink中搭建仿真模型，仿真所用的參數(shù)如下:轉(zhuǎn)子質(zhì)量0.2 kg，徑向位移剛度30 N/mm，忽略了電機實際控制過程中電流環(huán)的延遲影響。

圖5 階躍作用力下的徑向位移響應(yīng)

圖5對比了徑向階躍負載情況下，傳統(tǒng)PID控制和加入了擾動觀測后的徑向位移響應(yīng)波形，主環(huán)路所用的PID參數(shù)相同。從圖5(b)中可以看到，通過合理的零極點配置，觀測器對階躍負載有著較好的跟蹤效果，在3.5 ms時間內(nèi)觀測器輸出收斂到真實繞動力附近。采用傳統(tǒng)PID控制時，在階躍的徑向擾動作用下，主要依靠積分環(huán)節(jié)的調(diào)節(jié)產(chǎn)生徑向力與擾動平衡，其調(diào)節(jié)速度較慢，因此位移的恢復(fù)時間較長。加入了擾動觀測后，位移環(huán)的動態(tài)性能被大大改善，階躍擾動下的位置偏移從50 μm降低至13 μm，恢復(fù)穩(wěn)態(tài)的時間從約40 ms縮短至18 ms。

由于電機轉(zhuǎn)子是一旋轉(zhuǎn)的系統(tǒng)，徑向的擾動在更多時候以交變的形式呈現(xiàn)。例如，當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心不重合時，會在徑向形成擾動力。這些擾動均可看做是徑向的負載。圖6仿真驗證了在正弦交變徑向力作用下，傳統(tǒng)PID控制和加入了擾動觀測補償?shù)男Ч麑Ρ龋瑥较驍_動力的幅值為5 N，頻率為50 Hz?？梢钥吹?，由于負載觀測器的帶寬足夠強，可以對該頻段的負載變化實現(xiàn)較好的跟蹤。將觀測的負載引入主環(huán)路進行補償后，轉(zhuǎn)子徑向位移的脈動被有效降低，徑向的波動從50 μm降低至11 μm。

圖6 正弦徑向力下的位移響應(yīng)

通過帶寬分析可以驗證擾動觀測器對位移控制環(huán)路的改善效果，根據(jù)圖4展示的控制框圖，可以推導(dǎo)出加入擾動觀測器前后，實際位移與給定位移之間的傳遞函數(shù)H1(s)，加入擾動觀測前后傳遞函數(shù)均為

(18)

這表明加入擾動觀測并不會影響主環(huán)路的傳遞函數(shù)，進一步推導(dǎo)位移和擾動力之間的傳遞函數(shù)，在不加入擾動觀測時，傳遞函數(shù)表達式為

(19)

加入擾動觀測后，傳遞函數(shù)可以寫為

(20)

其中，a1=m；a2=mh1；a3=mh2-k；b1=m2；b2=m2h1+mkD；b3=mkP-2mk+h2m2+mh1kD；b4=mh3-kkD+mkI-mkh1+mh2kD+mh1kP；b5=h3kD-kkP+k2-h2mk+mh2kP+mh1kI；b6=mh2kI-kkI+kPh3-kh3；b7=kIh3；

將仿真中用的參數(shù)代入式(19)和式(20)中繪制波特圖，如圖7所示，對比優(yōu)化前后的幅頻曲線可以看到，加入了擾動觀測后，低頻段的信號從-140dB衰減到了-205dB左右，這表明低頻的擾動信號得到了更有效的抑制。但在高頻段，幅頻曲線與優(yōu)化前基本重合，這表明負載觀測器對高頻段的擾動基本不起作用。因此事先可以根據(jù)擾動的頻段范圍設(shè)計擾動觀測器的零極點，以便獲得更優(yōu)的抗擾動效果。

圖7 位移與擾動間傳遞函數(shù)波特圖

4 實驗驗證

本文通過實驗驗證了擾動觀測補償?shù)膬?yōu)化效果。圖8驗證了電機在900 r/min時的徑向位移波形，在開啟擾動觀測前，采用傳統(tǒng)PID控制，由于轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心不重合，轉(zhuǎn)子在徑向受到繞動力的影響，位移波動約為±100 μm，波動的頻率與轉(zhuǎn)速同頻。開啟了負載觀測補償后，位移波動迅速減小至原先的1/4，波動僅為±25 μm，改善效果明顯。

圖8 900 r/min時擾動觀測后的位移波形

圖9驗證了轉(zhuǎn)子在靜止懸浮時，徑向受到一沖擊擾動時的位移波形。第一次沖擊擾動時采用了傳統(tǒng)PID控制，在該擾動下，y方向位移的波動達到約100 μm，而開啟負載觀測補償后，同樣的沖擊擾動僅造成不到50 μm的波動。

圖9 徑向沖擊作用下的位移波形

5 結(jié) 語

本文針對無軸承電機徑向擾動的問題，通過狀態(tài)觀測的方法來改善位移控制器的魯棒性。本文推導(dǎo)構(gòu)造了擾動觀測器，并給出了觀測器的收斂條件。隨后仿真驗證了優(yōu)化后的抗擾動性能，通過分析位移與擾動力間的幅頻響應(yīng)曲線可以進一步從理論驗證對徑向擾動的抑制效果。最后文章通過實驗驗證了擾動觀測的有效性，優(yōu)化后，在沖擊以及交變的擾動下，位移波動均得到有效的抑制，控制的穩(wěn)定性能得到了提高。