周勝

摘? 要：從全國卷熱學考題出發(fā)，分析了學生在解決關于熱學U型管問題時容易出現的錯誤，提出解決此類常見問題的“三步曲”。

關鍵詞：高考;熱學;U型管模型

在2019年高考考試大綱關于選修3-3熱學的考點中，只有氣體實驗定律為II級要求，即要求考生能夠理解并運用氣體實驗定律解決相關實際問題。在2019年高考中，全國三套試卷中的選考第33題第2小問，完全遵循考試大綱的要求，分別從不同角度考查了學生對氣體實驗定律的運用。全國卷I以實際生產、生活中用于材料加工的熱等靜壓設備為背景，要求學生根據題意建立恰當的氣體變化模型，運用氣體實驗定律解決相應問題。全國卷II則以連通的氣缸活塞為模型背景，學生在平時的考試或者練習中也見過此類模型，因此并不陌生。通過對活塞的受力分析和對氣體的變化過程分析，可以解決相關問題。全國卷III以玻璃管模型對學生的能力以及學科素養(yǎng)進行考查，這一模型學生也比較熟悉，通過分析玻璃管中封閉氣體倒置前后的壓強變化，利用玻意耳定律可以解決細管的長度問題，加熱封閉氣體，氣體壓強不變，利用蓋-呂薩克定律可以求出密封氣體的最終溫度。

1? ? 原題呈現

（2019年全國卷III） 如圖1，一粗細均勻的細管開口向上豎直放置，管內有一段高度為2.0 cm的水銀柱，水銀柱下密封了一定量的理想氣體，水銀柱上表面到管口的距離為2.0 cm。若將細管倒置，水銀柱下表面恰好位于管口處，且無水銀滴落，管內氣體溫度與環(huán)境溫度相同，已知大氣壓強為76 cmHg，環(huán)境溫度為296 K。

（i）求細管的長度;

（ii）若在倒置前，緩慢加熱管內被封閉的氣體，直到水銀柱的上表面恰好與管口平齊為止，求此時密封氣體的溫度。

（i）該問難度不大，根據題意可知，理想氣體的變化過程為等溫過程，需要用到玻意耳定律PV=C。假設細管的橫截面積為S，長度為L，水銀柱高度為h，水銀柱上表面到管口的距離為h'，初始時，氣體的壓強為P1，體積為V1，末狀態(tài)（倒置時）氣體壓強為P2，體積為V2。

2? ? 遇到的問題及解決策略

教學中可以發(fā)現，關于這類考題主要涉及的模型有氣缸與活塞模型、玻璃管與U型管模型兩類，解決這些問題通常需要列出三個方面的方程：力學方程，即上下表面氣體的壓力差大小等于重力或者其他力的合力;熱學方程，即利用氣體實驗定律列出氣體對應的規(guī)律方程;關系方程，即氣體壓強與外界大氣壓以及液體高度之間關系的方程[1-3]。常見的U型管問題包括液面下降高度問題、加入水銀問題、氣體長度變化問題以及這些問題的綜合。筆者在教學中發(fā)現，學生對于U型管問題處理時經常出現狀態(tài)分析不清、氣體變化過程分析不清、壓面高度差尋找、初末狀態(tài)參量尋找、所列方程關系混亂、求解出錯等問題。為此，筆者鼓勵學生通過“一尋、二畫、三列式”的“三步曲”分析這類問題，可以較為有效地形成解題思路并解決問題。

“一尋”，指尋找關鍵詞。尋找題中的關鍵詞信息，即判斷出氣體的變化過程是等壓、等容，還是等溫過程，進而判斷所需采用的氣體實驗定律。

“二畫”，指畫等高線。利用連通器原理，液面等高處壓強一樣，所以一般需畫出初末狀態(tài)液面對應的等高線，能夠更快地判斷出液面高度之間、壓強之間的關系。

“三列式”，指列出相應表達式。列出表達式，一般而言需要根據氣體實驗定律和液面的幾何長度關系列出對應的氣體參量方程和氣體體積關系方程，而后求解相關參量。

筆者利用高三復習課中的三個常見例題進行說明。

例1 （2016年全國卷III）一U型玻璃管豎直放置，左端開口，右端封閉，左端上部有一光滑的輕活塞。初始時，管內汞柱以及空氣柱長度如圖2所示。用力向下緩慢推動活塞，直至管內兩邊汞柱高度相等時為止。求此時右側管內氣體的壓強和活塞向下移動的距離。已知玻璃管的橫截面積處處相同，在活塞向下移動的過程中，沒有發(fā)生氣體泄漏，大氣壓強P0=75.0 cmHg。環(huán)境溫度不變。

分析 此題為氣體壓縮求活塞移動距離問題，需要同時考慮氣體壓縮以及液面下降距離。

“一尋”，題中“環(huán)境溫度不變”，即其中涉及氣體的變化過程均為等溫過程，即PV = C（玻意耳定律），因此需要確定初末狀態(tài)的P和V。

“二畫”，畫初末狀態(tài)等高線（等壓線），如圖3所示，可以明顯看出左側液面下降x，右側液面上升x，最終液面平齊，由此得到2x=20-5，也可分析出右側氣柱長度由20 cm變成了20-x=12.5 cm。初始狀態(tài)左側氣體壓強為P0，根據等高線，可以得到右側氣柱初始壓強P1=75 cmHg+15 cmHg=90 cmHg，初始體積V1=S·20 cm3。末狀態(tài)體積為V2=S·（20-7.5） cm3。

最終，左右兩側液面高度一致，左側氣體壓強為P3=P2=144 cmHg，初始狀態(tài)壓強為P0=75 cmHg，初始體積為V0=S·4 cm3，由于初末狀態(tài)的PV=C，因此最終左側氣體的長度L3為：

例2 （模擬題）如圖4所示，在粗細均勻的U型管右側，用水銀封閉一段長L1=19 cm、溫度T1=280 K的氣體，穩(wěn)定時，左右兩管水銀面高度差為h=6 cm。已知大氣壓強為P0=76 cmHg。

（1）給右管密閉氣體緩慢加熱，當右管內氣體溫度為多少時，兩管水銀面等高。

（2）若不給右管密閉氣體加熱，而是向左管緩慢補充水銀，也可使兩管水銀等高，求補充水銀柱的長度。

對于第1小問而言：

“一尋”，尋找題目中的關鍵詞，發(fā)現氣體的溫度、體積、壓強均在變化，故需要采用理想氣體狀態(tài)方程PV/T求解相關參量。

“二畫”，畫出初末狀態(tài)的等高線（如圖5所示），可以明顯看出右側液面下降x1，左側液面上升x1，最終液面平齊，由此得到2x1=h，于是x1=3 cm。

“三列式”，采用理想氣體狀態(tài)方程求解參量，需要求出初末狀態(tài)的三個參量。初始狀態(tài)：

對于第2小問，可以發(fā)現對應的封閉氣體為等溫過程，左側加入水銀后，壓強發(fā)生變化，右側液面也會發(fā)生變化。假設右側液面上升高度為x2，通過畫出的等高線（如圖6所示），可以明顯地看出左側液面上升h+x2，列出的表達式為：

例3 （模擬題）如圖7所示，粗細均勻的U型玻璃管，豎直放置，左端開口，右端封閉。右端封閉了一定質量的理想氣體B，氣柱長為L=12.5 cm，左端長為h=4 cm的水銀柱封閉了一定質量的理想氣體A，氣柱長度也為h，且兩端最上方液面齊平?，F再往左端緩慢加入長為h的水銀柱。已知大氣壓強為P0=76 cmHg，整個過程溫度保持不變。當氣柱穩(wěn)定時，求：右端液面上升的高度L0及氣柱A的長度LA（計算結果均保留一位小數）。

分析 該題液柱中包含氣體，需要求解液面上升高度以及氣柱長度問題。

“一尋”，通過題目可以發(fā)現，A和B氣體均屬于等溫過程，即PV = C（玻意耳定律），故需確定初末狀態(tài)的P和V。

“二畫”，畫等高線需從U型管底端計算，由于氣體壓強處處一致，與液體不同，因此等高線（等壓線）以下不可有氣體，如圖8所示。

以上是筆者針對熱學中的U型管模型常見的液面高度、加入液柱長度、氣柱長度問題中，鼓勵學生采用的快速解決問題的思路與方法。不足之處，請讀者不吝賜教。

參考文獻：

[1]曹少平. 分類討論在熱學解題中的應用[J]. 物理教師， 2019，40（4）：65-68.

[2]沈銳. 熱學計算題求解思路及題型匯總[J]. 中學物理教學參考， 2016，45（10）：84-85.

[3]靳建設，淮萍萍，陳勇. 2019年高考物理備考專題——熱學部分[J]. 中學物理教學參考，2019，48（1-2）：112-124.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）