[摘 要] 高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的知識(shí)體系，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，各種積分的定義、性質(zhì)及計(jì)算經(jīng)常混淆。為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)，將定積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分統(tǒng)一定義為幾何形體上的積分，給出統(tǒng)一的性質(zhì)，然后針對(duì)不同的幾何形體研究計(jì)算方法。

[關(guān)鍵詞] 幾何形體;度量;積分中值定理

[基金項(xiàng)目] 吉林大學(xué)校級(jí)教改項(xiàng)目“新工科理念下“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)的探索與實(shí)踐”（2019XYB083）

[作者簡(jiǎn)介] 朱本喜（1979—），女，博士，吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事積分方程與大學(xué)數(shù)學(xué)公共教學(xué)與研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）17-0319-02 ? ?[收稿日期] 2020-02-07

高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)包括一元函數(shù)不定積分和定積分，多元函數(shù)二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲線積分和第二型曲面積分，這部分內(nèi)容概念多，性質(zhì)多，計(jì)算方法復(fù)雜。因此學(xué)生在多元函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中容易混淆概念和性質(zhì)，在計(jì)算不同類型的積分時(shí)候也經(jīng)常出現(xiàn)分不清楚的問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，結(jié)合定積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分這五種在定義和性質(zhì)上具有共性，將這五種積分統(tǒng)一稱為幾何形體上的積分，給出統(tǒng)一的定義和性質(zhì)，然后再在不同的幾何形體上去研究各種積分的計(jì)算方法。

一、教學(xué)分析

1.教學(xué)內(nèi)容。幾何形體上的積分是定積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第一型曲面積分的統(tǒng)稱。在此之前，學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)了定積分，這為過(guò)渡到多元函數(shù)的積分的學(xué)習(xí)起到了鋪墊的作用。同時(shí)，本節(jié)課的定義的引入是學(xué)好多元函數(shù)積分學(xué)的關(guān)鍵。

2.學(xué)情分析。幾何形體上積分的教學(xué)目標(biāo)學(xué)生是工科大一學(xué)生，學(xué)生的特點(diǎn)是偏好動(dòng)態(tài)具體事物，為使學(xué)生更容易接受抽象的概念，采用直觀演示，比如講授二重積分的幾何意義的時(shí)候，用Matlab軟件演示“分割、近似、求和、取極限”的過(guò)程。同時(shí)考慮到現(xiàn)在大學(xué)生熱衷網(wǎng)絡(luò)短視頻的特點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中采用智慧教學(xué)手段，在智慧教學(xué)平臺(tái)上發(fā)布微課，短視頻等教學(xué)相關(guān)內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。學(xué)生主動(dòng)能力欠缺，抽象思維不足，而且內(nèi)心急切希望感受數(shù)學(xué)的適用價(jià)值，針對(duì)這些特點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中引入應(yīng)用具體實(shí)例，讓學(xué)生熊具體實(shí)例中感受數(shù)學(xué)的實(shí)用之美。

3.教學(xué)目標(biāo)。（1）思想目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科技服務(wù)于生活的人文精神，“化整為零零積整”的辯證唯物觀。（2）知識(shí)目標(biāo)：了解“分割、近似、求和、取極限”的思想方法，會(huì)求不同幾何形體構(gòu)件的質(zhì)量.掌握幾何形體上積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。（3）能力目標(biāo)：學(xué)會(huì)用“分割、近似、求和、取極限”的思想方法去解決在不同幾何形體上非均勻量的求和問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、綜合歸納多個(gè)問(wèn)題的思維能力。（4）支撐目標(biāo)：高等數(shù)學(xué)是工科學(xué)生的“工具”，他們以后在專業(yè)領(lǐng)域里要用這個(gè)“工具”來(lái)解決問(wèn)題，所以教學(xué)過(guò)程總了解不同專業(yè)學(xué)生的需求，針對(duì)本專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)和畢業(yè)要求的引入相關(guān)的實(shí)例以達(dá)到對(duì)專業(yè)的支撐度。

4.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。（1）教學(xué)重點(diǎn)：利用“分割、近似、求和、取極限”的思想引入幾何形體上積分統(tǒng)一的概念，不同幾何形體上積分的具體形式以及不同幾何形體上積分的計(jì)算。（2）教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出幾何形體上積分概念，不同幾何體上積分的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng)法教學(xué)。課前復(fù)習(xí)一元函數(shù)定積分的概念和性質(zhì)，用定積分來(lái)求非均勻直線型構(gòu)件的質(zhì)量。在教學(xué)平臺(tái)發(fā)布任務(wù)：探求不同幾何形體構(gòu)件的質(zhì)量。將以往以傳授知識(shí)為主的傳統(tǒng)教學(xué)理念，轉(zhuǎn)變?yōu)橐越鉀Q問(wèn)題、完成任務(wù)為主的多維互動(dòng)式的教學(xué)理念，使學(xué)生處于積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)，每一位學(xué)生都能根據(jù)自己對(duì)當(dāng)前問(wèn)題的理解，運(yùn)用共有的知識(shí)和自己特有的經(jīng)驗(yàn)提出方案、解決問(wèn)題。

2.學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)。以探究不同幾何形體構(gòu)件的質(zhì)量問(wèn)題為紐帶，給學(xué)生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用“分割、近似、求和、取極限”的思想去解決非均勻分布在不同幾何形體上的總量問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生從已知知識(shí)到未知領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，讓學(xué)生歸納總結(jié)得出不同幾何形體構(gòu)件質(zhì)量的求法。教學(xué)以板書為主，優(yōu)點(diǎn)在于，學(xué)生注意力集中，能有效進(jìn)行師生互動(dòng)。

三、教學(xué)過(guò)程

1.定義介紹。首先通過(guò)求直線型構(gòu)件的質(zhì)量，復(fù)習(xí)“分割、近似、求和、取極限”的思想，回顧定積分的定義。接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究不同幾何形體構(gòu)件的質(zhì)量，教師首先介紹用“分割，近似，求和，取極限”的思想求面密度為f（x，y）的平面薄片D的質(zhì)量，然后讓學(xué)生分組探討曲線型，曲面型，以及空間立體型構(gòu)件的質(zhì)量問(wèn)題，并小組代表發(fā)表討論的結(jié)果以及所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法。歸納總結(jié)解決不同幾何形體構(gòu)件質(zhì)量問(wèn)題所采用的方法以及所求的質(zhì)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，抽象出幾何形體上積分的定義。最后，根據(jù)幾何形體的不同，分別介紹二重積分，三重積分，平面曲線和空間曲線的第一型曲線積分，第一型曲面積分的具體表示形式，并對(duì)每一種積分詳細(xì)說(shuō)明。

2.性質(zhì)介紹。什么樣函數(shù)在幾何形體上可積呢？如果函數(shù)f（M）在有界幾何形體Ω上有連續(xù)，則在幾何形體Ω上函數(shù)f（M）可積。將定積分的性質(zhì)推廣得到幾何形體上積分的性質(zhì)。以二重積分為例，證明比較性質(zhì)，估值不等式以及積分中值定理，其他幾何形體上積分的性質(zhì)證明作為練習(xí)。二重積分的幾何意義和第一型曲線積分的幾何意義也需要單獨(dú)說(shuō)明。

3.積分計(jì)算。首先介紹積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸或者坐標(biāo)面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于某個(gè)自變量具有奇偶性，這種情況下可以簡(jiǎn)化積分的計(jì)算。還有積分區(qū)域具有輪換對(duì)稱性時(shí)積分計(jì)算也可以簡(jiǎn)化。

幾何形體上積分的計(jì)算遵循從易到難的原則，首先介紹第一型曲線積分的計(jì)算，即轉(zhuǎn)化為定積分;其次介紹二重積分的計(jì)算，在二重積分計(jì)算中分別介紹直角坐標(biāo)下和極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算方法;再次介紹第一型曲面積分的計(jì)算，第一型曲面積分計(jì)算中注意被積函數(shù)時(shí)定義上曲面上的，可以用曲面方程代換;最后是三重積分的計(jì)算，三重積分在直角坐標(biāo)下可以用“先一后二法”“先二后一法”“三次積分法”三種方法計(jì)算，根據(jù)被積函數(shù)的表達(dá)式，還可以選取柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。

4.積分應(yīng)用。（1）幾何應(yīng)用：幾何形體上的積分根據(jù)幾何形體不同，可以用來(lái)求弧長(zhǎng)，面積和體積。計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)可以選取第一型曲線積分和定積分;計(jì)算平面區(qū)域的面積可以用定積分和被積函數(shù)是1的二重積分，計(jì)算空間曲面的面積，根據(jù)曲面的性狀可以選取第一型曲線積分或者被積函數(shù)是1的第一型曲面積分;計(jì)算空間區(qū)域的體積，可以用定積分，二重積分和三重積分。（2）物理應(yīng)用：對(duì)于各種不同的幾何形體Ω給出統(tǒng)一的質(zhì)心計(jì)算公式和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，另外，定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)與幾何形體之間的引力問(wèn)題也可以用統(tǒng)一幾何形體上積分的的形式寫出來(lái)。

四、教學(xué)反思

在整個(gè)幾何形體上積分的教學(xué)過(guò)程中，始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體，通過(guò)實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的興趣;分組討論，積級(jí)自主探索問(wèn)題;借助雨課堂，數(shù)學(xué)軟件Matlab，微信群等智慧化手段，提升課堂的趣味性。將知識(shí)重難點(diǎn)盡可能多的進(jìn)行分解，并繞開抽象的定義，以不同幾何形體構(gòu)件的質(zhì)量為載體，講解幾何形體上積分的概念，激發(fā)學(xué)生的興趣，并且讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美;運(yùn)用多媒體，動(dòng)畫演示“分割、近似、求和、取極限”的過(guò)程，使抽象過(guò)程直觀化。通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這些做法加深了學(xué)生理解認(rèn)識(shí)，幾何形體上積分的實(shí)際背景、本質(zhì)內(nèi)涵、思想方法，也為學(xué)生將來(lái)應(yīng)用積分學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題打下了良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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[4]李輝來(lái)，郭華，孫毅.大學(xué)數(shù)學(xué)——微積分（下冊(cè)）第三版[M].普通高等教出版社，2015.

Abstract：The knowledge of calculus is a complex knowledge system.In the process of learning，students are often confused by the definition，nature and calculation of integral.In order to facilitate students' study，we define definite integral，double integral，triple integral，line integral with respect to arc length and surface of a scalar field as integral on geometries.And we give the properties of integrals，and then study the calculation methods for different geometric shapes.

Key words：Geometry;Measure;Mean value theorems of integrals