丁福珍

(浙江省天臺(tái)縣教育局教研室 317200)

復(fù)習(xí)課的教育價(jià)值是建立系統(tǒng)和簡(jiǎn)約的知識(shí)體系，提煉數(shù)學(xué)的思想和方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并把得到的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移應(yīng)用，在此過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).也就是說，復(fù)習(xí)課要幫助學(xué)生在知識(shí)的結(jié)果性認(rèn)知基礎(chǔ)上，建構(gòu)知識(shí)之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，使本單元知識(shí)、相關(guān)單元知識(shí)之間建立起具有簡(jiǎn)約性、多觸點(diǎn)、結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)[1]；在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系中，概括數(shù)學(xué)思想和方法；在應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

當(dāng)前，初中復(fù)習(xí)教學(xué)普遍存在知識(shí)碎片化現(xiàn)象，課堂上盡可能多地講題型，再進(jìn)行“無死角的知識(shí)點(diǎn)覆蓋”訓(xùn)練.這種復(fù)習(xí)存在兩個(gè)突出問題：第一，沒有對(duì)知識(shí)形成聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致對(duì)知識(shí)缺乏系統(tǒng)的整體理解，細(xì)碎的重復(fù)訓(xùn)練加重了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)；第二，缺乏數(shù)學(xué)思想與方法的指導(dǎo)，生搬硬套的題型訓(xùn)練導(dǎo)致思維僵化，學(xué)生只會(huì)機(jī)械地模仿解題，導(dǎo)致獨(dú)立思考、靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力低下，難以積累有效的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

那么，怎樣的復(fù)習(xí)教學(xué)才能使學(xué)生在認(rèn)知重構(gòu)過程中落實(shí)“四基”、發(fā)展“四能”呢？本文以“一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)”復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)務(wù)w復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)踐與思考.

1 內(nèi)容分析

1.1 地位與作用

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是聯(lián)系數(shù)學(xué)不同分支的橋梁和紐帶，是研究變化過程的重要數(shù)學(xué)模型.初中階段學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，借助圖象直觀研究函數(shù)性質(zhì)(圖象的特征和函數(shù)的增減性).這三類函數(shù)對(duì)高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)起到奠基作用.

1.2 主要的思想和方法

每一類函數(shù)概念的抽象過程中蘊(yùn)含著抽象思想；借助圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想；觀察圖象、探索性質(zhì)過程中的抽象思想；根據(jù)參數(shù)取值范圍討論函數(shù)性質(zhì)的分類思想；研究一類函數(shù)的基本套路.

1.3 關(guān)鍵能力

整理知識(shí)，構(gòu)建體系，概括思想方法及研究套路過程中的數(shù)學(xué)抽象能力；建立函數(shù)模型刻畫變化過程的數(shù)學(xué)建模能力；利用函數(shù)性質(zhì)分析變化過程中的邏輯推理能力；借助圖象理解變量之間關(guān)系的直觀想象能力.

1.4 教學(xué)重點(diǎn)

整理三類函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉建立函數(shù)模型解決問題的方法，概括函數(shù)研究的一般套路并能用這種套路研究一些簡(jiǎn)單的新函數(shù).

2 教學(xué)策略

采用整體建構(gòu)教學(xué)策略[2]：在一般觀念指導(dǎo)下，對(duì)三類函數(shù)進(jìn)行整合復(fù)習(xí).首先，引導(dǎo)學(xué)生分別回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)以及它們的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法；其次，在回顧的基礎(chǔ)上進(jìn)一步概括這三種函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)的共性和區(qū)別，對(duì)“函數(shù)圖象用來做什么”、“函數(shù)性質(zhì)指什么”這些問題進(jìn)行一般性的回答，幫助學(xué)生理解函數(shù)圖象及性質(zhì)的本質(zhì)；第三，分析這三種函數(shù)的研究思路、研究的內(nèi)容和研究方法，概括出它們的共性，形成研究的基本套路及思想方法的一般性理解，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；最后，用概括出的這種一般觀念指導(dǎo)新函數(shù)的研究，實(shí)現(xiàn)思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移.在上述復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)專門的習(xí)題課，進(jìn)一步研究函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系，在更廣闊的領(lǐng)域中構(gòu)建知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)函數(shù)的紐帶作用，初步形成函數(shù)思想.

3 教學(xué)過程

將三類基本函數(shù)復(fù)習(xí)整合成兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)“一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”，第二課時(shí)“一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)習(xí)題課”.本文只呈現(xiàn)第一課時(shí)的教學(xué)過程.

3.1 承上啟下，提出問題

基于前一節(jié)課“變量與函數(shù)”的復(fù)習(xí)，回顧用函數(shù)模型研究變化過程的框架：

在此基礎(chǔ)上，著重指出從定義出發(fā)研究函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于一些典型變化過程的研究、變化規(guī)律的把握是至關(guān)重要的，從而提出本節(jié)課復(fù)習(xí)內(nèi)容“一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”.

3.2 類比思考，回顧三類函數(shù)的相關(guān)知識(shí)

首先，由老師引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法，得到一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).

研究思路：定義——圖象——性質(zhì).

研究?jī)?nèi)容：圖象特征(形狀、位置)和性質(zhì)(增減性).

研究方法：對(duì)k進(jìn)行分類，畫出具體函數(shù)的圖象——觀察發(fā)現(xiàn)——?dú)w納推廣.

一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：

定義圖象與特征性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)y=kx+b (k>0)y=kx+b (k<0)k>0,圖象過一、三象限k<0,圖象過二、四象限k>0,y隨x的增大而增大.k<0,y隨x的增大而減小.

接著，讓學(xué)生類比上述過程，獨(dú)立回顧二次函數(shù)和反比例函數(shù)的研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法和有關(guān)知識(shí)，并寫出相關(guān)內(nèi)容.例如，二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容如下：

研究思路: 定義——圖象——性質(zhì).

研究?jī)?nèi)容：圖象特征(形狀、位置、對(duì)稱性)和性質(zhì)(增減性、最值).

研究方法：對(duì)a進(jìn)行分類，畫出具體函數(shù)的圖象——觀察發(fā)現(xiàn)——?dú)w納推廣.

二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)：

定義圖象與特征性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2+bx+c (a>0)y=ax2+bx+c (a<0)a>0,開口向上,頂點(diǎn)最低.a<0,開口向下,頂點(diǎn)最高.a>0,對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大.a<0,對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而增大,對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小.

3.3 整理歸納，構(gòu)建三類函數(shù)的知識(shí)體系和研究套路

引導(dǎo)學(xué)生說出三類函數(shù)模型的共性與差異性,整理知識(shí)結(jié)構(gòu)如下表:

定義圖象與特征性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b (k>0)y=kx+b(k<0)k>0,圖象過一、三象限k<0,圖象過二、四象限k>0,y隨x的增大而增大.k<0,y隨x的增大而減小.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)a>0,開口向上,頂點(diǎn)最低a<0,開口向下,頂點(diǎn)最高圖象關(guān)于直線x=-b2a對(duì)稱a>0,對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大.a<0,對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而增大,對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小.反比例函數(shù)y=kx (k>0)y=kx (k<0)k>0,圖象過一、三象限k<0,圖象過二、四象限圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱k>0,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小.k<0, 在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大.

讓學(xué)生歸納三類函數(shù)的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法的共性：

研究思路:定義(給出函數(shù)解析式的特征)——圖象——性質(zhì)；從特殊到一般.

研究?jī)?nèi)容:圖象的形狀、位置和特征(線性與非線性、連續(xù)與不連續(xù)、對(duì)稱性)；函數(shù)的性質(zhì)(增減性、最值等)；圖象用來直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)指的是當(dāng)自變量的值增加時(shí)，函數(shù)值是增大還是減小，是按照什么規(guī)律(線性與非線性，是否有間斷點(diǎn)，是否有最值，變化速度快慢等)變化的[1].

研究方法:從定義出發(fā)，畫出具體函數(shù)的圖象——觀察發(fā)現(xiàn)——?dú)w納推廣；其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想.

這種研究套路同樣適用于其它函數(shù)的研究.

3.4 拓展提升，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移

學(xué)生嘗試研究：分k>0和k<0兩種情況.

(1)k>0時(shí)，研究特例:k=1，先研究b=0,b=1,b=-1的情況，分別畫出圖象(如圖1)：

圖1

歸納性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，圖象是關(guān)于(-b,0)對(duì)稱的兩支雙曲線，當(dāng)x<-b時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x>-b時(shí)，y隨著x的增大而減小.

(2)k<0時(shí).研究特例:k=-1，再研究b=0,b=1,b=-1的情況，分別畫出圖象(如圖2)：

圖2

歸納性質(zhì)：當(dāng)k<0時(shí)，圖象是關(guān)于(-b,0)對(duì)稱的兩支雙曲線，當(dāng)x<-b時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x>-b時(shí)，y隨著x的增大而增大.

3.5 總結(jié)反思，將知識(shí)體系納入長(zhǎng)期記憶

讓學(xué)生說說一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法和相關(guān)知識(shí)，形成簡(jiǎn)約化的知識(shí)體系.

4 教學(xué)反思：價(jià)值取向

4.1 通過單元整體復(fù)習(xí)，構(gòu)建系統(tǒng)簡(jiǎn)約的知識(shí)體系

單元整體復(fù)習(xí)是指依據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的邏輯關(guān)系劃分具有緊密聯(lián)系的單元，進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重構(gòu)[2].本節(jié)課把三類函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行整體復(fù)習(xí)，通過分析比較，讓學(xué)生在相互聯(lián)系中進(jìn)一步理解三類函數(shù)圖象和性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別是指三類函數(shù)的變化模式不同；聯(lián)系指的是三類函數(shù)的定義方式、性質(zhì)所指、研究套路是相同的，即都是從現(xiàn)實(shí)背景中引入，都是根據(jù)解析式的特征加以定義的，性質(zhì)指的是“當(dāng)自變量的值增大時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，是按照什么規(guī)律變化的”，研究的套路都是相同的，只不過所研究的函數(shù)類型不同.這樣做可以讓學(xué)生從相互聯(lián)系中深化知識(shí)的理解，掌握三類不同函數(shù)的變化趨勢(shì)和變化規(guī)律及其適用的變化過程，便于學(xué)生在選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型研究變化過程中運(yùn)用自如.

4.2 一般觀念引領(lǐng)，注重從內(nèi)容中提煉數(shù)學(xué)思想和方法

章建躍博士指出，一般觀念指的是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、性質(zhì)指什么、怎樣研究等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論，對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用.本節(jié)課的教學(xué)中特別注意體現(xiàn)“一般觀念”的指導(dǎo)作用，“回顧”階段，創(chuàng)設(shè)類比情境，回顧三類函數(shù)的相關(guān)知識(shí)及研究套路；“整理”階段，把三類函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)進(jìn)行比較，理解這三種函數(shù)變化模式的區(qū)別與共性，從而對(duì)“一類函數(shù)是怎樣定義的”“函數(shù)圖象有什么用”、“函數(shù)性質(zhì)指什么”等問題給出一般性的回答，在此基礎(chǔ)上概括“一類函數(shù)是如何研究的，研究的思路、內(nèi)容、方法分別是什么”.這樣，通過分層次的概括，幫助學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)，形成研究的一般思路，提煉與內(nèi)容融合的數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，并明確這些思想方法是在哪些環(huán)節(jié)運(yùn)用以及如何使用，從而有效積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.3 設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性問題，促進(jìn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的遷移

學(xué)生在這樣的復(fù)習(xí)過程中，不只是知識(shí)的簡(jiǎn)單提取與套用，而是需要用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)研究新問題，從而形成有效的深度學(xué)習(xí)，保證了復(fù)習(xí)過程中數(shù)學(xué)思維的含金量；學(xué)生在這樣的過程中獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是可遷移的，所形成的是真正意義上的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；學(xué)生在這樣的過程中，可以結(jié)合知識(shí)理解的深入而深刻體會(huì)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，形成研究問題的一般套路，并發(fā)展有邏輯、創(chuàng)造性的思考能力。所以，整體觀指導(dǎo)下的單元復(fù)習(xí)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效舉措.