江加乾

(北京一零一中學(xué) 100091)

數(shù)學(xué)與人類發(fā)展、社會進(jìn)步息息相關(guān)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高是數(shù)學(xué)教育的著力點(diǎn)．本文從正方體展開圖這一課例出發(fā)，對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行一些思考．

有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形．這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖．[1]

從認(rèn)知心理學(xué)方面來說，心理學(xué)家們致力于研究我們是如何進(jìn)行推理、問題解決和決策的．其中的“問題解決”是指將現(xiàn)有信息與頭腦中儲存的信息結(jié)合起來解決問題的行為．在人工智能方面做出突出貢獻(xiàn)而獲得圖靈獎的美國學(xué)者紐厄爾和西蒙，將問題分為初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和問題處理三個(gè)階段．提出在問題解決策略中，可以采取一系列方法，尤其是算法，來最終獲得問題的解決[2]．心理學(xué)中的算法是指為了獲得問題的解決而一步一步執(zhí)行的程序．算法可以是一些公式和程序，在正確使用的情況下，總是能夠奏效的．因?yàn)檫@是“按部就班地遵循了直接把問題引向答案的程序”[3]．借助于算法，在某一類相似的問題中，我們不但能夠讓我們的大腦來采取相似的“程序”來解決問題，甚至還可以利用計(jì)算機(jī)程序來實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)而解決問題．在研究正方體的展開圖這一具體問題中，我們從展開圖的結(jié)構(gòu)出發(fā)，探索展開圖之間的聯(lián)系，嘗試應(yīng)用算法思想，探索“程序化”的方法，讓靜態(tài)的展開圖“動”起來，獲得解決問題的新角度，進(jìn)而在探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)．

將右邊的正方體展開，能得到的圖形是 ( ) .

A

B

C

D

問題分析：

我們把正方體中有公共頂點(diǎn)(記為M)的三個(gè)面的三條棱剪開一條后展開，其結(jié)果對應(yīng)于圖1～3所示的圖形之一，要注意圖形里三個(gè)面的字母是有方向的．

圖1

圖2

圖3

這三個(gè)圖形之間有什么聯(lián)系呢？

把圖1的正方形C繞公共頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可以得到圖2，把圖2中的正方形B繞公共頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可以得到圖3，把圖3中的正方形A繞公共頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°再整體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就可以得到圖1．這三步操作都是可逆的．雖然這些圖形不同，但它們都是同一個(gè)正方體的組成部分，筆者把這些圖形稱為“同構(gòu)圖形”．

這樣，我們發(fā)現(xiàn): 如果正方體展開圖中有三個(gè)面是共頂點(diǎn)的，那么其中有兩個(gè)面可以繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到新的位置，這樣就得到新的展開圖，新、舊展開圖都可以折疊成同一個(gè)正方體，它們是“同構(gòu)展開圖”．

筆者把這種由旋轉(zhuǎn)得到同構(gòu)展開圖的方法稱為“同構(gòu)”法．這一算法的初始條件是三個(gè)面共頂點(diǎn)的情況．步驟是將這三個(gè)面中的某一個(gè)面繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．目標(biāo)就是能夠得到一些同構(gòu)展開圖．

需要注意以下兩點(diǎn)．

第一，我們在利用同構(gòu)法時(shí)，要判斷初始條件．例如下圖展示的兩種旋轉(zhuǎn)，圖4是把正方形C繞著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，圖5是把正方形C繞著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，這兩種變換都不是使用同構(gòu)法．因?yàn)椴环铣跏紬l件，從已有圖形看來，點(diǎn)N不是某三個(gè)面的公共頂點(diǎn)．

圖4

圖5

第二，如果被旋轉(zhuǎn)的正方形連接其它正方形，這些正方形可以一同跟著旋轉(zhuǎn)，例如，下圖使用同構(gòu)法是把正方形A，B，C，D繞著正方形B，C，E的公共頂點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°從而得到新的同構(gòu)展開圖．

類似地，以下這些展開圖都是同構(gòu)的：

例：將右邊的正方體展開，能得到的圖形是 ( ) .

A

B

C

D

解法：選項(xiàng)A中，字母B的上方和字母C的左側(cè)相對，而題干中字母B的上方和字母C的下方是相對的，不符合題意；

選項(xiàng)B中，展開圖的字母比較分散，不容易判斷，我們可以用同構(gòu)法，把正方形A繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，我們看到，字母B的右側(cè)和字母A的左側(cè)相對，不符合題意；

選項(xiàng)C中，我們可以利用同構(gòu)法，第一步把正方形A繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第二步繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第三步繞著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到同構(gòu)展開圖．

這樣旋轉(zhuǎn)三次，我們看到，字母A的上方和字母B的下方相對，不符合題意；

選項(xiàng)D中，我們利用同構(gòu)法，第一步把正方形C繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第二步把正方形C繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第三步，把正方形A連同它左邊的正方形一起繞著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，第四步，把正方形A繞著點(diǎn)R順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，很顯然，選項(xiàng)D符合題意．

下面我們再通過一些例子來看看同構(gòu)法的應(yīng)用．

例1． 如圖6，在正方體的表面上畫有斜線，圖7是其展開圖，但只在A面上畫有斜線，那么將圖6中剩余兩個(gè)面中的斜線畫入圖7中，畫法正確的是 ( ) .

圖6

圖7

A

B

C

D

解: 對于選項(xiàng)A中的展開圖，我們可利用同構(gòu)法依次進(jìn)行如下變換:

圖8

圖9

圖10

圖11

首先把圖8中的點(diǎn)P左下方的正方形繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后把圖9中的點(diǎn)M右上方的正方形連同它右邊的正方形一起繞著點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，最后把圖10整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖11，容易看出圖11符合題意，從而選項(xiàng)A是正確的．

例2． 右圖表示一個(gè)正方體的展開圖，下面四個(gè)正方體中只有一個(gè)符合要求，那么這個(gè)正方體是 ( ).

A

B

C

D

解: 因?yàn)檫x項(xiàng)C和D中空白側(cè)面和帶有橫線的側(cè)面是相鄰的，這和它們本應(yīng)是相對的面矛盾，因此排除選項(xiàng)C和D．

對于選項(xiàng)A，我們可依次把展開圖進(jìn)行如下同構(gòu)變換:

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

首先把圖12中的點(diǎn)M左下方的三個(gè)正方形，繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將圖13中的點(diǎn)N左上方的正方形繞著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將圖14中的點(diǎn)P左上方的正方形，繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，這時(shí)得到圖15；再將圖15整體旋轉(zhuǎn)180°得到圖16，這時(shí)發(fā)現(xiàn)圖15和圖16，均不符合A選項(xiàng)．

對于選項(xiàng)B，我們可以依次把展開圖進(jìn)行如下同構(gòu)變換:

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

首先把圖17中的點(diǎn)M右上方的三個(gè)正方形，繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將圖18中的點(diǎn)N右下方的正方形，繞著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將圖19中的點(diǎn)P右下方的正方形繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖20；再將圖20整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖21，這時(shí)發(fā)現(xiàn)，圖21是符合題意的．所以此題選擇B．

通過上面的例子我們可以感受到，利用同構(gòu)法，我們很容易得到一系列同構(gòu)展開圖，能夠準(zhǔn)確地解決正方體的展開圖這類問題．

這一探索過程，對于我們的幾何教學(xué)有一些啟發(fā)．

首先，各課程的不同層次要進(jìn)行區(qū)分．

古德萊德將課程分為五種：理想的課程，正式的課程，領(lǐng)悟的課程，運(yùn)作的課程和經(jīng)驗(yàn)的課程．就本文的呈現(xiàn)方式來說，開篇直接展示了教師領(lǐng)悟的課程，而在運(yùn)作的課程中，應(yīng)當(dāng)逐步引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)同構(gòu)法，使之成為學(xué)生體驗(yàn)到的課程．學(xué)生在逐步的體驗(yàn)過程中，感受立體圖形和平面圖形的聯(lián)系，在歸納同構(gòu)法的過程中，提高學(xué)生的幾何素養(yǎng)．

其次，問題解決為導(dǎo)向的研究方法可以適用在幾何變換中．

代數(shù)式的變型和化歸，常常要分析目標(biāo)代數(shù)式與初始代數(shù)式之間的聯(lián)系和橋梁．而在正方體展開圖這一幾何問題中，我們也可以用問題解決來指導(dǎo)我們的思路分析．我們將初始的展開圖，經(jīng)過一系列同構(gòu)變換，得到與之同構(gòu)的目標(biāo)展開圖，順利解決了問題．由于同構(gòu)法有明確的操作步驟，學(xué)生可以很快掌握，這樣學(xué)生今后在解決這一類問題時(shí)更加順利．

第三，結(jié)構(gòu)性的知識歸納需要對空間想象能力進(jìn)一步提升才能夠形成．

教育學(xué)中結(jié)構(gòu)性的知識是指規(guī)范的、具有內(nèi)在邏輯的、抽象出來的基本原理和方法．同構(gòu)法就是這樣一種結(jié)構(gòu)性知識，按照一定的規(guī)律操作，我們總能解決目標(biāo)問題．這容易形成一個(gè)誤區(qū)，即教師把結(jié)論教給學(xué)生就夠了，學(xué)生容易自滿于模仿．因此，尤其要強(qiáng)調(diào)，知識的歸納不僅僅是目的．探索總結(jié)出這樣的結(jié)構(gòu)性的知識，是在教師解決了一系列正方體展開圖問題的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的．學(xué)生在使用該方法的過程中，也需要空間想象能力作為保障，并不是單純的記憶和操作．該方法的歸納是空間想象能力提升的結(jié)果，同時(shí)也是空間想象能力的進(jìn)一步強(qiáng)化．

最后，教師應(yīng)在教學(xué)中多關(guān)注典型問題的教育價(jià)值．

從我們的數(shù)學(xué)教育課程方面來說，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[4]中提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》[5]提出要注重發(fā)展學(xué)生的“空間觀念”、“幾何直觀”等．幾何方面的直觀想象與空間想象能力一直是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分．對于初中的學(xué)生來說，正方體的展開圖是學(xué)生在中學(xué)階段接觸的較早的平面幾何與空間幾何相結(jié)合的問題，非常有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng)．從教師的專業(yè)發(fā)展角度來說，需要平時(shí)多積累，關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)各方面的典型問題，發(fā)掘這些問題的教育價(jià)值，不斷提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)．