馮淑霞黎景輝梁志斌 俞小祥 朱一心

(1.河南大學(xué) 475004；2.首都師范大學(xué) 100048；3.江蘇師范大學(xué) 221116)

5 討論

為了幫助讀者更快掌握本文的要旨，我們縮短正文把部分材料放在本節(jié)討論.

(1) 本文只是提出一個(gè)觀點(diǎn)，而并不是建議全面改革數(shù)學(xué)教育.我們只希望引起一些老師的關(guān)注和幫助一些有能力的同學(xué)學(xué)習(xí).也許有一天，會(huì)有更多人支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是介紹數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而不是多次重復(fù)同樣的習(xí)題，直至看一眼比誰(shuí)都快寫(xiě)下答案.我們沒(méi)有提供課本、教案、輔導(dǎo)教材、標(biāo)準(zhǔn)例子、 習(xí)題解答、典型題型及考研題型、解題的規(guī)律、方法和技巧.也沒(méi)有提供足夠的中學(xué)數(shù)學(xué)的具體例子，讓中學(xué)老師能體會(huì)、能抓個(gè)入手點(diǎn).以下我們將會(huì)繼續(xù)討論這個(gè)觀點(diǎn)，在此先說(shuō)明幾點(diǎn)，一、現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)課程是幾乎不談「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」， 那又怎樣找中學(xué)數(shù)學(xué)的具體例子呢？ 因此我們的建議對(duì)那些只是打算依書(shū)直灌的老師是沒(méi)有用的.二、每一個(gè)新的「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」的出現(xiàn)，都是一個(gè)創(chuàng)新，一個(gè)數(shù)學(xué)革命.上文的例子：求解五次方程的失敗，求三次多項(xiàng)式平方根的積分，平行公理與空間曲率.每一次都轟轟烈烈的改變了數(shù)學(xué)，甚至改變了世界.這些例子都是很具體的，但在人類的歷史里當(dāng)然不是天天出現(xiàn).我們同意對(duì)一般的中學(xué)生中學(xué)老師來(lái)說(shuō)是比較難.但是若有老師能說(shuō)說(shuō)這些問(wèn)題和解，就應(yīng)該已經(jīng)是個(gè)好故事了，證明只是很少數(shù)的學(xué)生才有機(jī)會(huì)看到的.三、假如我們定義高中數(shù)學(xué)教育為瘋狂地做千百次同一題目，定義高考為解題斗快比賽，完全禁止學(xué)生知道過(guò)去兩百年在數(shù)學(xué)里發(fā)生了什么事，那樣就別怪學(xué)生沒(méi)有創(chuàng)意，不喜歡和不能夠做數(shù)學(xué)了.

(2) 軟件. 我們說(shuō)的數(shù)學(xué)的兩個(gè)性質(zhì)——計(jì)算性，結(jié)構(gòu)性——并不是紙上談兵. 最常見(jiàn)分別實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)性質(zhì)的便是數(shù)學(xué)軟件.雖然這不是本文的主題，但是還是值得介紹.有機(jī)會(huì)使用這些軟件的同學(xué)會(huì)更容易體會(huì)本文的要旨.

(i) 計(jì)算類.

(a) 做數(shù)值計(jì)算，如數(shù)值線性代數(shù), 有限元方法, 圖像處理, 三維繪圖: MATLAB, Analytica, GNU (免費(fèi)), SageMath (免費(fèi)) .

(b) 做符號(hào)計(jì)算，計(jì)算不定積分，解微分方程, 計(jì)算極限和級(jí)數(shù)， Groebner基：Mathematica, Maple (這兩種也可以做以上(a)類的計(jì)算) .

(ii) 代數(shù)結(jié)構(gòu)類.

Magma-代數(shù)幾何, Singular (免費(fèi))-多項(xiàng)式計(jì)算和奇異點(diǎn)，Gap (免費(fèi))-群論, LiE (免費(fèi))-李群表示.

當(dāng)然幾乎所有大學(xué)一年級(jí)的數(shù)學(xué)習(xí)題, 像計(jì)算不定積分, 解線性方程組，這些軟件都可以一秒解答.因此只要把計(jì)算不定積分的技巧說(shuō)清楚, 就不用要學(xué)生做三百題，可把時(shí)間花在學(xué)習(xí)一些現(xiàn)代的內(nèi)容上.請(qǐng)看王昆揚(yáng)的創(chuàng)新的微積分教科書(shū)：《簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)分析》.當(dāng)然軟件也不是萬(wàn)能的.例如, Magma應(yīng)該是處理橢圓曲線最厲害的軟件，但是只能算出一部分的橢圓曲線的L函數(shù).目前國(guó)內(nèi)近三千所大專院校安裝有這些軟件的數(shù)學(xué)系并不多，一般系里亦沒(méi)有幾個(gè)完全熟悉這些軟件的老師，花時(shí)間在軟件上不如寫(xiě)論文劃算.使用這些軟件是需要對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和計(jì)算機(jī)程序有一定的認(rèn)識(shí)，因此，同學(xué)也不是念幾個(gè)月大學(xué)便可以掌握的.

(3)我們沒(méi)有像Bourbaki學(xué)派的集合論(Theorie des Ensembles, Chap I & IV)那樣給出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義，原因之一是在沒(méi)有確定好嚴(yán)格的邏輯及公理集合論之前，去定義數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，容易犯錯(cuò)(即使 Bourbaki亦受批評(píng)，如 A. Mathias, Hilbert, Bourbaki and the scorning of logic).其二，為了包括范疇理論，Grothendieck 建議在集合公理系統(tǒng)ZFC加入宇宙公理(SGA4, i.0, i.11), 我們還未完全了解這種公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu).其三, 文中通過(guò)例子建立的直觀認(rèn)識(shí)已足夠本文討論的需要.

一般同時(shí)講邏輯及公理集合論的教科書(shū)都會(huì)在兩者之間定義他們要討論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).在美國(guó)大學(xué)的本科生用教科書(shū)E. Mendelson, Introduction to mathematical logic, Chapman & Hall, 1887-2.12節(jié)；和研究生的教科書(shū) J. Shoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley, 1967-2.5節(jié)，便有嚴(yán)格定義的例子.

(4)再說(shuō)3.6節(jié)關(guān)于對(duì)頂角和平行線的命題.我們補(bǔ)上證明方便大家明白我們所說(shuō)的兩個(gè)性質(zhì).

命題兩直線相交對(duì)頂角相等.

證明AEB為直線, ∠AED+ ∠BED=兩個(gè)直角.DEC為直線, ∠DEB+ ∠CEB=兩個(gè)直角.所以∠AED= ∠CEB.

公理2一條有限直線可以連續(xù)地延長(zhǎng).

定義23稱在同一平面內(nèi)的兩條直線為“平行”，如果不斷延長(zhǎng)兩直線的任一側(cè)也不在有限地方相交.

命題三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.(《幾何原本》卷I命題 16)

命題給出兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，則這兩條直線平行.(《幾何原本》卷I命題27)

證明設(shè)直線EF與兩條直線AB,CD相交使得∠AEF= ∠EFD.斷言：AB與CD平行.

如果AB與CD不平行，則按定義23, 我們可以假設(shè)把AB,CD延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)G.這樣便有三角形△EGF，于是從假設(shè)得∠AEF= ∠EFG.這是與命題 16相矛盾.證畢.

(5) 在此我們不討論近兩百年歐洲學(xué)者對(duì)《幾何原本》這本書(shū)的邏輯結(jié)構(gòu)的修訂，請(qǐng)看Hilbert的名著Grundlagen der Geometrie，1899.中譯本：《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》，江澤涵，朱鼎勛譯， 北京大學(xué)出版社， 2009； 英譯本： D. Hilbert, The Foundations of Geometry, translated by Leo Unger from 10thedition, The Open Court Publishing Company, 1971.也請(qǐng)看： 王申懷，“從歐幾里得《幾何原本》到希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》”， 數(shù)學(xué)通報(bào)，2010年，49卷1期; 和Hilbert and his Grundlagen der Geometrie, in J. Gray, Words out of nothing, Springer Verlag, 2010.可以從希爾伯特的公理證出《幾何原本》I 至IV的結(jié)果，詳情見(jiàn)代數(shù)幾何學(xué)家R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 1997 的第2章.

我們補(bǔ)充五點(diǎn):

一. 如果我們要執(zhí)行邏輯的檢查我們便需要有一個(gè)嚴(yán)密的公理系，這是由希爾伯特給出以代替歐幾里得的公理系.這樣在希爾伯特幾何基礎(chǔ)第二章便可以考慮公理的相容性和互相獨(dú)立性.

二.要有嚴(yán)密的公理系才可以為機(jī)械證明編寫(xiě)程式.機(jī)械證明是一個(gè)很活躍的科研領(lǐng)域.我們只能夠介紹幾本書(shū).吳文俊，《數(shù)學(xué)機(jī)械化》，科學(xué)出版社，2003.Jing-Zhong Zhang , Shang-Ching Chou , Xiaoshan Gao, Machine Proofs in Geometry: World Scientific Publishing Company, 1994; Ding-Zhu Du, Frank Kwang Hwang, Computing in Euclidean Geometry， World Scientific Pub Co Inc; 1995 ;Francisco Botana, Pedro Quaresma, Automated Deduction in Geometry: ADG 2014 , Springer 2015； HOL (Cambridge University Computer Lab).

三.希爾伯特加入了射影幾何的公理.

四.希爾伯特的第一組公理原文稱為Axiome der Verknüpfung, 1905年的英譯為Axioms of connection，現(xiàn)在譯為Axioms of incidence (見(jiàn)Hartshorne, Geometry, 第6節(jié)).這和我們中譯為「關(guān)聯(lián)公理」吻合.正如Hartshorne指出這組公理定義一種「關(guān)聯(lián)幾何」(Incidence Geometry).這種幾何是組合幾何學(xué)的一部份.教科書(shū)有：B. de Bruyn, An Introduction to Incidence Geometry, Birkhauser (2016)；J. Ueberberg, Foundations of incidence geometry, Springer, 2011. J. Tits 把這個(gè)關(guān)聯(lián)幾何發(fā)展為BUILDING理論 (因此Tits獲得2008年Abel獎(jiǎng)).這個(gè)理論正好是把Felix Klein的Erlangen program反過(guò)來(lái) (詳細(xì)討論見(jiàn): 黎景輝，梁志斌, Buildings and groups I, 數(shù)學(xué)季刊, 河南大學(xué), 2019) .雖然這些幾何和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)各方面都會(huì)有密切關(guān)系，但在我國(guó)數(shù)學(xué)系罕見(jiàn)關(guān)于過(guò)去一個(gè)半世紀(jì)的幾何的課程！在教材不多的現(xiàn)狀下值得把前面提及的Hartshorne和Gray的兩本書(shū)譯為中文.

五.過(guò)去兩次在美國(guó)有人用希爾伯特公理系來(lái)編寫(xiě)中學(xué)幾何教科書(shū)，但都失敗了.基本的原因是這個(gè)系統(tǒng)對(duì)學(xué)生的數(shù)理邏輯的知識(shí)的要求是遠(yuǎn)超一般美國(guó)中學(xué)生的水平.雖然歐幾里得的《幾何原本》的公理系統(tǒng)并不完備，但是我們認(rèn)為一些中學(xué)生是有能力學(xué)這個(gè)系統(tǒng).過(guò)去兩百年歐美所訓(xùn)練的科學(xué)家工程師見(jiàn)證了這一點(diǎn).

我們?cè)僬劇妇唧w例子」的問(wèn)題.如果你拿一本《幾何原本》你就會(huì)看到例子.如果你再拿一本《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》作為比較, 例子更多.若是你又再找一本關(guān)聯(lián)幾何學(xué)給學(xué)生說(shuō)故事，則你的例子便是多姿多彩了.數(shù)學(xué)是一門(mén)實(shí)踐的科學(xué).學(xué)習(xí)從未學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)亦是一種實(shí)踐.若你把獲得新知識(shí)的喜悅傳給學(xué)生，那就是一堂無(wú)比快樂(lè)的數(shù)學(xué)課了.

(7) 為了說(shuō)明 3.5 節(jié)的積分我們補(bǔ)上一些圖片.復(fù)變函數(shù)論一開(kāi)始告訴我們用球極平面投影把復(fù)平面+無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(∞)看成球面， 即黎曼球： 把復(fù)平面的點(diǎn)P與N相連,NP與球面交點(diǎn)Q，則定義對(duì)應(yīng)P?Q，見(jiàn)下圖.

下一步我們來(lái)看第2 個(gè)積分 (2)

y2=4x3-4x-8

=4(x-e1)(x-e2)(x-e3),

其中

所以兩個(gè)積分都是同樣的微分形式在曲面上的積分，這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是這兩個(gè)曲面的拓?fù)涫遣煌?也許這對(duì)一年級(jí)的本科生是太難了，我們的目的是引發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).也許聽(tīng)過(guò)這個(gè)故事，一個(gè)不愿意放棄的學(xué)生在學(xué)了更多數(shù)學(xué)后，可能有一天他在圖書(shū)館里忽然明白這回事.這樣「太難」不是問(wèn)題的答案，而是學(xué)習(xí)的開(kāi)始.

(8) 競(jìng)賽.我們的教育系統(tǒng)避不開(kāi)考試.中學(xué)生的數(shù)學(xué)考試包括校內(nèi)、 高考和競(jìng)賽，競(jìng)賽題是最難的.所以我們看看競(jìng)賽題和本文的關(guān)系.按題目的性質(zhì)，把我們的討論分成兩部分.

(i) 幾何部分.

前面已經(jīng)說(shuō):歐幾里得平面幾何的難題并不只是計(jì)算，它們是繞著一些名題和解題技巧設(shè)計(jì)出來(lái)的.難度是在一個(gè)題里有好幾個(gè)定理，而且這些定理是一層一層地疊起來(lái).解題的時(shí)候要找到這些定理疊起來(lái)的規(guī)則和關(guān)鍵的實(shí)體.比如：要證明兩個(gè)線段AB和A′B′ 相等，可能關(guān)鍵是證明題中的圖有兩個(gè)全等三角形ABC和A′B′C′ ；又或者圖中有個(gè)平行四邊形ABB′A′ .這可以是個(gè)很復(fù)雜的辯證過(guò)程，不過(guò)一方面《幾何原本》的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)只是背景，不影響題目的解決，另一方面亦沒(méi)有增加新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí).

(ii) 代數(shù)部分.

這一部分的題常用大學(xué)課里的一些不需要復(fù)雜說(shuō)明的材料，特別是數(shù)論、代數(shù)、組合論和微積分里的數(shù)列算法.解題的人要有很好的分析能力，把已給的材料按分類情況找出關(guān)系，經(jīng)過(guò)辯證而重新組合.當(dāng)然若有大學(xué)課程里適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識(shí)，會(huì)提高識(shí)辨力加快題目的解決，但這不是必要的.如訓(xùn)練學(xué)生做大量這樣的題目，是會(huì)培養(yǎng)學(xué)生習(xí)慣于尋求一組數(shù)據(jù)、 一組方程、 一組現(xiàn)象的結(jié)構(gòu).但不一定教會(huì)學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)復(fù)雜系統(tǒng)的耐力和能力.比如，做了大量整數(shù)modm的計(jì)算，不一定會(huì)發(fā)現(xiàn)自已其實(shí)是計(jì)算環(huán)Z/mZ的可逆元子群的基 (Z為整數(shù)環(huán)) .

我們的觀察認(rèn)為，在中學(xué)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練比較注重?cái)?shù)學(xué)計(jì)算以及比較少追求結(jié)構(gòu)性的發(fā)現(xiàn).

(9) 同學(xué)問(wèn)：怎樣思考數(shù)學(xué)？ 老師問(wèn)：怎樣教學(xué)生思考數(shù)學(xué)？思，計(jì)慮也.《禮記曲禮》儼若思.考，核實(shí)也.《書(shū)舜典》三載考績(jī).古語(yǔ)可能沒(méi)有「思考」此詞，不見(jiàn)《詞源》.按《詞?！匪伎际侵阜治觥⒕C合、推理、判斷等非感官知覺(jué)的認(rèn)識(shí).

教學(xué)生如何思考是教育學(xué)的基本課題，我們不在這里討論.讓我們問(wèn)個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)的問(wèn)題：怎樣思考數(shù)學(xué)題？在前一段談競(jìng)賽題的時(shí)侯我們說(shuō)了一點(diǎn)，按照本文的說(shuō)法，如果是個(gè)計(jì)算題，如算初等函數(shù)積分，那有標(biāo)準(zhǔn)方案.但是，找出階不大于20的群的同構(gòu)類，這便是個(gè)結(jié)構(gòu)性問(wèn)題，怎樣去思考這個(gè)數(shù)學(xué)題？一個(gè)已知答案的題目基本上可以從所問(wèn)還原出解,一個(gè)未知答案的題目就不簡(jiǎn)單了.比如，怎樣思考黎曼猜想？

念過(guò)愛(ài)因斯坦自已談相對(duì)論，如Einstein, Relativity : The special and general theory, Dover reprint 2010，就會(huì)知道他常用的一種思考方法: 思維實(shí)驗(yàn)( Gedanken experiment) .這是一種在我們思維中進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，用作檢驗(yàn)一些原則, 說(shuō)明一些現(xiàn)象和結(jié)構(gòu)；學(xué)理論物理的人都知道這方法，這是值得向?qū)W生介紹的.事實(shí)上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是一個(gè)不斷深耕的思維實(shí)驗(yàn).參考Wikipedia: Einstein’s thought experiments 和文集 J. Robert, F. Mélanie, M.Letitia (eds.). Thought Experiments in Philosophy, Science and the Arts. Routledge, London 2016, ISBN-10: 0415885442.

讓我們換個(gè)問(wèn)題：怎樣思考線性代數(shù)?在這里思考或可以解釋為認(rèn)識(shí).一般人，若是「不學(xué)」線性代數(shù)，很難想出「線性結(jié)構(gòu)」.一個(gè)聽(tīng)完線性空間定義的人怎樣思考線性結(jié)構(gòu)？實(shí)際上我們不去問(wèn)這樣不是數(shù)學(xué)的問(wèn)題.我們是透過(guò)習(xí)題來(lái)增加我們的認(rèn)識(shí)，是透過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)，在這個(gè)過(guò)程中我們思考「線性結(jié)構(gòu)」的意義.從線性空間進(jìn)展為「淡中范疇」是一個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，是多位數(shù)學(xué)工作者在對(duì)代數(shù)幾何和表示論的線性現(xiàn)象的研究和觀察才得出來(lái)的結(jié)構(gòu).是經(jīng)過(guò)多人修訂錯(cuò)誤才慢慢地形成現(xiàn)在的結(jié)構(gòu).我們現(xiàn)在所知的「線性結(jié)構(gòu)」是得來(lái)不易的.在這里我們看到一個(gè)過(guò)程：學(xué)而后知，知才思新.

常聽(tīng)說(shuō)我國(guó)中學(xué)生缺少創(chuàng)新思考，然而過(guò)去一百年有幾個(gè)愛(ài)因斯坦、海森堡、格羅滕迪克、哥德?tīng)?G?del)？百分之九十的創(chuàng)新只不過(guò)是聞一求異.如果我們從來(lái)不向我們的學(xué)生披露一點(diǎn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，又怎能叫他們創(chuàng)新呢？

6 結(jié)語(yǔ)

在中學(xué)減少重復(fù)做同樣的題目和做太難的題目，在釋放出來(lái)的部分時(shí)間，利用年輕人好新奇的心理，向?qū)W生介紹一些比較新的數(shù)學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu).用這些新的教材，在每次高考題中編一兩題.在中學(xué)，電腦課教過(guò)去五年的事，為什么數(shù)學(xué)課只講五百年前的事呢？我們不是建議全面改變現(xiàn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程，我們只是說(shuō)，給現(xiàn)代數(shù)學(xué)一點(diǎn)空間.

在大學(xué)一年級(jí)的微積分和線性代數(shù)課，減少那些機(jī)器可做的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)始結(jié)構(gòu)性的思考，以適應(yīng)未來(lái)的學(xué)習(xí).把釋放出來(lái)的部分時(shí)間，為學(xué)生講一些過(guò)去一百年的數(shù)學(xué)歷史，介紹一些比較形式的系統(tǒng)，如拓?fù)淇臻g，數(shù)理邏輯，集合論初步.

我們可以從工程計(jì)算看十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就.現(xiàn)在隨著電子計(jì)算機(jī)和信息科技的快速發(fā)展，各方面數(shù)學(xué)的應(yīng)用日趨結(jié)構(gòu)化，如此看來(lái)二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)好像是從十九世紀(jì)過(guò)渡到二十一世紀(jì)，從計(jì)算性過(guò)渡到結(jié)構(gòu)性.難道我們不應(yīng)該為孩子作些準(zhǔn)備，而讓他們錯(cuò)過(guò)這個(gè)新機(jī)會(huì)嗎？(續(xù)完)

致謝感謝在我們的單位和我們?cè)L問(wèn)過(guò)的單位的本科生、研究生和老師給我們的批評(píng)和建議.感謝李克正和張英伯老師的鼓勵(lì)、指導(dǎo)和支持.