夏洪濤，劉 炎

(中國計(jì)量大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

1926年內(nèi)科醫(yī)生A.G.McKendrick首次將年齡結(jié)構(gòu)引進(jìn)單種群動力學(xué)模型，McKendrick模型是將關(guān)于種群總數(shù)(或密度)的函數(shù)用時間和年齡兩個變量來刻畫?；贛cKendrick模型的研究在過去幾十年間成果豐富[1-9]。

傳統(tǒng)的年齡結(jié)構(gòu)種群模型研究工作對于出生率和死亡率主取決于年齡、時間，但是在許多生物種群中可以觀察到在同一種群中個體之間的活動也會對生存率產(chǎn)生影響[10]，雖然分層結(jié)構(gòu)模型可以很好地模擬大多數(shù)生物物種，但是由于生物的出生率和死亡率是高階非線性的，處理分層結(jié)構(gòu)模型是具有挑戰(zhàn)性的工作。

在最優(yōu)收獲問題上，基于年齡結(jié)構(gòu)的研究成果豐富[11-15]，從自然界種群內(nèi)部之間的關(guān)系來看，等級年齡結(jié)構(gòu)模型相對于年齡結(jié)構(gòu)模型可以更好的描述自然界中的種群，畜牧業(yè)、漁業(yè)、林業(yè)等產(chǎn)業(yè)既要要求獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，又要保證種群的可持續(xù)發(fā)展，如何使得這一矛盾達(dá)到平衡？即如何在保證生物種群可持續(xù)發(fā)展的同時使得養(yǎng)殖業(yè)達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益；基于此，本文主要研究基于等級年齡結(jié)構(gòu)種群模型的最優(yōu)收獲問題。首先助特征線的方法求解基于等級年齡結(jié)構(gòu)模型的最優(yōu)收獲問題的解及其性質(zhì)并借助Banach不動點(diǎn)定理、Gronwall不等式研究解的相關(guān)性質(zhì)。

1 最優(yōu)收獲模型

具有年齡結(jié)構(gòu)種群模型的最優(yōu)收獲問題在過去幾十年內(nèi)得到充分研究，然而對于有些種群(森林、魚類等)來說，等級年齡結(jié)構(gòu)種群模型可以更好地描述種群的發(fā)展趨勢，由于相對于傳統(tǒng)的年齡結(jié)構(gòu)模型，等級年齡結(jié)構(gòu)考慮了個體之間的影響，基于此考慮等級年齡結(jié)構(gòu)種群模型的最優(yōu)收獲問題：

(1)

這里，c(a)表示年齡為a的生物個體的經(jīng)濟(jì)效益，u(a,t)表示時間t對年齡為a的種群個體的收獲力度且u∈U={u(a,t):u(a,t)∈L∞(Qt);ξ1(a,t)≤u(a,t)≤ξ2(a,t);ξi(a,t)≥0(i=1,2)}，p(a,t)表示年齡a在t時刻的個體密度且p(a,t)滿足：

(2)

|β(a,s1)-β(a,s2)|≤L(M)|s1-s2|,
|μ(a,s1)-μ(a,s2)|≤L(M)|s1-s2|

對于所有滿足有界條件的s1,s2均成立；

3)對于任意a∈(0,A),p0(a)非負(fù)有界；

4)c(a)∈C1(0,A)，c(a)非負(fù)有界。

2 最優(yōu)解存在性

定義3.1如果在每一條特征線t-a=h(h為常數(shù))上p(a,t)都是絕對連續(xù)的，且滿足以下條件，則稱p(a,t)是模型(2)的解

(3)

定理3.1存在性證明可以參見文獻(xiàn)[15]，此處從略，下證唯一性對于任意給定的u∈U，模型(2)存在唯一的解pu(a,t)，且是非負(fù)有界的。

求解方程得到

(4)

(5)

再由模型(2)對于t∈(0,T]

(6)

其中

由假設(shè)(1)—(4)可知K∈L∞(Qt)，F(xiàn)∈L∞(0,T]且:

F(t)≥0,a.e.t∈(0,T];
K(t,a)≥0,a.e.(a,t)∈Qt。

(7)

選取λ>0，在L∞(0,T]上定義范數(shù)

定義映射

那么對于?b1,b2∈L∞(0,T]，有

其中||·||∞表示空間L∞(Qt)中的通常范數(shù)。那么當(dāng)λ>||K||∞時，映射J是壓縮映射，則存在唯一不動點(diǎn)，即式(6)存在唯一的解，再由式(4)(5)可知模型(2)存在唯一解p(a,t)。

下證非負(fù)有界性：

由不動點(diǎn)定理可知，式(6)的解b(t)亦可由以下迭代過程得到:

由上式可知序列{bn(t)}收斂于b(t)，對于由(7)式可以得到{bn(t)}≥0a.e.t∈(0,T]，借此推得b(t)≥0a.e.t∈(0,T]，再由(4)(5)可知模型(2.1)的解p(a,t)非負(fù)。

根據(jù)式(6)可得

由Gronwall不等式推導(dǎo)可得

因此b(t)有是有界的，則模型p(a,t)是有界的，證畢。

定理3.2設(shè)模型(2)對應(yīng)的解是pu(a,t)，則：

1)如果u1(a,t)≥u2(a,t)a.e.(a,t)∈Qt，則pu1(a,t)≤pu2(a,t)a.e.(a,t)∈Qt；

2)如果在L∞(Qt)，當(dāng)n→∞時有un→u則在L∞(0,T；L1(0,A))上有pun→pu。

證明設(shè)φi(a,t,E(P)(a,t))=μ(a,E(P)(a,t))+ui(a,t)i=1,2，則由u1(a,t)≥u2(a,t)a.e.(a,t)∈Qt可得φ1(a,t,E(P)(a,t))≥φ2(a,t,E(P)(a,t))a.e.(a,t)∈Qt，由定理3.1證明過程可知，式(6)的解可以下迭代過程得到：

Fφ1(t)≤Fφ2(t),a.e.t∈(0,T]；

(8)

由(7)式及φ1(a,t,E(P)(a,t))≥φ2(a,t,E(P)(a,t))a.e.(a,t)∈Qt，可得

再由(8)式能夠得到bφ1(t)≤bφ2(t)a.e.t∈(0,T]，再由(4)(5)易證定理3.2結(jié)論1)成立，下證結(jié)論2)成立。

記pun,pu分別為等級年齡結(jié)構(gòu)收獲模型(1)(2)相對應(yīng)于收獲函數(shù)un,u的解，在Qt上令

對于a≥t，有

成立，其中M1是一個正常數(shù)。另一方面，存在正常數(shù)M2對于a

|pun(a,t)-pu(a,t)|=|b(t-a)unun(a,t,a)-b(t-a)uu(a,t,a)|

≤|[b(t-a)un-b(t-a)u]un(a,t,a)|+|b(t-a)u[un(a,t,a)-u(a,t,a)]|

設(shè)z=t-a，在Qt上，由(6)可得

其中

這里

另一方面，存在正常數(shù)M3使得

綜上所述，可以得到存在正常數(shù)M4、M5

再由Gronwall不等式可以推得

||pun-pu||L∞(Qt)≤M6||un-u||∞。

其中M6是正常數(shù)且與pun，pu無關(guān)，則由不動點(diǎn)定理在L∞(Qt)，當(dāng)n→∞時有un→u在L∞(0,T;L1(0,A))上有pun→pu知結(jié)論2)成立，證畢。

3 結(jié) 語

本文主要研究基于等級年齡結(jié)構(gòu)模型的最優(yōu)問題的兩個方面。運(yùn)用特征線方法求解基于等級年齡結(jié)構(gòu)種群模型的最優(yōu)收獲問題的解，借助Banach不動點(diǎn)定理、Gronwall不等式以及Bellman不等式證明了解的唯一性、非負(fù)性、有界性以及連續(xù)依賴性。本文進(jìn)行解的相關(guān)性質(zhì)的研究，基于此可以研究等級年齡結(jié)構(gòu)種群模型的控制問題，即如何在保證可持續(xù)發(fā)展的同時獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益。