程璐華，張寶琳

(中國計量大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

實際系統(tǒng)中，時滯的存在通常會導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定，因此時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題一直是控制領(lǐng)域的熱點研究課題之一。研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，主要目的在于得到可允許的時滯上界以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函并估計該泛函沿著系統(tǒng)關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)的上界，進(jìn)而得到時滯系統(tǒng)具有較小保守性的漸近穩(wěn)定性判據(jù)是時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的時域方法之一[1-3]。例如，文獻(xiàn)[4]和[5]中，通過在構(gòu)造的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函中引入更多的時滯信息，降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性；為估計Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項，自由權(quán)矩陣方法[6,7]、積分不等式方法[8,9]、Wirtinger積分不等式法[10]以及Bessel-Legendre不等式法[11]得到了深入的研究。最近，文獻(xiàn)[12-14]研究了基于二重積分不等式方法和三重積分不等式方法得到了時變時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的新判據(jù)。事實上，不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的結(jié)果，例如文獻(xiàn)[14]提出的三重積分不等式方法以及基于此得到的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)仍然存在一定程度的保守性，有進(jìn)一步改進(jìn)的空間。

本文針對一類含有時變時滯的線性系統(tǒng)，研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性新判據(jù)。首先給出了一個新三重積分不等式，改進(jìn)了文獻(xiàn)[15]中的對應(yīng)結(jié)果；進(jìn)而通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函，采用新得到的三重積分不等式估計Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)項中的三重積分項，并結(jié)合凸組合方法得到了時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的新判據(jù)。最后通過一個數(shù)值實例，驗證了方法的有效性和優(yōu)越性。

在本文中，diag{…}表示對角矩陣；col{…}表示列向量；Rn表示n-維歐幾里得空間；He{A}表示A+AT；“*”表示對稱矩陣中的對稱項。

1 問題描述

考慮一類含有時變時滯的線性系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，A，B為合適維數(shù)的系統(tǒng)矩陣，h(t)為系統(tǒng)時變時滯，滿足

(2)

引理1[10]：對于n×n實常數(shù)矩陣R>0，適當(dāng)維數(shù)的實矩陣M，標(biāo)量a和b，且a

(3)

其中R=diag{R，3R，5R}，且

(4)

引理2[11]：對于n×n實常數(shù)矩陣R>0，標(biāo)量a和b，且a

則下面不等式成立：

(5)

其中

(6)

引理3[12]：對于n×n實常數(shù)矩陣R>0，標(biāo)量a和b，且a

(7)

引理4[15]：對于n×n的實對稱矩陣R>0，標(biāo)量a和b，且a

(8)

其中，v1和v2的定義見式(6)。

引理5：對于n×n實常數(shù)矩陣R>0，標(biāo)量a和b，且a

(9)

其中，v1、v2和v3的定義見(6)式。

進(jìn)而，根據(jù)引理3可得

(10)

其中

注意到

(11)

以及

(12)

從而，可得

(13)

將(11)—(13)代入(10)，并注意到(6)，可直接得到(9)。引理5證畢。

(14)

2 穩(wěn)定性判據(jù)

令:

(15)

(16)

其中，矩陣P1>0,P2>0為待求矩陣，wi(t)(i=1,2,3,4)如下定義：

構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt)+V3(t,xt)，

其中:

V1(t,xt)=χT(t)P(h(t))χ(t)，

為簡化起見，令

(17)

其中，0和I分別為n×n零矩陣和n×n單位矩陣。于是，由(16)和(17)，可得:

(18)

從而，系統(tǒng)(1)可表示為

(19)

其中

C0=Ae1+Be2。

由式(15)及(18)可得

(20)

其中:

C12=col{0,0,0,e6,e7,-e4,-e5};

下面給出時滯系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的一個充分條件。

(21)

(22)

其中:

(23)

(24)

(25)

(26)

其中:

(27)

(28)

(29)

(30)

其中，C311=col{e2,e3,e4,e5},C312=col{e1,e2,e6,e7}。

證明：令：

(31)

及

對V(t,xt)沿系統(tǒng)(1)關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得

其中，

(32)

(33)

(34)

由式(18)，(31)及(32)可得

(35)

根據(jù)式(19)及(29)可得

(36)

進(jìn)而，由式(33)～(36)，可得

(37)

(38)

(39)

其中，Θ由式(4)給出。

進(jìn)而，由(38)和(39)可得

(40)

其中，Φ312由式(29)給出

(41)

于是，

2(t)≤ξT(t)Φ33ξ(t)。

(42)

其中，Φ33由式(30)給出。

進(jìn)而，有

(43)

由式(37)，(40)，(42)和(43)可得

為保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，需要下面不等式成立：

(44)

(45)

根據(jù)引理5，如果不等式

(46)

根據(jù)Schur補，式(46)等價于

根據(jù)引理6，已知條件(22)保證了不等式(23)，(24)和(25)成立，亦即式(44)成立，進(jìn)而，有

從而系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。定理得證。

3 數(shù)值實例

例.考慮系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下：

Table 1 Maximum upper bounds of system delay

圖1 h(t)=4.843+0.1sin(t)的系統(tǒng)狀態(tài)曲線Figure 1 State curves of time-delay system with h(t)=4.843+0.1sin(t)

圖2 h(t)=2.808+0.5sin(t)的系統(tǒng)狀態(tài)曲線Figure 2 State curves of time-delay system with h(t)=2.808+0.5sin(t)

圖3 h(t)=2.077+0.8sin(t)的系統(tǒng)狀態(tài)曲線Figure 3 State curves of time-delay system with h(t)=2.077+0.8sin(t)

4 結(jié) 論

本文針對一類具有時變時滯的線性系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題。首先，得到了一個具有更小上界的新的三重積分不等式，并基于改進(jìn)的三重積分不等式和凸組合方法，利用新構(gòu)造的Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了時滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時滯相關(guān)穩(wěn)定性新判據(jù)，該穩(wěn)定性判據(jù)具有更小的保守性。