陶清林，徐立洲，孔 炯

(1.安徽工業(yè)大學建筑工程學院，安徽馬鞍山243032；2.中國十七冶集團有限公司冶金工程技術公司，安徽馬鞍山243000)

優(yōu)化設計是指從所有可行性方案中尋找使目標函數(shù)達到預期、效果最滿意的方案，工程各環(huán)節(jié)無不存在優(yōu)化的問題。結構優(yōu)化設計思想最早可追溯到1854年Maxwell J C提出的基本原理和1904年Michell A G發(fā)展和應用的布局理論(Michell桁架)。1960年，Schmit L A通過用數(shù)學規(guī)劃來解決結構優(yōu)化設計并取得巨大成功，成為優(yōu)化方法的理論基礎[1]。在過去的幾十年中，結構優(yōu)化理論有了長足的發(fā)展，越來越多的設計問題都可以用一系列的運算法則進行優(yōu)化。Zacharenaki等[2]借助Pushover-IDA工具提出了基于性能的結構設計優(yōu)化算法，并顯著降低了一棟9層鋼結構的成本費用；李剛等[3]以構件用量和層間位移角為優(yōu)化目標，采用多目標遺傳算法對分災結構進行多目標優(yōu)化設計；徐龍河等[4]以損傷和滯回耗能作為評價指標識別最不利地震動下的失效模式，并用基于性能的多目標優(yōu)化方法提高結構的抗震性能；李志強等[5]以工程造價最小和斜截面抗剪承載力最大為優(yōu)化目標，應用最優(yōu)性準則K-T條件對鋼骨混凝土構件的混凝土截面尺寸進行優(yōu)化設計。但是目前多層次的優(yōu)化設計在工程結構設計中鮮有報道。

工程結構數(shù)學優(yōu)化有一維探索優(yōu)化方法、無約束優(yōu)化方法和約束問題優(yōu)化方法，其中，約束問題優(yōu)化方法是工程設計中常見的優(yōu)化方法，約束問題優(yōu)化又可分為隨機方向法、復合形法、可行方向法、懲罰函數(shù)法，前三者屬于直接法，懲罰函數(shù)法屬于間接法[6]。復形法(complex method)作為解決非線性有約束最優(yōu)規(guī)劃的可靠方法之一，以其在高靈活性、廣搜索域、強不等式約束等方面的絕對優(yōu)勢，受到了工程界的青睞[7]。鑒于此，本文基于鋼結構設計理論及復形法優(yōu)化思想，借助Matlab軟件平臺運用復形法優(yōu)化思想分別對鋼框架進行結構層次多目標優(yōu)化分析和構件層次的優(yōu)化，旨在為結構的優(yōu)化方法提供思路。

1 復合形法的優(yōu)化模型

復形法是一種常見的直接搜索法，可用于解決有約束條件的非線性規(guī)劃問題。復形法基本思想來源于單純形法，這個方法是在n維受非線性約束的設計空間內(nèi)，由K ＞(n+1)個頂點構成多面體，成為復形。然后對復形的各頂點函數(shù)值逐一進行比較，不斷丟掉函數(shù)值最劣的頂點，代入滿足約束條件，且函數(shù)值有所改善的新頂點，如此重復，逐步逼近最優(yōu)點為止，復形法思維導圖如圖1。

圖1 復形法思維導圖Fig.1 The minding map of complex method

復形法由于不必保持規(guī)則圖形，較之單純形法更為靈活可變。除此之外，其在探索最優(yōu)解的過程中，檢驗整個可行區(qū)域，因此所求結果可靠，收斂較快，且能有效地處理不等式約束的問題。和目標函數(shù)及約束函數(shù)求導數(shù)的方法相比，如果函數(shù)復雜，或則隱式的話，計算導數(shù)較為困難，用復形法有較多的優(yōu)點[8]。設y=minF(X)，復形法數(shù)學模型表達如下：

設計變量

約束條件

收斂準則

式中：ai和bi為邊界條件，表達為設計變量的上限、下限；F(X)C，F(xiàn)(X)j分別為形心處和各頂點處函數(shù)值；ε建議取目標函數(shù)值的1/1 000 ～1/100。

2 工程概況

某地一榀兩跨六層鋼結構框架結構，跨度均為6.3 m，各層層高均為3.3 m，樓板集中質(zhì)量m1-6=21 000 kg。優(yōu)化前采用PKPM設計軟件中的STS模塊進行設計計算，結構計算結果為：風載作用下柱頂最大水平位移，節(jié)點(16)dx=16.999 mm=H/1 165 ＜柱頂位移容許值H/500；梁的(恒+活)最大撓跨比1/1 183＜梁的容許撓跨比1/400；梁的(活)最大撓跨比1/3 117＜梁的容許撓跨比1/500；鋼柱的總質(zhì)量3 991 kg；鋼梁的總質(zhì)量4 653 kg；鋼梁與鋼柱質(zhì)量8 644 kg。設計所得的梁、柱截面信息如圖2，結構參數(shù)信息見表1。

圖2 PKPM軟件設計結果Fig.2 Results of PKPM software design

表1 PKPM軟件設計所得結構參數(shù)Tab.1 Structural parameters obtained from PKPM software design

3 鋼框架結構層次的優(yōu)化設計

3.1 設計變量

鋼框架的梁、柱一般采用寬翼緣組合H 型截面，鋼框架結構的內(nèi)力分布與各桿件的截面慣性矩I、截面積A及截面抵抗拒W有關[8]。工程界常用取值統(tǒng)計結果顯示[9]，H 型鋼截面面積A及截面抵抗矩W與截面慣性矩I之間有如下關系：，W＝0.78Ix0.75，Iy=0.36Ix?？紤]到變量的靈敏度，文中以鋼框架梁、柱的慣性矩為設計變量：I=(I1,I2,…,In)T。

3.2 目標函數(shù)

以反映抗震性能最優(yōu)的結構應變能最大化和反映工程造價最低的結構用鋼量最小化為優(yōu)化目標，結構應變能U(I)和工程用鋼量V(I)分別按式(4)，(5)計算：

式中：Qnk和δnk分別為第k振型下第n層層間剪力和層間水平位移；N為結構層數(shù)；K為振型數(shù)；mb為梁個數(shù)；mc為柱個數(shù)；Ab和Ac分別為梁、柱截面面積，實際工程中常取A=0.80I0.5x。

為保證結構在工程服役期間性能最優(yōu)的同時減少工程造價，使兩者目標方向達到統(tǒng)一，改變應變能項符號，并采用加權系數(shù)法將兩目標函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個目標函數(shù)，目標函數(shù)表達式見式(6)，此時優(yōu)化目標為使目標函數(shù)F(I)達到最小值。

式中：α和β分別為應變能加權系數(shù)和工程用鋼量加權系數(shù)，且α ＞0 ，β ＞0，α+β=1；U0和V0分別為U和V初始值，由起始慣性矩計算得到。

3.3 約束條件

優(yōu)化過程中，依據(jù)鋼結構設計標準要求，有鋼框架強度、剛度、穩(wěn)定性等6個約束條件[10]：

1)梁柱強度約束

式中：Mbx，Mcx分別為梁、柱截面繞x軸的彎矩設計值；Nc為柱軸向力設計值；γx為截面塑性發(fā)展系數(shù)(對非直接承受動載構件，常取γx=1.05)；Wbx，Wcx分別為梁、柱截面抵抗矩；Ac為柱截面面積；f為鋼材抗拉、抗壓和抗彎強度設計值。

2)梁柱剛度約束

3)鋼柱穩(wěn)定約束

式中：βmx為平面內(nèi)穩(wěn)定驗算等效彎矩系數(shù)，底層柱取1.0，其他層βmx=1-0.36N/Ncr，Ncr為彈性臨界力；為參數(shù)，；φx，φy分別為彎矩作用平面內(nèi)和平面外軸心受壓構件穩(wěn)定系數(shù)，按規(guī)范取值；βtx為平面外穩(wěn)定驗算等效彎矩系數(shù)，考慮構件段內(nèi)有端彎矩和橫向荷載同在，使構件段內(nèi)產(chǎn)生同向曲率時，βtx取1.0；φb為均勻彎矩作用時，構件的整體穩(wěn)定系數(shù),

4)變形約束

式中柱的抗側(cè)剛度d=12EI h3，對其進行修正，即D=αd=α(12EI h3)。

5)周期約束

為避免產(chǎn)生共振，此結構周期要求控制在不小于0.45 s的范圍內(nèi)，即

式中：ΔT為計算結構基本自振周期用的結構頂點假想側(cè)移；α0為考慮非承重磚墻(填充墻)影響后的基本周期折減系數(shù)，框架結構常取α0=0.7 ～0.8。

6)界限約束

3.4 優(yōu)化結果分析

依據(jù)復形法的操作思想，借助Matlab編程，編寫M文件fun1.m和confun.m(約束條件)，在Matlab的命令窗口依次輸入。編寫條件循環(huán)語句，最后使用fmincon優(yōu)化函數(shù)進行校核[11-12]。通過改變目標函數(shù)中的加權系數(shù)，實現(xiàn)不同加權系數(shù)下多目標的優(yōu)化，所得結果見表2。由表2可看出：當α=0，β=1.0 時，多目標優(yōu)化變化為用鋼量最小的單目標優(yōu)化，當α=1.0，β=0 時，多目標優(yōu)化變化為應變能最大的單目標優(yōu)化；結構的應變能主要由邊柱和中柱的慣性矩決定，慣性矩越小，結構的變形能力越大，即結構的應變能越大。

表2 不同加權系數(shù)對應結構參數(shù)的優(yōu)化結果Tab.2 Optimization results of the structure corresponding to different weight coefficients

為更好地分析加權系數(shù)與優(yōu)化目標之間的關系，引入初始結構用鋼量、結構應變能以消除目標參數(shù)在量綱上的不同，得到結構用鋼量和結構應變能優(yōu)化目標與應變能加權系數(shù)α之間的關系曲線，結果如圖3（圖3中優(yōu)化目標結構用鋼量及應變能為量綱為1的量），優(yōu)化結果顯示：結構用鋼量和結構應變能優(yōu)化目標值隨著應變能加權系數(shù)的增加而增加；優(yōu)化目標在優(yōu)化設計函數(shù)中的權重由加權系數(shù)反映，具體結合結構造價、力學性能等因素的側(cè)重點和導向取值。

圖3 應變能加權系數(shù)與優(yōu)化后結構用鋼量應變能的關系Fig.3 Relationship between weighted coefficient of strain energy and dimensionless steel consumption and dimensionless strain energy after optimization

4 鋼框架構件層次的優(yōu)化分析

通過鋼框架結構層次優(yōu)化得到了現(xiàn)行理論設計約束條件下構件的最佳慣性矩，為得到構件的具體參數(shù)設計值，在上述結構層次優(yōu)化結果的基礎上，按同樣的方法對鋼結構構件進行優(yōu)化。

4.1 數(shù)學模型的建立

設計變量

式中各參數(shù)物理意義見圖4標注。

目標函數(shù)

式中W(t)為單位長度下的構件質(zhì)量。

約束條件

依據(jù)前文整體結構優(yōu)化結果，式中各參數(shù)取不同值：依據(jù)工程經(jīng)驗，tl=(250,150,5,10)，tu=(800,500,16,30)。

圖4 構件截面參數(shù)Fig.4 Section parameters of the component

4.2 優(yōu)化結果分析

Lingo(linear interactive and general optimizer)為交互式的線性和通用優(yōu)化求解器，以快速精確求解非線性優(yōu)化問題而被廣泛使用，故文中借助Lingo優(yōu)化軟件對鋼結構構件進行優(yōu)化設計。優(yōu)化后的鋼框架梁、柱截面參數(shù)列于表5中，值得注意的是表5中的數(shù)據(jù)完全依據(jù)優(yōu)化所得，若將其應用于實際工程，應適當調(diào)整。

表5 基于整體結構優(yōu)化的構件截面參數(shù)優(yōu)化結果Tab.5 Optimization results of component section based on overall structure optimization

為能直觀地觀察到加權系數(shù)對優(yōu)化目標的影響，將構件的優(yōu)化目標值和優(yōu)化后鋼材節(jié)約量與加權系數(shù)α繪制成圖，結果如圖5,6。由圖5，6可以看出：相對于優(yōu)化前截面，優(yōu)化后的鋼框架構件截面增加了型鋼截面高度，減小了型鋼截面寬度；優(yōu)化過程中，當α≤0.6時，中柱節(jié)約量最大、梁次之、邊柱最少，當α＞0.6時，中柱節(jié)約量最大、邊柱次之、梁最少；當加權系數(shù)發(fā)生變化時，截面高度發(fā)生小幅度變化，其余參數(shù)無變化，即案例中的截面高度是影響目標函數(shù)值的主要因素。

圖5 應變能加權系數(shù)與目標函數(shù)的關系Fig.5 Relationship between weighted coefficient of strain energy and objective function value

圖6 應變能加權系數(shù)與的單位長度鋼材節(jié)約比的關系Fig.6 Relationship between weighting coefficient of strain energy and the steel saving ratio

5 結 論

基于復形法思想對鋼框架從結構層次和構件層次兩方面進行優(yōu)化，并將優(yōu)化結果與優(yōu)化前截面參數(shù)進行比較，所得主要結論如下：

1)將鋼框架結構的總用鋼量和應變能作為優(yōu)化目標，優(yōu)化后結構用鋼量降低的同時，結構性能也得到了提升，且隨著應變能系數(shù)的增加，結構總用鋼量和結構應變能曲線均呈整體上升趨勢；

2)結構應變能主要由邊柱和中柱的慣性矩決定，且慣性矩越小，結構變形能力越大，結構應變能也就越大；

3)構件優(yōu)化過程中，當α≤0.6時，中柱節(jié)約量最大、梁次之、邊柱最少，當α＞0.6時，中柱節(jié)約量最大、邊柱次之、梁最少。優(yōu)化后的鋼框架構件截面增加了截面高度，減小了截面寬度，且應變能加權系數(shù)發(fā)生變化時，截面高度是影響目標函數(shù)值的主要因素。